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第二节 中数
一、中位数的概念
二、中位数的计算方法
三、中数优缺点
四、中位数的适用条件
五、百分位数的概念及其计算方法
一、中位数的概念
中位数，又称中数、中点数，符号Md(Median)。是指位于一组数据中较大一半与较小一半中间位置的那个数。即它位于依一定顺序排列的一组数据中央位置的数值，在这一数值上、下各有一半频数分布着。这个数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数据。
中位数是把按从小到大（或从大到小）排列的一组数据一分为二的数据，是位于一组数据中较大一半与较一半中间位置的那个数，它将整个数据的个数分作大的一半和小的一半，而不是将数据的值分作相等的两部分。
它是集中量的一种指标，是百分位数的一种。中位数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有数据的数。
中位数(概念要点)
集中趋势的测度值之一
排序后处于中间位置上的值
不受极端值的影响
主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据
各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
二、中位数的计算方法
1．用原始数据计算法－－未分组数据求中数的方法
根据中位数的概念，首先将一组原始数据依大小顺序排列后，然后找出位于中间的那个数，这里又分两种不同的情况：
1）单列数目的情况――－即不重复数据
所谓单列数目是指一组数据中没有相同的，这时取处于中间位置的那个数为中位数：
若总频数为奇数，则位于中央的数据，即取序列中第（N＋1）／2的那个数为中位数；
若总频数为偶数，则以最中间两个数据的算术平均数作为中位数，即取序列中第N／2和N／2＋1个这两个数据的均数为中数。
从中位数的概念及计算中可以看出，求中位数不受极大值与极小值的影响，而决定中位数的是居中的那儿个数据的数值大小。
2）一组数据中有重复数值的情况：
所谓有重复数目是指一组数据中有数值相同的数。这时计算中位数的方法基本同单列数目，但当位于中间的那几个数是重复数目时，求中位数的方法就比较复杂了。具体算法如下：
当重复数值没有位于数列中间时，方法同上。
当重复数值位于数列中间，则将重复的数据视做连续数，将它细分为n个数，此后的计算与上同。
如数据：2、3、5、5、7、7、7、11、13，居中的数是7，但7是重复数，这是要将7视作连续数。N／2是4.5，序列中上下各4.5的那一点恰和是第一个7的中点，而这人7的中点如何确定呢？我们知道将7视作连续数可以理解为6.5――7.5之间有三个数据分布其中，而这三个7是均匀分布在这区间之内的，如图所示：
6.5――7.5之间均匀分布三个数据，每一个数据占1／3的距离，那么可理解为第一个7落在6.5－6.83这一区间内，第二个7落在6.83－7.16这一区间内，第三个7落在7.16－7.5区间内。第一个7的中点是6.67，这一点就是整个序列中位居最中间的那一点，因此，该组数据的中数是6.67。这是重复数列为奇数的情形。
如果是偶数，作法也同奇数基本相同。如在上组数据后面再加一个15，它就成偶数重复序列了。数据为：2、3、5、5、7、7、7、11、13、15，此时N／2等于5，那就是说该组数据的中点应该是第5个数的上限，第6个数的下限，如上图所示，第一个7的上限为6.83，即该组数据的中位数为6.83。
上面的计算方法比较复杂，其它统计书中大多没有这样严格划分，SPSS程序中也没有这个计算，我们能理解其实质就可以了，通常计算时，大多是按照定义进行。
中位数(位置的确定)
未分组数据的中位数(计算公式)
定序数据的中位数(算例)
未分组数据的中位数(计算公式)
数值型未分组数据的中位数 (5个数据的算例)
数值型未分组数据的中位数 (6个数据的算例)
2．已分组数据（频数分布表）求中数的方法
若原始数据已经整理成了次数分布表后，求中位数的原理同重复数目求中位数是一样的，即可以用内插法计算，也就是取序列中将N平分为两半的那一点的值作为中位数。
基本原理同有重复数值位于数列中间的情况
即取序列中将N平分为两半的那一点的数的值
次数分布表求中位数的具体步骤如下：
求N／2，并找到N／2所在的分组区间；
求含有中位数那一区间以下各区间的次数和，即中位数所在组区间下限以下的累加次数。记作Fb（或n1，见王P38）；
求N／2与Fb之差；
求序列为第N／2那一点的值。
设中位数所在那一组的区间的数据次数为fMd，Lb为中位数所在那一分组区间精确下限值。
根据重复数列求中位数的原理，设有fMd的数据均匀地落在距离为i的区间内，那么每个数据各占i/fMd，那么至N／2这一段距离为i/fMd×（N／2－Fb.
