爱华网数学与雕塑
本人收集只是为了研究正确与否有待考证
维、空间、重心、对称、几何对象和补集都是在雕塑家进行创作时起作用的数学概念。空间在雕塑家的工作中起着显著的作用。有些作品占有空间的方式简直同我们及其他生物一样。在这些作品中，重心①是雕塑品内部的一点。这些雕塑品固定在地面上，它们占有空间的方式是我们感到舒服或习惯的。例如，米开朗琪罗的《大卫》、古希腊艺术家米隆的《掷铁饼者》和贝尼亚米诺·布法诺的《马背上的圣弗朗西斯》的重心都在雕塑品内部。有些现代艺术雕塑不按传统方式对待空间和它的三个维。这些作品把空间用作自身的组成部分。因此重心可以是空间中一点而不是作品中的一点，例如野口勇的《红立方》、查尔斯·佩里的《食》（Eclipse）和路易斯·维兰考特的《维兰考特喷泉》都是如此。另外一些雕塑依靠它们与空间的相互作用。这里雕塑品周围的空间（雕塑品的补集）与雕塑品一样重要，或地位同等。我们来看卡尔·安德烈的《锌锌平原》。这座雕塑放在一个房间内，这房间里面没有任何其他雕塑或物件。作品中的平面由36个小正方形构成，它们形成一个大正方形，平铺在地面上。房间代表空间，即所有点的集合，这件作品被他描述为“空间一角”②有些作品看来是对重力的否定。这些作品中包括亚历山大·考尔德的汽车雕塑，它们的平衡和对称是精巧的。还有野口勇的《红立方》，它在顶点处的平衡是不可思议的。甚至有一些雕塑品把地球本身用作艺术和艺术寓意的组成部分，例如克里斯托的《奔跑的栅栏》、卡尔·安德烈的《割线》以及在英国出现的那些神秘的几何草定理（geometricgrasstheorems）。
艺术家构想中的作品往往需要数学上对其物理性质的理解和认识，才能成为现实可能的作品。伦纳多·达·芬奇的大多数作品都是先经过数学分析然后进行创作的。如果M.C.埃舍尔没有从数学上对镶嵌图案思想和视错觉进行分析并了解它们的数学内容，他就不能自在地进行创作，作品也不能自在地完成。
今天，雕塑家们依靠数学思想来扩充艺术的例子是很多的。托尼·罗宾利用对拟晶体几何、第四维几何和计算机科学的研究来发展和扩充他的艺术。罗纳德·戴尔·雷什在创作《复活节彩蛋》巨型雕塑时，不得不用直观、独创性、数学、计算机加上他的手来完成它。艺术家兼数学家的赫拉曼R.P.弗格森运用传统雕塑、计算机和数学方程创造出像《野球》和《带有十字形帽和向量场的克莱茵瓶》这样的作品。因此发现数学模型可以兼用作艺术模型，就不令人奇怪了。在这些模型中，有立方体、多立方体、球形、环面、三叶形纽结、麦比乌斯带、多面体、半球、纽结、正方形、圆、三角形、角锥体、角柱体，等等。
欧几里得几何和拓扑学中的数学对象曾经在野口勇、戴维·史密斯、亨利·穆尔、索尔·勒威特等艺术家的雕塑中起过重要的作用。
不管是什么样的雕塑，里面都存在着数学。虽然它在被设想出来和创造成功时可以不用数学思维，然而数学存在于那件作品中，正像它存在于自然界万物中一样。
数学与电话
在早期电话史上，打电话的人拿起电话听筒，摇动曲柄，与接线员联系。一位本地接线员的声音从本地交换台来到线上，说“请报号码”，然后他把你同你试图通话的对方连接起来。如今，这一过程由于有了各种不同的转换和送达通话的方法而如雨后春笋般地迅速发展。包含着线性规划的各种复杂类型，以及有关的二进制和二进编码的数学，已脱离了潜在的不稳固地位而成为有意义的东西。
你的声音是如何行进的?你的声音产生声波，在听筒中转换成电信号。今天，这些电脉冲可以用许多不同的方法传递和转换。它们可以变成激光信号，然后沿光纤电缆传递；它们可以转换成无线电信号，然后利用无线电或微波线路在一个国家内从一座塔传送到另一座塔；或者它们可以仍旧作为电信号沿着电话线传送。在美国，大部分电话都是由自动交换系统接通的。现在电子交换系统是最快的。这系统有一个程序，这程序包含电话运行的所有方面所需的信息，并且时刻在了解哪些电话正在使用，哪些通道是可用的。通话可以由不同频率的电流传送，或转换成数字信号。这两种方法都使多重通话可以沿同一些电线传送。最新式的系统把通话转换成数字信号，然后再用二进制数列编码。于是各个通话可以沿着线路以特定的次序“同时’’行进，直到它们被译码而到达各自的目的地。
