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数学期望值

(1)期望值的由来:

期望值的概念,缘起于赌金的分配,流传是这样的:

1654年法国有甲、乙两位实力相当的棋王,各出赌金32法郎相约赌赛,

规定先赢三局者为胜,胜者可获得全部赌金(64法郎),但每局必定要分出高

下,不能成和局。结果第一局甲赢了。不料这时突然发生一件重大事故,迫

令这桩赌赛中途停止,且以后也难有机会继续比赛。于是公正人决定将赌金

64平分还给甲、乙二位棋士,但二人为所分得的赌金之多寡争执不下,一

位喜欢数学的赌徒米尔,就拿这个问题向巴斯卡请教。这就是有名的「赌金

分配问题」。

巴斯卡的解法:

他认为二人所分赌金的多寡,应与他们获胜机会的大小成比例,

这样分配才算公平。
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他算出甲获胜的机率为1116,乙获胜的机率为1 1116 = 516。所以他认为甲、乙二人获胜的机率比为11:5。而不是之前的1:1。赌金也应该按11:5来分配。

因此甲应分赌金_____________。乙应分赌金___________。

甲、乙应分得的赌金,就是「期望值」。

(2)事件的期望值:

在我们作决策的时候,不但要考虑获胜的机率有多大,连带著也要衡量获胜后赢得的「好处」有多少?失败后遭受的「损害」有多少?

当我们赌赛(摸彩、竞技、甚至与敌人决战)之前,不能不预先估计我们能从这场赌赛中「可能」获得的好处有多少?这种事前预期的好处,就叫做这事的期望值。显然,期望值是由两个因素决定的:

第一,这件事发生的机率有多大?

第二,若果真发生,会得到的报酬或遭受的损失是多少?

这两个考虑的过程形成了期望值的概念,

于是定义为:(某事的期望值)=(某事发生的机率) (此事发生后应得的金额)

把「好处」用金额来表示是数量化的办法。

定义:

设某件事发生的机率是p,若此事件发生即可得到m元,则mp元,

就叫做此事件的数学期望值,简称为期望值。

实例:

任意丢掷一粒质料均匀的骰子,若出现6点可得7元,求出现6点的期望值是多少?

[解法]:期望值=7 16 = 76。

(3)随机试验的期望值

(a)定义:

如果一个随机实验有k种可能结果,各种结果的报酬分别为m1,m2,..,mk,而得到这些报酬的机率分别为p1,p2,p3,…..pk,(其中p1+p2+…..+pk=1,此式可用来简单判断机率是否算错),则m1 p1+m2 p2+…+mk pk称为此随机试验的期望值,记为E,(Expectation的字母),即E=m1 p1+m2 p2+…+mk pk。

实例:任意丢掷一粒质料均匀的骰子,若出现a点可得a元,求期望值是多少?

[解法]:E=1 16+2 16+3 16+4 16+5 16+6 16= 216 。

实例:设袋中有10元,5元硬币各3枚,自袋中任取2枚,求期望值为多少?

[解法]:

此试验可能发生的结果为10元、10元与10元、5元与5元、5元

发生的机率为 、 、

所以期望值=20 315+15 915+10 315=15(元)

(b)期望值与平均值:

实例:设袋中有10元,5元硬币各3枚,自袋中任取2枚,求期望值为多少?

[解法]:

我们将袋中的硬币想成有6枚总和45元的硬币,平均一枚硬币的价值=456元,

因此二枚硬币平均价值=456元 2=15元,与前面期望值的结果一致。

有时候计算期望值时,也可以考虑用平均价值的慨念来处理。

[例题1] 某人掷一枚均匀硬币2次,若出现2个正面,即可得400元;若出现1个正面1个反面,即可得100元;若出现2个反面,则输500元,试求其期望值为多少?Ans:25元

[例题2] 数人赌博,其中1人做庄,不做庄的先交给庄家3元,得到掷1个公正铜板1次的权利,规定:掷得正面时,庄家赔5元;掷得反面时,庄家不赔。

(1)不做庄的人的期望值是_________,故此种玩法_________(填公平、不公平)

