如何由数列的递推公式求通项? 等差数列的递推公式
徐辉
知数列的递推公式求其通项是高中数学的重要内容,也是高考数学的重点、热点和难点内容之一,这部分内容往往会作为比较难的题目出现,需要结合函数知识,通过引入辅助数列,利用等差等比数列的定义,综合应用迭加、迭乘、待定系数、等价转换等方法与思想进行求解.下面我们通过举例来加以说明.
1.递推公式为型
若递推公式为型,其中,数列是正项数列。解此种类型数列,可对等式两边同时取对数,得,进而可知,即数列是首项为、公比为的等比数列,然后利用等比数列知识写出数列的通项公式,最后再写出数列的通项公式.
例1.已知数列满足,,求通项公式.
解:在等式两边取对数得,即
所以数列是以为首项,以2 为公比的等比数列,
故
.
2.递推公式为型
若递推公式为型,则只需将原递推公式化为,再以迭加法可知,于是.
例2.已知数列满足,求.
解:由题得,
所以有,,…,
上述各式迭加可得
即,.
故.
3.递推公式为型
若递推公式为型,则只需将原递推公式化为,再以迭乘法即可知,于是.
例3.已知数列满足,求通项公式.
解:由,得
则,, …,
上述各式迭乘可得
即,.
故.
4.递推公式为型
若递推公式为型,其中、为常数且,则只需把原递推公式化为(此式可化为,与递推公式比较可得),则数列是以为首项、以为公比的等比数列,于是数列的通项可知,从而可知数列的通项公式.
例4.已知数列满足,求通项公式.
解:令,与比较,可得,
于是:可写为,即,
再由知:数列是以2为首项以3为公比的等比数列,
故,
从而.
5.递推公式为型
若递推公式为,其中、为常数,,则只需把原递推公式两边同除以得,再令,则原递推公式可化为,从而此类型题可化为前一类型求解.
例5.已知数列满足,求通项公式.
解:在原递推式两边同除以得:
令,则
上式可写为:,
再由,知,
从而数列是以为首项以为公比的等比数列
故,
,
故.
6.递推公式为型
若递推公式为,其中、为常数且,只需把原递推公式化为(此式可化为,与比较可知,于是A,B可知),从而此类型题可化为前一种类型求解.
例6.已知数列满足,求通项公式.
解:设
与比较可知:,解得或
①若,则
故数列是以为首项,以为公比的等比数列
所以
故,,…,
由迭加法可得:
从而.
②若,则,即数列为常数数列,
从而,由知:
则
但由知:
而,故这种情况不符合题意,应舍去.
综上所述,数列通项公式为.
从以上几例可以看出,已知数列的递推公式求其通项,需首先考察递推公式的类型,然后根据类型的不同,选用合适的解题方法。在数学解题的过程中,只有有的放矢的进行求解,才能提高解题的速度与正确率,取得比较好的解题效果。
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