勾股定理——勾股数探究报告 勾股定理常用勾股数

勾股定理——勾股数探究报告

我们已经初步接触勾股定理,我们都知道勾股定理是a2+b2=c2,既直角三角形两直角边的平方的和等于斜边平方。书中也为我们介绍了几种证明方法,我想进一步的探究勾股定理,便先从勾股数入手。

3.4.5;6.8.10;8.15.17;10.24.26......都是常见的勾股数。这些数有什么特点或规律吗?我仔细看后发现每一组勾股数中至少会有一个偶数,我有继续写了几组,还依然有这个特点。这是为什么呢?我在心中打了一个大大的问号。我想了想,明白了。假设三个勾股数都为奇数,则a2,b2都为奇数,c2也是奇数,两个奇数相加必定得偶数,不满足a2+b2=c2。如果三个勾股数中有两个奇数一个偶数,设直角边中一边为偶数,则a2为偶数,b2,c2为奇数,一奇一偶相加会得奇数,满足条件;再设斜边为偶数,则a2,b2为奇数,c2为偶数,两奇数相加一定会得偶数,也满足条件;假设三个勾股数都为偶数,a2,b2,c2都是偶数,偶暑加偶数一定会得偶数,也满足条件,所以勾股数组中至少会有一个偶数。

看完了勾股数组的特点,再找一下勾股数的规律。

如下表中给了三个数a、b、c,并满足a小于b小于c,而且a都为偶数2n

a(2n)

b

c

6

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8

10

8

15

17

10

24

26

12

35

37

...

...

...

2n

b

c

由上表观观察发现

1.a2+b2=c2

2.C-b=2

由“a2+b2=c2”我们可知a2+b2=c2

a2=c2-b2

a2=(c+b)(c-b)

3.我们再把“C-b=2”代入“a2=(c+b)(c-b)”,并用代数式表示b、c。a2=(c+b)(c-b)a2=(c+b)(c-b)

a2=2(cb)a2=2(cb)

1/4a2=1/2c+1/2b1/4a2=1/2c+1/2b

1/4a2-1/2c+1/2b=b1/4a2+1/2c-1/2b=c

1/4a2-1=b1/4a2+1=c

a为偶数(2n)。当a=2n时,b=n2-1;c=n2+1

规律当a为偶数2n时,b为n2-1,c为n2+1。

如下表又给了三个数,a、b、c,并满足a小于b小于c,而且a为奇数(2n+1)

a(2n+1)

b

c

3

4

5

5

12

13

7

24

25

...

...

...

2n+1

b

c

由上边观察发现

1.a2+b2=c2

2.c-b=1

把“c-b=1”代入“a2+b2=c2”并用代数式表示b。

.a2+b2=c2

a2=c2-b2

a2=(c+b)(c-b)

a2=c+b

1/2a2=1/2c+1/2b

1/2a2+1/2c-1/2b=b

1/2a2-0.5=b

再把“b=1/2a2-0.5”代入“c-b=1”,并用代数式表示c。

c-b=1

c-1/2a2-0.5=1

c-1/2a2=1.5

1/2a2-c=-1.5

1/2a2+1.5=c

a为奇数(2n+1),当a=2n+1时,b=2n2+2n;c=2n2+2n+2

规律:当a为奇数(2n+1)是b为2n2+2n;c为2n2+2n+2。

勾股数中还有很多奥秘等待着我们去探索!

  

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