(2)若要玩法公平,当得反面时,庄家应赔__________元。

Ans:(1)2.5元,不公平(2)赔1元

[例题3] 袋中有10元、5元硬币各4枚,自袋中任取3枚,求期望值。

Ans:22.5元

[例题4] 根据统计资料得知,一个50岁的人,在一年内存活的机率为98.5%,今有一个50岁的人参加一年期保险额度为五十万元的人寿保险,须缴保费一万元,则保险公司获利的期望值为     。Ans:2350元

(练习1) 假设每次付款150元参加抽奖,奖金有300元,200元,100元三种,机率分为110,210,310,求每次得奖金的期望值?Ans:100元

(练习2) 某人掷一枚均匀硬币2次,若出现2个正面,即可得400元;若出现1个正面1个反面,即可得100元;若出现2个反面,则输500元,试求其期望值为多少?Ans:25元]

(练习3) 掷一公正骰子,若出现点数为偶数,则可得3倍点数的钱,若出现点数为奇数,则输掉点数2倍的钱,请求出这个试验的期望值。

Ans:3元

(练习4) 掷一均匀硬币三次,若每出现一个正面得5元,一个反面赔2元,则所得总额之期望值为____________元。Ans:4.5元

(练习5) 袋中有10个硬币,其中有4个10元,3个5元,其他3个同值,若从袋中一次取出二个硬币的期望值为11.6元,求其他3个硬币之值为何?

Ans:1元

(练习6) 发行每张1元的彩券2000张,其中有2张奖金各500元,有8张奖金各100元,有10张奖金各10元。问购此彩券是否有利?

Ans:否

(练习7) 根据统计资料,每年房屋失火的机率为110000。某人将其房屋向产物保险公司投保2000000元的火灾险,期间一年,保费是10000元。求保险公司获益的期望值是多少?Ans:9800元

期望值的注意事项:

(a)期望值是各种可能的报酬乘以得此报酬的机率之和,此所谓报酬不一定指金

钱,也可以是其他数值。

(b)一张统一发票值1.6236元,2张发票值2 1.6236元,也就是期望值有

「可加性」。

(c)一种游戏如有输赢,它是否公平,端看期望值是否为0?

(d)要计算期望值需要将各种结果(如得奖是机车、电视机等)换算成同一单位

(如金钱)后才能计算。

[例题5] 有关掷骰子的期望值:

(1)掷1粒骰子求点数的期望值。

(2)同时掷2粒骰子,求点数和的期望值。

(3)同时掷6粒骰子,求点数和的期望值。

Ans:(1)72 (2)7(3)21

[例题6] 有5个选项的选择题

(1)若单选每题答对给8分,则答错应扣 分才公平。

(2)若是多重选择题,每题答对给12分,则答错应扣 分才公平。

Ans:(1)2分(2)25分

[例题7] 袋中有k号球有k2个(k=1,2,3…,n),今从其中选取一个,则选取之球的球号的期望值。 Ans:3n(n+1)2(2n+1)

[例题8] 某食品每天早上制造蛋糕,并以1个25元卖出(1个蛋糕成本为15元),每日余下未卖出的蛋糕将之丢掉,该店统计50日得到下表

1日卖出蛋糕数 230 250 270 290 合计

日数 6 18 20 6 50

(1)制造出270个蛋糕的期望值为多少元?

(2)若要使利益之期望值最大,则必须要制造多少个蛋糕?(但每日只许制

造230或250或270或290个蛋糕)

Ans:(1)2400元 (2)250个蛋糕

[例题9] 袋中有5个红球,4个白球,今任意从袋中取3球,则取到白球个数的期望值=? Ans:43个

[例题10] 将5个球任意分派到3个箱子中,请求空箱子个数的期望值=?

Ans:0.4

[例题11] 甲,乙,丙分别出340元,300元,丙出270元,轮流投掷一公正的骰子,依甲,乙,丙,甲,乙,丙,…之次序,谁先投出么点者为胜,可获得全部奖金,(1)此游戏对甲,乙,丙三人而言,那一人最不利?     。(2)若游戏改为只有甲,乙二人,依甲,乙,乙,甲,甲,乙,乙,甲,…之次序,谁先投出么点者为胜,可获得全部奖金,游戏之前,乙出300元,为使游戏公平,甲应出     元。