打电话时，电话系统选择最佳通话途径，并发出一连串指令，以接通线路。整个过程只需几分之一秒。通话线路最好是直接通向对方的──从节省距离和时间的观点看来，这是人们所期望的。但是如果直接线路正在为别的通话服务，新的通话就必须沿其他线路中最好的一条进行。这正是需要用到线性规划的地方。我们把电话线路问题当作一个有几百万个面的复杂几何立体形来看。每个顶点代表一个可能的解。问题是要找出最优解，而不必计算每一个解。1947年。数学家乔治B．丹齐克研究出了求解复杂线性规射问题的单纯形法。单纯形法实质上是沿着那立体的棱进行，依次检查每一隅角，并总是向着最优解前进。当可能解的数目不超过15000～20000时，这方法能有效地求得解答。1984年，数学家纳伦德拉.卡马卡发现一种方法，它使求解很麻烦的线性规划问题例如长距离电话最优通话线路问题所需的时间大为缩短。卡马卡算法采取了一条通过那立体内部的捷径。在选择了一个任意内点之后，这算法使整个结构变形．以把问题改造得使所选择的点正好在那立体的中心。下一步是朝着最优解的方向找到一个新的点，再将结构变形，又使新点位于中心。必须进行变形，否则那些看来能给出最优改进的方向都是虚假的。这些重复的变换以射影几何的概念为基础，很快便能得到最优解。
今天，古老的电话敬语“请报号码”具有双重的意义。曾经是简单的拿起电话听筒打电话的过程，现在却要使一个依着数学的庞大而复杂的网络运作起来。
数学与人体
胆固醇：180
低密度脂蛋白／高密度脂蛋自：179／47
甘油三酯：189
葡萄糖：80
体温：98.7°F
在今天的医学上，我们作为病人，经受着数字和比率的轰击，它们分析我们的健康，分析我们身体的功能如何。医生们力图确定正常数值的范围。数字和数学看来到处都是。事实上，在我们的身体里，我们的心血管系统网络、被我们的身体用来引发动作的电脉冲、细胞相互联络的方式、我们骨骼的设计、基因的实际分子构造──这一切都具有数学原理。因此，在用数量表示人体功能的努力中，科学和医学就求助于数字和其他数学概念。例如，已经设计出一些仪器，把身体的电脉冲转化成正弦曲线，从而使输出得以比较。从心电图、肌电图、超声波诊断结果上显示出来的是曲线的形状、振幅和相移。所有这些对于受过训练的技术人员都是资料。数字、比率和坐标图是数学适用于我们身体的一些方面。让我们考察另外一些数学概念，看看它们是怎样与身体相联系的。
如果你认为把密码和玛雅象形文字译解出来是富有刺激性和挑战性的，你可以想像自己能解开被身体用于通信的分子密码。目前科学已经发现白血球与大脑相联系。身心之间通过许多生物化学制品的总汇互相联络。译解这些细胞间的通信密码，将对医学产生惊人的影响，正像我们增加了对遗传密码的了解，正在揭示健康领域的许多细节一样。DNA中双螺旋线的发现是另一个数学现象。但是螺旋线并不是存在于人体中的唯一的螺线。等角螺线存在于许多关于生物生长的领域──可能因为它的形状不随生长而改变。你可以在你头上的头发、你身上的骨头、内耳的耳蜗、脐带，甚或你的指纹印迹的生长模式中找寻等角螺线。
身体的物理学和物理性质也导致其他数学概念。身体是对称的，这有助于使它获得平衡和重心。脊柱的三条曲线除了实现平衡外，在健康方面和使身体获得体力以抬起自己的体重及其他负载方面都很重要。艺术家们例如伦纳多?达?芬奇和阿尔布雷希特?丢勒都试图表明身体符合各种不同的比例和量度，例如黄金分割。
听起来可能令人惊讶的是，混沌理论在人体中也有它的位置。例如，在心律不齐的领域，正在研究混沌理论。对于心搏以及使某些人的心搏不正常的原因的研究说明，心搏看来是符合混沌概念的。此外，脑和脑波的功能以及脑失调的治疗也与混沌理论有关。
在分子层次上研究人体，我们发现了数学的迹象。在侵入人体的各种病毒的形状和形式中，存在着几何形状，例如各种多面体和网格球顶结构。在艾滋病病毒（HTLV-1）中，发现了二十面体对称和一个网格球顶结构。DNA构形中的纽结点已经促使科学家们用纽结理论中的数学发现去研究由DNA链所形成的环和纽结。纽结理论中的发现和来自各种不同几何学的概念已经被证明为遗传工程研究中的无价之宝。
