2012年安徽省高考理科数学第21题浅析 安徽省理科状元 金星

2012年安徽省高考理科数学第21题浅析

2012年安徽省高考理科数学第21题:数列 满足

(1)证明: 是递减数列的充分必要条件是 ;

(2)求 的取值范围,使 是递增数列.

笔者认为,这道试题的题型新颖别致,内涵深刻丰富,是一道匠心独具、十分难得的好题,对我们的教学和复习工作可以起到良好的导向作用,值得认真地研究和探讨.

1.溯源

这道试题的面孔并不陌生,它正是2009年安徽省高考理科数学第21题“首项为正数的数列 满足 .(1)证明:若为奇数,这对一切都是奇数;(2)若对一切 都有,求的取值范围.”的源题.命题者通过改变递推关系式、设问方式、知识网络交汇点等手段,将源题改编为现在的形式,既让我们感到似曾相识,又觉得耳目一新,不落俗套.

2.探奥

这道试题寻求知识的重新组合与有机渗透,充分体现了“出活题、考基础、考能力”的命题方向,熔基础知识的理解、基本技能的掌握、基本方法的运用以及分析问题、解决问题的能力等方面的考查于一炉,独出心裁,别具一格.

2.1对基础知识的考查

这道试题考查的知识点十分丰富,有数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的判定,数列与函数的关系,指数函数及二次函数的性质,因式分解,数学归纳法等.只有熟练地把握住上述各个知识点,解答本题才能有章可循、得心应手.

2.2对数学思想方法的考查

2.2.1特殊化思想

运用特殊化思想方法,解答试题的第(1)小题的必要性:若 是递减数列,则由 ,可得 ;第(2)小题对的范围瘦身:假设是递增数列.由 ,得 .由 ,得 .何等干净利落,简洁明快!

2.2.2迭代思想及全面思想

求解递推数列的有关问题,迭代是一种重要的思想方法,求解的取值范围,全面是一种重要的思考方法,试题的第(2)小题,运用迭代思想和全面思想解答如下:由知,对任意 都有 ,①注意到 ,② 由①式和②式可得 ,即 .由②式和 还可得,对任意 都有 .③ 反复运用③式(即迭代),得 .将和 两式相加,知 对任意都成立.根据指数函数 的性质,得 .故 .下面需证明:若 ,则是递增数列.否则造成解题不全面而被扣分.

2.2.3函数分析法及数学归纳法

在证明:“若 ,则 是递增数列”时需要使用函数分析法及数学归纳法,解答如下:即证当 时, 对任意 成立.

(1)当 时, ,结论成立.

(2)假设当 时结论成立,即: .因为函数 在区间 内单调递增,所以 ,这就是说当 时,结论也成立.因此,,即是递增数列.

2.2.4放缩法

借助平方式非负的性质进行放缩,以实现不等式的证明. 解答试题的第(1)小题的充分性:若 ,由于 ,故 是递减数列.

2.3对分析问题,解决问题的能力的考查

这道试题的立意、情景创设以及设问的角度、方式新颖、灵活,有独到之处.要想迅速完整、准确地解答它,仅靠记题型、背套路、利用固定的思维方式是远远不够的,考生必须具有良好的数学素质.能够综合运用所学的知识分析问题、解决问题.因此,它有效地达到了考查能力的目的,真正起到了压轴的作用.

3.启示

(1)二次函数、因式分解是初中数学中的内容,但是,它在高中数学中有着十分广泛的应用,也是高考命题的一个热点.由于九年制义务教育,初中数学降低了对二次函数、因式分解(特别是十字相乘法不作要求)的教学要求,导致许多学生对二次函数、因式分解的知识理解不深刻,掌握不牢固,不能灵活地运用.因此,在高中数学教学中,必须做好衔接工作,补好这一课,真正发挥它的工具作用,提高学生灵活运用二次函数、因式分解的知识解题的能力.

2012年安徽省高考理科数学第21题浅析 安徽省理科状元 金星

(2)数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者综合求解题是对基础和能力的双重检验,而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的热点,应引起我们足够的重视.因此,在平时要加强对数列推理能力的培养.

(3)尽管在《考试说明》中,对用递推关系给出数列的要求不高,但对于通过数学归纳法或者转化为特殊数列的要求并没有降低,利用递推考查数学归纳法和逻辑推理能力依然在《考试说明》的要求之内,应引起师生的关注,但不要盲目拔高.

(4)高考复习要在全面提高学生的数学素质上下功夫,做文章.通过典型习题,引导学生多角度思考、多方位探讨,去梳理基础知识,训练思想方法,强化解题技能,正是帮助学生全面提高数学素质的有效途径,应引起我们足够的重视.书山有路趣为径,学海无涯乐作舟.

  

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