Ans:(1)丙(2)341元

(练习8) 袋中有12个球,其中有3个白球。若机会均等,试求袋中任取3个球时,选中白球个数的期望值。 Ans:34个

(练习9) (1)9 个样品中有 2 个不良品,今取出 3 个,则含有不良品个数的期望

值为__________个。

(2) 40 个样品中有 4 个不良品,今取出 2 个,则含有不良品个数的期

望值为__________个。Ans:(1)23 (2)15

(练习10) 袋中有1号球1个,2号球2个,…,n号球n个,自袋中任取一球,若取得r号球可得r元,请问期望值=? Ans:2n+13

(练习11) (1)在五选一的单选题中,若答对得 5 分,反之答错应倒扣_________

分才公平。

(2)有一复选题,有五个叙述,其中至少有一个叙述是正确的,若此题

答对得 5 分,若答错则应倒扣__________分才公平。

Ans:(1)54 (2)16

(练习12) 网球一盘比赛先胜6局者赢,赢一盘可得奖金1000元,甲、乙两人实力相当,但甲已连胜5局,请问如果因下雨不再继续比赛,则甲、乙两人如何分配奖金才公平?Ans:甲:1000 元、乙:1000 元

(练习13) 设饭糰一个售价为15元,而成本是每个10元。建中合作社每天卖出的饭糰个数经50日的统计如下:

一日的需求量(个) 40 50 60 70 80

日 数 2 8 12 18 10

若一直保持如此的需求量,而且每日的剩下的饭糰都要废弃,则一日准

备70个饭糰的获利期望值为 元。 Ans:248元

(练习14) 袋中有10个球,其中有2个白球,取球机会相等,求

(1)任取3球,则取得白球数的期望值为     。

(2)每次取1球,取后放回,于第k次始取到白球,则取到白球次数的

期望值为     。

Ans:(1)35 (2) 5

(练习15) 甲、乙、丙三人轮流依甲乙丙甲乙丙……,依顺序投两公正铜板,先得两正面者获胜,欲使公平起见,若甲胜给 3600 元,则乙、丙获胜应各给多少?Ans: 乙给 4800 元,丙给6400 元。

综合练习

(1) 有一种游戏,每次输赢规则如下:先从1至6中选出一个号码n,再掷三粒均匀骰子,若三粒骰子的点数全是n,则可赢3元;恰有两个点数为n,则得2元;恰有一个骰子点数为n,则得1元;而没有点数为n,则输1元;如此,玩一次的期望值(赢为正,输为负)为__________元。 (86学科)

(2) 投掷一枚不均匀的骰子,出现X点的机率为AX+B,并且可以得到X元,(X=1,2,3,4,5,6),若已知期望值为4元,试求A,B之值。

(3) 一赌博机器有两个电钮,每按一次,

会出现老鼠、牛、老虎三种不同动物中的一种,

设每种动物出现的机率如右:

每赌一次(即同时按两个电钮)须先付 5 元,

且设出现结果不互相影响,若两只老鼠同时出现,

则机器会自动付给 50 元,若两只牛同时出现则付给 10 元,

若两只老虎同时出现则付给 5 元,其他情形一概不付,求赌一次所得之期望值为____________元。

(4) 老张过去买释迦的经验是平均5个中就有1个释迦内长虫不能吃须丢掉,因此有次到水果摊买释迦时向老板抱怨,老板说今天释迦每斤70元,如果老张要求当场打开,则售价提高至每斤80元,但如打开有虫可退回,试以「期望值」的观点来看,老张应否要求打开?

(5) 袋子有3个球,2个球上面标1元,1个球标5元,从袋中任取两个球,即可得到两个球所标钱数的总和,则此玩法所得钱数的期望值是多少? (88.学科)

(6) 某市为了筹措经费而发行彩券,该市决定每张彩券的售价为10元;且每发行一百万张彩卷,即附有一百万元奖1张,十万元奖9张,一万元奖90张,一千元奖900张。假设某次彩券共发行三百万张,试问当你购买一张彩券时,你预期会损失____元。(88社)

(7) 某电子公司欲扩厂,新建厂房中有大中小三种规模。建厂规模的决策与未来一年的经济景气情况有关;经济景气如果高度成长,则建大规模厂较有利,如果微幅成长或持平,则建中规模厂即可,如果经济衰退,则应建小规模厂。进一步评估三种厂规模在四种经济景气情况下的获利如下:(89社)