科学研究与数学的结合，对于发现人体奥秘和分析人体功能来说，是必要的。
数学与音乐
数学家莱布尼兹（Leibniz，1646-1716）说:“音乐是一种隐藏的算术练习，透过潜意识的心灵跟数目在打交道。”
近代作曲家斯特拉文斯基(Stravinsky，1882-1971)说：“音乐的形式较近于数学而不是文学，音乐确实很像数学思想与数学关系。”他特意将“像数学思想的东西”溶入他的音乐作品之中。
音乐为何悦耳、调和、美呢？可否说出一些道理？田野中昆虫啁啾的鸣叫，枝头鸟儿清脆的叫声，《牧笛》优美动听的旋律，贝多芬令人振奋的交响曲……当沉浸在这些美妙的音乐中时,你是否想到了它们与数学有着密切的联系？
人们对数学与音乐之间联系的研究和认识，可以说源远流长。相信音乐的背后有数学规律可循，并且努力去追寻出音律，这在历史上最早且最著名的当推毕达哥拉斯学派（约公元前5-6世纪）。而中国古代的“三分损益法”就是通过数学运算研究音律的方法。人们常用的乐谱也是数学在音乐上应用得最为显著的地方之一。
一音律背后的比例和分数乘法
音的高低由弦振动的频率决定。如何定出音律，即定出音阶：
的频率比？这是音乐的根本问题。
1．毕达哥拉斯琴弦律
毕达哥拉斯发现音律有一段美丽的故事。有一天毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口，被铁锤打铁的有节奏的悦耳声音所吸引（笔者在家乡小城镇曾见识过打铁店，现在已不多见了）。他感到很惊奇，于是走入店中观察研究，参见图1。他发现有四个铁锤的重量比恰为12：9：8：6，将两个两个一组来敲打都发出和谐的声音，分别是：12:6=2:1的一组，12:8=9:6=3:2的一组，12:9=8:6=4:3的一组。毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证，参见图2。对于固定张力的弦，利用可自由滑动的琴马来调节弦的长度，一面弹，一面听。毕达哥拉斯经过反复的试验，终于初步发现了音乐的奥秘，归结出毕达哥拉斯的琴弦律：
（1）当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和谐悦耳的；
（2）两音弦长之比为4:3，3:2及2:1时，是和谐的，并且音程分别为四度、五度及八度。
也就是说，如果两根绷得一样紧的弦的长度之比是2:1,同时或连续弹奏，就会发出相差八度的谐音;而如果两条弦的长度的比是3:2时,就会发出另一种谐音，短弦发出的音比长弦发出的音高五度;等等。
物理学家伽利略(1564-1642)发现弦振动的频率跟弦长成反比。因此，我们可以将毕达哥拉斯所采用的“弦长”改为“频率”来定一个音的高低。从而毕达哥拉斯的发现就是：两音的频率比为1:2，2:3及3:4时，分别相差八度、五度及四度音。例如，频率为200与300的两音恰好相差五度音。
图1
图2单弦琴
毕达哥拉斯音律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比例，形成令人喜悦的和谐音乐，这就是一种特别的数学表现。不仅如此，和谐的比例还贯穿于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比，它们绕地球运行时会发出美妙的球体音乐。开普勒（1571-1630）从音乐长久为人所尊敬的神奇比例中，发现天上行星运行的规则：从太阳的位置观察，土星在近日点时，是以每天135秒速度移动一个弧度距离，在远日点则只需106秒，这两个数字之比约为5：4，恰等于产生大三度音程的两根弦的振动比例；而木星会产生一个小三度音程；火星则是完全五度音程。这样，每个星球似乎都会产生一个音乐上的比例数字。博伊西斯（475-524）则将和谐分为三个等级：最初级的是乐器的音乐，包括歌唱及乐器演奏出来的音乐；其次是人类的音乐，讲究身体与灵魂的调和、平衡与恰当的比例；最完美的调和是世界的音乐，包括行星的井然有序之运行、元素的适当比例混合、四季的循环以及大自然、宇宙的和谐。
