爱华网1. 形如 （ ）的数叫做复数，其中 是虚数单位， 。把复数 的形式叫做复数的代数形式。记作 （ ）。当且仅当 时， 为实数；当且仅当 时， ；当 时， 叫做虚数；当 ，且 时， 叫纯虚数； 与 分别叫做复数 的实部和虚部。
2. 如果两个复数的实部和虚部分别相等 这两个复数相等。即如果 ，那么 ，
3. ， ，则有：
4. 复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行。设 ， （ ）
加减法：
乘法：
除法：
5. 复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律，实数的正整数指数幂也能推广到复数集中，即
，
（ ）
6.（1）
其中
（2）常用 的性质解题。
； ； ， ，则
（ ）， （ ）
【典型例题】
[例1] 实数 分别取什么数值时，复数 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应点在 轴上方？（5）对应点在直线 上。
解：
（1）由 ，得知 或 时， 为实数
（2）由 ，得知 且 时， 为虚数
（3）由 得知 时， 为纯虚数
（4）由 ，得知 或 时， 的对应点在 轴上方
（5）由 ，得知 或
的对应点在直线 上。
[例2] 已知关于 的方程组
有实数解，求实数 的值。
解：由（1）得 解得
代入方程（2），得
∵ ∴ 解得
[例3] 已知复数 （ ）满足 或 ，求 的值（或范围）。
解：∵ 或 ∴ 为纯虚数
由纯虚数概念知 解得
∴ 满足条件的 的值为2
[例4] 设 ，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1） （2）
解：
（1）复数 的模等于4，就是说，向量 的模等于4，所以满足条件 =4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆。
（2）不等式 ，可化为不等式组 不等式 的集合是圆 内部的所有的点组成的集合，不等式 的解集是圆 外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件 的点Z的集合。点Z的集合是以原点O为圆心，以2与4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界。
[例5] 若 ，且 ，求 的最小值。
解法一：∵ 即 的几何图形是以C（ ）为圆心，以1为半径的圆。 是圆C上的一点P到点A（2，2）的距离，如下图所示，连接AC交圆右侧于P
则 的距离最小
∴ 最小值是3
解法二：代数法，设 （ ）
∴
即
又 ∵
而 ，即
∴ 在 时， 取最小值3
[例6] 已知关于 的方程 （ ）有实数根
（1）求实数 的值；
（2）若复数 满足 ，求 为何值时， 有最小值，并写出 的值。
解：
（1）∵ 是方程 （ ）的实根
∴
故 解得
（2）设 ，由 ，得
即 ∴ Z点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆
如下图所示，当Z点在 的连线上时， 有最大值或最小值
∵ ，半径
∴ 当 时，最小值
[例7] 设复数 ，若 ，求 的值。
解：设
由 ，得
∴ ∴ 或
∴
∵ ∴
即
∴
[例8] 复数 满足 ，求 。
解：设 ，则
整理得
解 得
∴
[例9] 设 ， ，当 时，求 的取值范围。
解：
∴
又 ∵
∴
由二次函数的性质知
[例10] 设复数 满足 ，且 ，求 与 。
解：由题意有 ，得
又 ，故可得
所以 的实部等于 的实部等于
又 ，故 的虚部为 ，
于是
所以 或
所以 或
【模拟试题】
一. 选择题
1. 方程 的根是（ ）
A. B. C. 或 D. 以上都不对
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 等于（ ）
A. B. C. D.
4. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. 在复数集C内分解因式 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 的值为（ ）
A. 0 B. 1024 C. D.
7. 等于（ ）
A. B. C. D. 2
8. 满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
二. 解答题
1. （1）计算 ；（2）求 的展开式中所有奇数项的和。
2. 已知 ， ， ，且 为纯虚数，求 。
3. 复数 且 ， 对应的点在第一象限，若复数0， 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 的值。
【试题答案】
一. 选择题
1. C 解析： ， ∴ 或
2. A
3. B 解析：
4. D
5. B
6. A 解析：
7. D 解析：
8. C 解析：可设 转化为实数解决或直接利用复数的几何意义。
法一：设 ，则原方程变为 ，即
∴ Z点的轨迹是以（0，1）为圆心，以5为半径的圆
法二：原方程即为
由复数几何意义知，它表示（0，1）为圆心，5为半径的圆，故选C。
二. 解答题
1.
思路点拔：按复数乘法与除法的法则展开运算，这种基本运算要熟练掌握，同时注意一些运算技巧。
解：（1）原式
（2）∵
∴ 的展开式中奇数项之和为复数 的实部
又
∴ 的展开式中各奇数项的和为
2.
解：设 ，由 ，得 ①
∵ 为纯虚数
∴ ②
由①②得 或
∴ 或
3.
解：
由 ，得 ①
∵ 复数0， 对应的点构成正三角形 ∴
把 代入化简并结合①得，得 ②
又∵ 点在第一象限 ∴ ，
由①②得 ，故所求值为 ，
