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随着对微积分研究的深入,18世纪末19世纪初,人们对函数的认识先前推荐了.德国数学家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805－1859）在1837年时提出:“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”定义较清楚地说明了函数的内涵。
——人教版数学必修1 P.26
生平事迹
约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（JohannPeter Gustav Lejeune Di-richlet，勒热纳·狄利克雷是姓， 1805年2月13日－1859年5月5日），德国数学家，创立了现代函数的正式定义。
狄利克雷生于迪伦，其父为邮局局长。他在德国受教育，中学时曾受教于物理学家G.欧姆,16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业。当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，1822～1826年在巴黎求学，深受数学家傅里叶在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深。另一方面，狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算数研究》的钻研。当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人。可以说，高斯和傅里叶是对狄利克雷学术影响最大的两位数学前辈。
1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”，他利用代数数论方法证明了费马大定理在n=5的情况；后来亦证明了n=14的情况。1826年，狄利克雷回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教，在长达27年的教学与研究中，由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。
1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士。1855年接任C.F.高斯在格丁学的教授职位。1859年春与世长辞。
主要贡献
数论
狄利克雷在柏林的早期数论工作，集中在改进高斯在《算数研究》及其他数论文章中的证明或表述方式。其后，他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果。
1842年，狄利克雷开始研究具有高斯系数的型，首次运用了“盒子原理”，它在现代数论的许多论证中起重要作用。1846年，他在属于代数数论的单元理论的文章“复
单元理论”中，获得了一个漂亮而完整的结果，现称狄利克雷单元定理。
1863年，狄利克雷的《数论讲义》由他的学生和朋友R.戴德金编辑出版，这份讲义不仅是对高斯《算数研究》的最后注释，而且融进了他在数论方面的许多精心创造，之后多次再版，成为数论经典之一。
分析
狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一。
1829年，他发表了最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”。这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数收敛的充分条件，开始了三角级数理论的精密研究。
1837年，狄利克雷再次回到上述课题，发表题为“用正弦和余弦级数表示完全任意的函数”的文章，其中扩展了当时普遍采用的函数概念，引入了现代的函数概念。为说明该规则具有完全任意的性质，狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例，即现称的狄利克雷函数。在此基础上，狄利克雷建立了傅里叶级数的理论。
数学物理
1839年，狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文，讨论多重积分估值的方法，用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力，开始了他对数学物理问题的研究。这方面最重要的文章发表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的边值问题（现称狄利克雷问题或第一边值问题）。这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要，也是数理方程研究中的基本课题。
人生启迪
狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以高斯为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期。狄利克雷在求学时就被人们称道是个能专心致志又品行优良的学生，工作后，他以其出色的数学教学能力，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的一位核心人物。
