爱华网“十字相乘法”与“双十字法”（“十字相乘法”的应用及其推广）
总觉得众多现行教科书对因式分解中的“十字相乘法”的处理不公，对此法的扼杀确实感到可惜！但转而一想，既然众多教科书中都作如此处理，必然有其充足的理由，纵然是“千变万变，好法不变（丢）”，必要的丢也是一种价值？直到看见《中小学数学》2007年1—2期中《对新教材因式分解教学的意见和建议》一文后，才有勇气将“十字相乘法”再次提出进行探究及发展。
我们不能把一种好的方法当作一种负担，也不能避简就繁。一种好的方法就是要众多的人掌握并应用。所以在这里再次提出“十字相乘法”，也许是对“十字相乘法”遭冷遇后的热身探究，也许是对这种方法在众多读者眼前的展示，也许是对此法探索的“抛砖引玉”。
数学方法本身就是继承传统和发展其精华，从中探索其更加完善的方法。十字相乘法是因式分解中的一种重要方法，它简单实用，是学习代数的一种重要工具。而“双十字法”又较“十字相乘法”更深入一步，掌握得好，可帮助学生进一步巩固十字相乘法的知识，还能提高学生抽象思维能力，有事半功倍的作用。
一、十字相乘法
二、“双十字相乘法”
①画双十符号“ 、 ”
②将第一、二列布列为两字母的高次项（或其系数。本文以分解项的方法进行说明，而系数分解与其项的分解是相同的)的分解式，第三列布列为常数项的分解式。
③检验每组对角线即11乘以22加上12乘以21；11乘以32加上12乘以31；21乘以32加上22乘以31（共3组）的代数和，应分别等于两字母的乘积项和两个字母的一次项。
④书写结论：两行代数和之积为所求的因式分解。
三、“双十字相乘法”解决的问题：常规的二次多项式即二次五项式、二次四项式、二次三项式，即含两个字母的最高次数是是偶数（其中相同字母的低次是高次的一半）的多项式的因式分解。
四、举例说明：
题：把多项式x2 – x y – y2 – x + 5y – 2 分解因式。
①画双十字符号。（如图1）
②将x2 、– y2 、– 2分解为第一、二、三列的因式。
③检验：每组对角线积之和。其中第一、第二列应等于二字母的乘积项；第一、第三列应等于为含x的项；第二、三列应等于含y的项。
④书写结论：即 x2 – x y – y2 – x + 5y – 2 = (x-2y + 1) ( x + y – 2 )
五、“双十字法”的其它应用
“双十字法”不仅可以进行常规的因式分解，还可较方便地确定多项式中某些项的系数。
1、确定一个系数
题：若多项式x2 + 17x y – 18y2 – 5x + 43y +m能分解成为关于x、y的两个一次因式之积，求m的值。
显然，常数项m可用待定系数法，但用“双十字法”则可避免较烦的多项式展开。具体解法如下：
①将x2 + 17x y – 18y2 用十字相乘法分解因式。（如图2）
②找出两个常数A、B，使其分别与x、x对角线之积的代数和为 –5x；与 –2y、9y对角线之积为43y，
③检验（1）左边=-8x+3x =-5x =右边；（2）左边=-2×（-8）y+93y=43y=右边
④书写结论：m = A×B = - 8×3 = - 24
可见，此时避免了设参数的麻烦，且直观易查。
2、确定两个系数的值
题：已知x2 – ax y – 2y2 +3x +b能分解因式，求a、b的值
①对x2 、– 2y2 分解因式（如图3）（– 2y2有两种情况）
②设存在两常数A、B，并满足与x、x对角线之积的代数和为3x，与y、-2y对角线之积的代数和为0，（含y的项为0）
③由多项式相等有：
另外，因–2y2 在整数范围内有两种分解法，所以a、b的取值亦有两个，(如图4)。
由多项式相等有
所以，用“双十字法”确定一个或二个系数都较方便，这样既可巩固已学知识，还有利于培养学生的逻辑思维能力和数学兴趣，不妨一试。
六、练习
以下多项式能分解因式，试求各系数或分解因式。
1、x2 + ax y + y2 + 3x - 3y +2a = -2
2、x2 + mx y – 3y2 – 3x + y +nm = - 2 ，n = 2
3、2x2 + x y – y2 – ax + by +2a = 5，b = 1或a = 4，b = -1
4、x2 – y2 + 2x +1（x–y +1）（x +2 + 1）
5、x2 – 4x y + 4y2 – x – 2y –6（x–2y +3）（x –2y – 2）