2、“三分损益法”定音阶
定音阶的频率比就是要在1与2之间插入六个简单整数比，并使其中含有四度音及五度音。
毕达哥拉斯通过单弦琴的实验，调整弦的长度成特定整数比，就能够产生全部的音阶，即毕达哥拉斯音律的频率比如下：
事实上，毕达哥拉斯音律可以采用“三分损益法”（又叫“管子法”）。公元前4世纪，管子一书的地圆篇记载有此法。所谓“三分损益法”就是交互使用了“三分损一法”（即去掉三分之一的长）以及“三分益一法”（即将所剩在增加三分之一的长）。即为：由一个音出发，其频率为1，“三分损一法”就是1乘以（长度之比的倒数），“三分益一法”就是将乘以，如此交互相生，由小排到大就得到所谓的“五声音阶”再补上及第四音就得到毕达哥拉斯音阶(或叫七音音阶)：
二乐谱上的分数
在乐谱中,我们可以找到拍号、单纯音符、附点音符等，莫不与分数息息相关。谱写乐曲要使音符适合于每音节的拍子数,这实质是分数求和的过程——在一个固定的拍子里,不同时值的音符必须使它凑成一个特定的节拍。
在每一首乐曲的开头部分,我们总能看到一个分数,比如,或等,这些分数是用来表示不同拍子的符号，即拍号。其中分数的分子表示每小节中单位拍的数目,分母表示以几分音符为一拍。如，4/4表示以四分音符为一拍，每小节4拍。拍号一旦确定,那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验。比如
和
就符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数。因为
1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;
而
和
不符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数，因为
1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。
这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。（刘卫锋、王尚志，2005：20）
关于识读乐谱，《义务教育音乐课程标准》（实验稿）中3-6年级的教学目标提出：“结合所学歌曲认识音名、音符、休止符及一些常用记号。”并且在教学建议中提到“乐谱是记载音乐的符号，是学习音乐的基本工具。要求学生具有一定的识谱能力，有利于进行音乐表演和创造等教学活动。”因此，学生学习了一定的乐谱基础知识，那么其背后的数学也是能够引导学生领略到的。
事实上，随着对数学与音乐关系之认识的不断加深，以数学计算代替作曲，已成为现代作曲家的一种创作方式。创作乐曲乃是将作曲的过程公式化，把音程、节奏、音色等素材都编成数码，然后按照需求发出指令，以计算器的功能进行选择，再将其结果编写成乐曲并演奏出来。除了上述数学与音律、乐谱的明显联系外,音乐还与指数、曲线、周期函数以及计算机科学等相关联。如今，在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面,都需要数学。在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献。所以，对音乐表演和创造有爱好或特长的学生如果能学好数学，必然能更好地为从事音乐事业作预备。
谈数学的美
美的事物，总是为人们乐意醉心追求的。然而，一提到美，人们最容易想到的是“江山如此多娇”的自然美，抑或是悦目的图画，动听的乐章、精妙的诗文……这些艺术美。然而，数学，这自然科学的皇后里面，蕴含着比诗画更美丽的境界。正如古希腊数学家普洛克拉斯的一句颇打动人心的名言所说：“哪里有数，哪里就有美。”
是的，哪里有数，哪里就有美。人类对数学的认识最早是从自然数开始的。这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。古希腊的毕达哥拉斯学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人类面前时，人们就为这数的美震颤了。
