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本文从数学和物理的角度探讨了平面角和立体角的单位制度。最终的结论是：角的度量应实用弧度制，没有单位，与实数等同，体现了数学的和谐美。
大家知道数学与物理是不分家的。物理中有七个基本单位，分别为：时间单位秒、长度单位米、质量单位千克、电流单位安培、光强单位坎德拉、物质的量单位摩尔。其他物理单位如加速度单位、力的单位等都是导出单位。七个基本单位中，涉及到几何的只有长度单位。在一个特定的几何系统中（如欧式几何、球面几何等），我们可以定义1米的长度，把它作为度量中的定义或公理。简单些，以平面欧式几何为例，1米的长度就是大家所熟知的国际标准：光在真空中1/299792458秒所走的路程的长度。长度的量纲用L表示，正方形的面积S=a2，所以面积单位为平方米，量纲用L2表示。角应该用弧度制来定义它的度量，即角所对的弧长与半径的比称为角的度数。从定义可以看出角的量纲为LL-1，是无量纲的，即角的度数就是一个实数，没有单位。物理中的动摩擦因数也是没有单位的。这种定义有它的好处：
1. 圆周角为2PI，平角为PI，直角为PI/2
2. n边形的外角和为2PI（不变量，与n无关），内角和为（n-2）PI
在看看弧度制在三维空间的应用。空间中，从一点出发的三条射线组成的角称为立体角。立体角的度量：立体角等于它所对的球面区域面积与半径平方的比。因为球的面积S=4PI*R2
依此定义，球周角为4PI，球平角（平面）为2PI，球直角（三条直线两两垂直）为PI/2。定义凸多面体的外角为球平角减去这个内角。凸n面体的外角和为4PI，内角和为（2n-4）PI
此定义可以推广到高维和曲边形，称为高斯---波奈特公式。
由于经典物理只有不到400年的历史，滑动摩擦因数没有像角一样及早被人们认识。当人么认识到滑动摩擦因数时，“自然”地认为它没有单位。欧几里德的几何原本中只提到了平角等于两个直角之和，也没有定义度数。我也不知道谁定义了角度制。显然角度制比起弧度制对古人来书更容易接受和计算。古人没有“自然”地想到角的度量应实用弧度制。
数学是相容的，数学的美是和谐的。弧度制才是角的更为“自然”的度量方法，它是无单位的。
角度没有单位，是众所周知的常识了。无论360度角度，还是弧度，都没有单位。摩擦因数也一样，没有单位。之所以这些量没有单位，是因为它们的定义是两个同类量的比值，角度是弧的长度与半径长度之比，摩擦因数是力与力之比。