求中位数的公式如下：
由数值小向数值大的方向计算（即用精确下限计算）时，
同理，由数值大向数值小的方向计算（即用精确上限计算）时，
上面公式的含义为：
Fb：含有中数那一组以下的各个组的次数之和
Fa：含有中数那一组以上的各个组的次数之和
Lb：中数所在组的下限；
La：中数所在组的上限；
fmd：为中数所在组的次数；
i： 代表组距。
数值型分组数据的中位数(算例)
【例】根据表中的数据，计算50 名工人日加工零件数的中位数
例
计算中位数案例
3．利用曲线图
累加曲线图
频数分布图
三、中数优缺点
1、中位数的优点：
从中位数的的计算可以看出：
中位数是根据观测数据计算而来，不能凭主观臆定。可用中位数作为数据集中趋势的指标。
计算简单，容易理。中位数的概念简单明白。
很少受两极端数值的影响。
2、中位数的缺点：
反应不够灵敏，两极端数目变化，对中位数不产生影响；
计算中位数时，不是每个数据都加入计算，受抽样的影响较大，不如平均数稳定；
中位数乘以总数与数据的总和不相等（只有少为情况，即当中位数等于平均数是时相等）；
中位数不能作进一步的代数运算。
四、中位数的适用条件：
（1）当一组观测结果中出现两极端数值时。
这种情况在心理与教育科研实验中常常出现，因为心理与教育实验中的偶然因素非常复杂，有时实验中为了平衡各各误差，经常是同一种观测要在同一个被试身上反复进行多次，而只取某一个代表值作为对该被试的观测结果，这时若出现两极端数目，又不能确定这些极端数目是否由错误观测造成，因而不能随意舍去，在这种情况下，只能用中位数作为该被试的代表值，这样做，并不影响进一步的统计分析。
（2）当一组数据的两端或个别数据不清楚时，只能取中位数作为集中趋势的代表值。
在心理与教育实验中，经常会出现个别被试不能坚持继续进行实验这一现象，有时只知个别被试的观测结果是在分布的哪一端，但具体数值不清楚，这种情况下，就只能取中位数，而不能计算平均数。
（3）资料属于等级性质时。
（4）当需要快速估计一组数据的代表值时，也常用中位数。
五、百分位数的概念及其计算方法
1、百分位数的概念
百分是位于按一定顺序排列的一组数据中某一百分位置的数值。一般用Pp表示。
如第70百分位数（P70），就是在按从小到大排列的一组数据中小于这数值有70％个频数，大于这个数值有30％个频数的那个数值。中位数就是第50百分位数。小于它有50％个频数，大于它也有50％个频数。它是百分位数中的特例。
在教育与心理测量中，常通过计算某个原始分数的百分位数来说明、解释、评价它在团体中所处的位置。
2、百分位数的计算方法
在频数分布表上可以用内插法计算某个百分位数。
其计算公式为：
其中：Pp 表示百分位数
p 表示与百分位数相对应的比数
N 表示总频数
Lp 表示百分位数所在组的下限
n 表示小于百分位数所在组下限的频数总和
fp 表示百分位数所在组的频数
i 表示组距