毕达哥拉斯将自然界和和谐统一于数。他认为，数本身就是世界的秩序。他的名言是：凡物皆数。但在一次集会上，一位学者提出了他的疑问：在我结交朋友时，也存在着数的作用吗？
“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。
学者们为毕达哥拉斯的妙喻折服了，更为这“你中有我，我中有你”的美妙的亲和数惊呆了，震撼了。人们惊叹道：亲和数的关系太微妙了。随着研究的深入，人们又发现了更奥妙的高阶亲和数――联谊数。于是狭隘的两人的天地扩展为多人的世界。似乎它们也懂得“再完美的两人世界也不能代表人世间所有的美丽”的道理呢。
6也是一个美的数字。古代意大利曾把它作为“美满婚姻”的象征。因为它恰好等于其所有真因子1、2、3之和。呵，多么完美的性质！因此人们称这类数为完数，而6正是其中最小的一个。
另外，勾股数、质数……所具有的美妙性质，也引无数英雄竞折腰。
许多人正为探寻费马大定理、哥德巴赫猜想的奥妙而“三月不知肉味”呢。而幻方，作为数学世界的百慕大三角，正是这奇珍中最耀目的一颗。最初的魔方阵，是中国所谓神龟背上的法宝――洛书的图形。这是一个三阶幻方古代人们为它的美妙与神秘所吸引，甚至曾把它作为护身符挂在身上。而后人们又找到了“美妙方”、“超魔方阵”，以及令人叹为观止的双料幻方。而形式上也从平面正方图形扩展为多角形图、立体图、圆图……花色满目，美不胜收。而对幻方工作进行得愈深入，研究得愈细致，它的奇巧特点就愈见其层出不穷，它所呈现出的美也就越令人震颤。
这些，就是普通的自然数所玩弄的无穷花样中的一部分。而无穷尽的数正象辽阔的海洋，那大海深处蕴含着一个五彩缤纷的世界。当你畅游其中时，你会为这无垠海洋中数不尽的奇珍的美而陶醉，甚而你也许会有幸步入龙宫，见到更加奇伟怪丽、五彩斑斓的景象，进入数学海洋深入的殿堂，一窥数学的美境。这时，你肯定会与普洛克拉斯产生共鸣，而由衷赞叹一声：啊，哪里有数，哪里就有美。
审美实践告诉我们，人们对美的感受都是直接由形式引起的。但数学的形式美还不单纯表现在自然数所玩弄的这些许花样上，和谐的比例与优美的曲线或图形都能给人以强烈的形式美的享受。
和谐的比例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割。它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用。艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果。象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志。这神圣的比例值也被抬高了身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神。人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术的的魅力也离不开它。真是：哪里有黄金数，哪里就有美的闪光。
优美的曲线同样带给人们美的享受。如得之于自然界的四叶玫瑰线、对数螺线及应用于建筑中人为设计的超椭圆曲线等。更有那久负盛名的茂比乌斯曲线。华盛顿一座博物馆的门口，有一座奇特的数学纪念碑，碑上是一个八英尺高的不锈钢制的茂比乌斯圈。它日夜不停缓缓地旋转着，带给人们美感享受的同时，又昭示出人类正如它一样永无休止地前进着。
在数学的园地里，完全正方形作为一朵沁人心脾的奇花，曾陶醉过多少观赏者！五种正多面体以其形式美带来的神秘感，使古代人曾把它们分别作为火、风、水、土、空气的象征，而这五种图形总名之为宇宙的图形。由宇宙美神得到的黄金矩形是最令人心醉的优美图形之一。它在形式比例上具有相当高的美学价值。因而，日常生活中的许多物品，诸如像柜、图书、杂志、火柴盒及至国旗都采用了这一优美的图形，以带给人们更多的美感的享受。
对称均衡是数学形式美的主要特征。各种对称或均衡图形如等边三角形、圆、双曲线……及著名的杨辉三角形等，都会带给人们美的享受。
