爱华网一、主要知识点回顾
（一）圆的有关性质
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 半径 .
2. 圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又
是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心.
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的弧 ；平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的弧.
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 .
5. 同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于它所对的圆心角的 一半 .
6. 直径所对的圆周角是 直角 ，90°所对的弦是 直径 .
（二）与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系共有三种：
①d > r 点在圆外；②d=r 点在圆上；③d<r 点在圆内.
2. 直线与圆的位置关系共有三种：
①d > r 直线与圆相离；②d=r 直线与圆相切；③d<r 直线与圆相交.
3. 圆与圆的位置关系共有五种：
两圆的圆心距为d，两圆的半径分别是R、r（R≥r）
①d < R－r 内含，
②d = R－r 内切，
③ R－r < d < R＋r 相交，
④d = R＋r 外切，
⑤d < R＋r 外离.
4. 圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过 半径的外端点 ，并且 垂直于 这条 半径 的直线是圆的切线.
5. 从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等。
6. 三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外 心，是三角形 三边垂直平分线 的交点.
7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ，内切圆的圆心是三角形 三个角平分线 的交点，叫做三角形的 内心 .
（三）圆中的计算问题
1. 圆的周长为 ，
n°的圆心角所对的弧长为 ，弧长公式为 .
2. 圆的面积为 ，
n°的圆心角所在的扇形面积为S= = = .
3. 圆柱的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的高）
4. 圆锥的侧面积公式：S= .（其中 为 的半径， 为 的长）
二、基础应用
1.如图， 是⊙O的直径，点 在⊙O上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知圆心角 ，则圆周角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（ ）
A．正方形 B.长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
第1题
4.如图， 是⊙O的弦， 于点 ，若 ， ，则⊙O的半径为 cm．
5. 如图，半圆的直径AB＝___ ．
6.⊙O的半径为 ，圆心O到直线 的距离为 ，则直线 与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
7.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关系有（ ）
A．内切、相交 B．外离、相交
C．外切、外离 D．外离、内切
8.两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )
A．外切 B．相交 C．相离 D．内切
9.如图，从圆 外一点 引圆 的两条切线 ，切点分别为 ．如果 ， ，那么弦 的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
10.已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置关系是 .
11.如图，在⊙O中， ， ， 则劣弧的长为 cm．
12.翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米2，的长度为9米，那么半径OA ＝ 米．
13.如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为__________ .(结果保留 ）
14.已知扇形的半径为2cm，面积是 ，则扇形的弧长是 cm，扇形的圆心角 ．
15.如图，正六边形内接于圆 ，圆 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 ．
三、例题精讲
例1 如图：=， 分别是半径 和 的中点， 与 的大小有什么关系？为什么？
变式练习1： 已知：如图， ，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF 的长．
例2如图，线段 经过圆心 ，交⊙O于点 ，点 在⊙O上，连接 ，． 是⊙O的切线吗？请说明理由．
变式练习2：如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O 的切线，切点为C，连结AC.
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP的大小.
变式练习3：如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的弦，延长 到点 ，使 ，连结 ，过点 作 ，垂足为 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5， ，求 的长．
例3:如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，
点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD = ．(1)求弦AB的长；（2）CD的长；
（3）劣弧AB的长.（结果保留三个有效数字， ， ≈3.142）
变式练习4：如图， 为⊙O的直径， 于点 ，交⊙O于点 ，
于点 ．
（1）请写出三条与 有关的正确结论；
（2）当 ， 时，求圆中阴影部分的面积．
变式练习5：如图，线段 与⊙O相切于点 ，连结 、 ， 交⊙O于点D，已知 ， .
求（1）⊙O的半径； （2）图中阴影部分的面积．
四、巩固与提高
1.下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，
半径 OA＝10 m，高度CD为_ ____m．
3.如图，⊙O中 ， ，则 的度数为 ．
第4题 第5题
4.如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径 ，⊙O2的半径 ，⊙O3的半径 ，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
6.⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝ ，则弦AC的长为 ．
7.已知，⊙ 的半径为 ，⊙ 的半径为 ，且⊙ 与⊙ 相切，则这两圆的圆心距为___________．
8. 中， ， ， ，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为 米，圆心角均为 ，则铺上的草地共有 平方米．
10.（08广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=．
（1）求证：AC = AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
11.如图所示， 是直角三角形， ，以 为直径的⊙O 交 于点 ，点 是 边的中点，连结 ．
（1）求证： 与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为 ， ，求 ．
12.如图，已知 是⊙O的直径，点 在⊙O上，且 ， ．
（1）求 的值；
（2）如果 ，垂足为 ，求 的长；
（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．
