“十字相乘法”与“双十字法” 孔明锁双十字笼子解法

“十字相乘法”与“双十字法”(“十字相乘法”的应用及其推广)

总觉得众多现行教科书对因式分解中的“十字相乘法”的处理不公,对此法的扼杀确实感到可惜!但转而一想,既然众多教科书中都作如此处理,必然有其充足的理由,纵然是“千变万变,好法不变(丢)”,必要的丢也是一种价值?直到看见《中小学数学》2007年1—2期中《对新教材因式分解教学的意见和建议》一文后,才有勇气将“十字相乘法”再次提出进行探究及发展。

我们不能把一种好的方法当作一种负担,也不能避简就繁。一种好的方法就是要众多的人掌握并应用。所以在这里再次提出“十字相乘法”,也许是对“十字相乘法”遭冷遇后的热身探究,也许是对这种方法在众多读者眼前的展示,也许是对此法探索的“抛砖引玉”。

数学方法本身就是继承传统和发展其精华,从中探索其更加完善的方法。十字相乘法是因式分解中的一种重要方法,它简单实用,是学习代数的一种重要工具。而“双十字法”又较“十字相乘法”更深入一步,掌握得好,可帮助学生进一步巩固十字相乘法的知识,还能提高学生抽象思维能力,有事半功倍的作用。

一、十字相乘法

二、“双十字相乘法”

①画双十符号“ 、 ”

②将第一、二列布列为两字母的高次项(或其系数。本文以分解项的方法进行说明,而系数分解与其项的分解是相同的)的分解式,第三列布列为常数项的分解式。

③检验每组对角线即11乘以22加上12乘以21;11乘以32加上12乘以31;21乘以32加上22乘以31(共3组)的代数和,应分别等于两字母的乘积项和两个字母的一次项。

④书写结论:两行代数和之积为所求的因式分解。

三、“双十字相乘法”解决的问题:常规的二次多项式即二次五项式、二次四项式、二次三项式,即含两个字母的最高次数是是偶数(其中相同字母的低次是高次的一半)的多项式的因式分解。

四、举例说明:

题:把多项式x2 – x y – y2 – x + 5y – 2 分解因式。

①画双十字符号。(如图1)

②将x2 、– y2 、– 2分解为第一、二、三列的因式。

③检验:每组对角线积之和。其中第一、第二列应等于二字母的乘积项;第一、第三列应等于为含x的项;第二、三列应等于含y的项。

④书写结论:即 x2 – x y – y2 – x + 5y – 2 = (x-2y + 1) ( x + y – 2 )

五、“双十字法”的其它应用

“双十字法”不仅可以进行常规的因式分解,还可较方便地确定多项式中某些项的系数。

1、确定一个系数

题:若多项式x2 + 17x y – 18y2 – 5x + 43y +m能分解成为关于x、y的两个一次因式之积,求m的值。

显然,常数项m可用待定系数法,但用“双十字法”则可避免较烦的多项式展开。具体解法如下:

①将x2 + 17x y – 18y2 用十字相乘法分解因式。(如图2)

②找出两个常数A、B,使其分别与x、x对角线之积的代数和为 –5x;与 –2y、9y对角线之积为43y,

③检验(1)左边=-8x+3x =-5x =右边;(2)左边=-2×(-8)y+93y=43y=右边

④书写结论:m = A×B = - 8×3 = - 24

可见,此时避免了设参数的麻烦,且直观易查。

2、确定两个系数的值

题:已知x2 – ax y – 2y2 +3x +b能分解因式,求a、b的值

①对x2 、– 2y2 分解因式(如图3)(– 2y2有两种情况)

②设存在两常数A、B,并满足与x、x对角线之积的代数和为3x,与y、-2y对角线之积的代数和为0,(含y的项为0)

③由多项式相等有:

“十字相乘法”与“双十字法” 孔明锁双十字笼子解法

另外,因–2y2 在整数范围内有两种分解法,所以a、b的取值亦有两个,(如图4)。

由多项式相等有

所以,用“双十字法”确定一个或二个系数都较方便,这样既可巩固已学知识,还有利于培养学生的逻辑思维能力和数学兴趣,不妨一试。

六、练习

以下多项式能分解因式,试求各系数或分解因式。

1、x2 + ax y + y2 + 3x - 3y +2a = -2

2、x2 + mx y – 3y2 – 3x + y +nm = - 2 ,n = 2

3、2x2 + x y – y2 – ax + by +2a = 5,b = 1或a = 4,b = -1

4、x2 – y2 + 2x +1(x–y +1)(x +2 + 1)

5、x2 – 4x y + 4y2 – x – 2y –6(x–2y +3)(x –2y – 2)

  

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