人们的美远不止这直观的形式美。正如人的美不单在外表，更在内心一样，数学的深刻的本质的更加诱惑人的离奇古怪宽广无际的美却在于它内在奇妙结构的完美的和谐统一性。
数学中的美，不是以艺术家所用的色彩、线条、旋律等形象语言表现出来，而是把自然规律抽象成一些概念、定理或公式，并通过演绎而构成一幅现实世界与理想空间的完美图象。只有数学内在结构的美，才更令人心驰神往与陶醉。它的博大精深与简明透彻都给观赏者以巨大的美的感染。
数学内在美的标准在于它的真实、准确简洁、和谐与普遍。
真中见美，是数学内在美的重要特征之一。真与美总是紧密相连的，而数学堪称真的楷模。正确性是数学中绝对的准则。但这种真，却是源于生活，而高于生活。如从实践中得到的点、线、面就是高于生活的完美的、理想化的图形――理想直线只具有长度，两条理想的、完美的，准直的理想直线，相交于一个理想的、完美的点，而这个点除了位置以外竟压根儿就没有大小；数学中所定义的圆，比任何画家和文学家所能描绘的都更加完美无缺。正是这种真实与正确，使数学显示出它特有的美的魅力，使它能延续几千年乃至永久。
简洁性、和谐性与普遍性三者的统一，是数学内在美的另一重要特征。简洁是数学中引人注目的美感之一。通行世界的符号可算是最简洁的文字，精炼准确的数学概念和定理的表述，可算是最简洁的语言。数学以其简洁的形式，从一组简洁明了的公理、概念出发而推证出各种令人惊叹的定理和公式，使人们洞察到其内在的和谐性和秩序性，从中产生一种崇高、博大，妙不可言的审美感受。正如绘图时用三种原色绘制出各种色彩缤纷的图画或简谱中凭借七个音符谱写出各种令人心醉的乐章所带给人们的艺术美的享受一样。从这一组定义、公理出发，演绎出一套逻辑体系，从而建成一座巍峨的数学大厦，这是众多数学家乐意玩的游戏。而欧几里德正是玩弄这种游戏的第一位大家。当他把欧氏几何的逻辑体系呈现在世人面前时，世人为这一壮举所折服了、迷住了。爱因斯坦感叹道：这是人类一个可赞叹性的胜利。更有人断言：能觊觎美神真面目的，唯欧几里得一人而已。
二战后的布尔巴基学派更把数学公理化的浪潮推向了高峰。数学的严谨、简洁在这浪潮得到了充分的体现。这时的数学，遵循着“不漏不重原则。”如同求轨迹问题的解时，应做到纯粹性与完备性的统一。数学家找到的那组公理，应该是少一个不行，多一个不要，在不多不少，恰好够用的公理基础上，得出一套严谨的逻辑体系，建成一座座数学的大厦。毕达哥拉斯说过：凡是美的东西都具有一个共同特征，这就是部分部分彼此之间，以及部分与整体间固有的协调一致。这协调一致产生的和谐美，在一座座数学大厦中都得到了体现。然而当随着数学的发展，一座座原本各自为政，不通有无的数学大厦之间忽然架起各式各样的友谊之桥时，人们就会为这以前没有认识到的亲缘关系而大吃一惊，同时产生一种出乎意料、不期而遇的美的享受，更领略到数学内部结构的和谐美。如，早期的代数与几何之间曾是若即若离，而当两者间的友谊信鸽――解析几何――诞生，就使两者紧密联系在一起，再也分不开了。如今数形统一的观点早已深入人心，人们亦从中感觉到了数和形的调和美。再如，概率学作为研究偶然现象的科学，因其显得特异，甚至曾一度被排斥在数学殿堂之外，而当实变函数论形成后，它作为一种特殊的测度，而理所当然地被请进了数学的大雅之堂。现在，各个数学分支间已形成了各式各样、错综复杂的关系网，一座座原先孤立的数学大厦已联结成为一个整体。数学已成为由各个数学分支紧密结合而成的和谐统一体。这时，数学家似乎可以高枕在数学大厦之巅，让世人尽情观摩数学的美了。不，如同物理学家总醉心于寻求宇宙之砖一样，数学家还要据探求建成数学大厦的基石。20世纪初，康托尔的集合论被普遍接受后，庞加莱自傲且自信地在巴黎国际数学会议上宣称道：数学的严格性，看来直到今天才说是实现了。集合论奠定了数学大厦的基础。数学的最后基石和终极意义的问题获得了圆满地解决。直到这时，数学的美才在世人面前一览无余了。人们已经能够直接领略到数学内部结构有机联系的美妙图景，并为这美所陶醉了。
罗丹说：自然总是美的。伽利略则宣称道：自然这本书是用数学语言写成的。哪里有数，哪里就有美。数学总是美的，数学是美的科学。