利润

(百万元/年) 建厂规模

大 中 小 P







况 高度成长 50 40 30 0.3

微幅成长 10 30 20 0.1

持平 5 10 5 0.4

衰退 30 10 2 0.2

经分析未来一年经济高度成长的机率为P1=0.3,微幅成长的机率为

P2=0.1,持平的机率为P3=0.4,衰退的机率为P4=0.2。试问以未来一年利润期望值越大越好的判断准则,此公司选用那一种建厂规模获利最佳?最佳的建厂决策下,未来一年它的利润期望值是多少?(百万元)

(8) 某次数学测验共有 25 题单一选择题,每题都有五个选项,每答对一题可得 4 分,答错倒扣 1 分。某生确定其中 16 题可答对;有 6 题他确定五个选项中有两个选项不正确,因此这 6 题他就从剩下的选项中分别猜选一个;另外 3 题只好乱猜,则他这次测验得分之期望值为 分。(92学科)

(计算到整数为止,小数点以后四捨五入。)

(9) 某电视台举办抽奖游戏,现场准备的抽奖箱里放置了四个分别标有1000、800、600、0元奖额的球。参加者自行从抽奖箱里摸取一球(取后即放回),主办单位即赠送与此球上数字等额的奖金,并规定抽取到0元的人可以再摸一次,但是所得奖金折半(若再摸到0就没有第三次机会);则一个参加者可得奖金的期望值是 元。(93学科)

(10) 某公司考虑在甲、乙两地间选择一地投资开设新厂。经评估,在甲地设厂,如获利,预计可获利10000(万元);如不获利,预计将亏损7000(万元)。在乙地设厂,如获利,预计可获利6000(万元);如不获利,预计将亏损5000(万元)。又该公司评估新厂在甲、乙两地获利的机率分别为0.6、0.7。如以获利期望值为决策准则,该公司应选择甲地或乙地投资?写出作决策的过程。(91指定乙)

(11) 某引擎制造商拟出售10个引擎,可能完全售出或完全被退回,其验货方式是「任意选取二个引擎来检查,若有缺陷,则整批退回,否则全部被接受」,今一引擎成本为70万元,售价95万元,设此批引擎中有一个是有缺陷,试问此引擎制造商获利的期望值=?

(12) 同时掷三粒公正的骰子,求(a)三粒骰子的点数均相同时,可得300元;恰有两粒点数相同时,可得200元,则其期望值为     元。

(b)出现最大点数的期望值为     。

(13) 将3个球投入3个不同的袋子里,每次投一个球,连续投3次,则每个袋子都有球的机率为     ,3个球都在同一袋子的机率为     ,空袋子个数的期望值为     。

(14) 某保险公司销售旅游平安保险,每名保额200万元,保费800元,公司的管理与销售成本为200元,根据统计得知,出险的机率为210000,试求对每一保户,保险公司获利的期望值。

(15) 袋中有1号球1个,2号球2个,…,n号球n个,自袋中任取一球,若取得r号球可得r 1元,请问期望值=?

(16) 甲、乙两人轮流投掷两粒公正的骰子,约定先掷得点数和为 7 者可得 110 元,若由甲先掷,则甲、乙两人的期望值为 。

(17) 掷三粒骰子一次,须先付10元,若出现点数均相同时,可得120元;点数成等差时,可得30元,求

(a)此游戏是否有利?     。(答有利或不利)

(b)要使游戏公平,应将出现点数成等差时,可得30元,更改为  元。

(18) 甲乙两人做对局游戏,二人获胜的机率均等,谁先胜三局可得奖金5600元,进行至第二局且甲都获胜时,因故游戏必须停止。现依先胜三局的机会来分钱,请问甲乙二人各应分得多少元?

(19) 袋中有1,2,3号卡片各2张,求取出2张时,数字积的期望值。

(20) 将3本不同的书,任意放入4个抽屉,求空抽屉个数的期望值。

进阶问题

(21) 证明掷n个公正骰子一次,则其正面出现个数的期望值为n2。

(22) 袋中有 5 个黑球,3 个白球,今由袋中任意取出一球(设各球被取出机会均等),若取出的球为白球,则停止取球,若取出黑球,则将球放回袋中,再由袋中任取出一球,如此进行直到取出白球为止,令 x 表示取得黑球的次数,则 x 的期望值=? Ans:53

(23) 设某人站在数线点位置上投掷一个骰子,得1点或2点,朝正方向前进一单位,得其余点数,朝负方向前进一单位。此人连续掷4次骰子,求此人所在位置的坐标之期望值=?

综合练习解答

(1)-17/216 (2)A=135,B=115 (3) 1.65 (4)应要求打开[提示:打开的期望值=15 0+45 ( 10)= 8,不打开的期望值=15 ( 70)+45 0= 14] (5)14/3元 (6)6.3 (7)中厂的建厂规模最佳,利润期望值为17百万元 (8) 68 (9)675 (10)E(甲)=3200万元,E(乙)=2700万元,故应到甲地投资 (11) 60万元 (12) (a) (b) (13) ; ; (14) 200元 (15) 2(n 1)3 (16)甲 60 元,乙 50 元 (17) (a)不利(b)40元

(18)甲4900元,乙700元 (19) 5815 (20) 2716 (21)n(S)=2n,恰出现k个正面样本点为 之排法,共n!k!(n k)!= 个,所以P(恰k个正面)=

期望值=1 +2 +…+n =12n [1 +2 +…+n ]=12n[n 2n 1]=n2。

(22) 43 [提示:投一次的期望值=1 26 +( 1) 46= 13,所以4次的期望值为 43]

【负数学期望意味着灾难】

这带给我们另一条公理,可以表述如下:在负期望游戏中,任何资金管理方案都不会使你成为赢家。如果你继续下注,不管你用什么方式管理自己的资金,几乎可以肯定你将成为输家,不论你一开始有多少赌注,你都会输光你全部的赌注。

这听上去似乎发人深思。负的数学期望(不管是负多少)已造成家庭破裂、自杀和谋杀,以及所有其他各种出乎赌徒们意料的结果。我希望你能够认识到,对负的期望下注是怎样一种令人难以置信的亏钱买卖,因为,即使是很小的一个负期望最终都会使你输掉每一分钱。从数学的观点来看,所有试图比这种过程更聪明的尝试都是徒劳的。不要将这一观点与是否涉及非独立或独立试验过程相混淆;这毫无关系。如果你的赌注总和是负的期望,你就是在做亏钱的买卖。

举个例子,你参与一个你具有1/10注优势的非独立试验过程,那么,你必须在你具有优势的赌注下足够多的注,才能使所有这10注之和为正的期望。如果你预期在10注中有9注平均输10分钱,但是你期望在你知道自己具有优势的1/10注上赢10分钱,那么你必须在你知道自己具有优势的赌注上下注超过9次之多,仅仅是正好出现一个净期望。如果你下的注比上面所说的少,你就仍处在负期望的情形中,而且,如果你继续赌下去的话,几乎可以肯定你会彻底输光。

许多人错误地认为,参与一个负期望的游戏将输掉本钱相对于负期望的一定百分比。例如,当大多数人得知轮盘赌的数学期望为5.26%时,他们似乎认为这意味着,他们到赌场玩轮盘赌可以预期平均输掉自己赌注的5.26%。这是一种危险的误解。事实是,他们可以预期输掉自己全部活动(total action)的5.26%,而不是自己全部赌注的5.26%。假定他们带500美元去玩轮盘赌。如果他们每次20美元下500注,他们的全部活动就是10000美元,他们可以预期输掉5.26%或者526美元,这超过了他们的全部赌注。

唯一聪明的做法就是当你具有正的期望时才下注。并不象负期望就是亏钱买卖一样,正期望就是轻而易举的赚钱买卖。你必须下注明确的数量

【不投机定理】

过年了,老爸又要派红包了。这一回,老爸想借着发红包的机会,考考两个儿子的智力。他说:“我这两个红包有点古怪。一个里面封的钱数是10的n次方, 另一个里面是10的(n+1)次方。我老糊涂了,记不清哪个红包里放了多少钱, 也忘了n是多少,只记得n是从1到5的某一个数。你们俩兄弟就每人随便挑一个 红包,看看自己运气如何吧。”

于是,两个儿子各拿了一个红包,回到自己房间里。老大打开红包一看,里面是1000元。他就想了:老二红包里可能有10000块,也有可能只有100块,两者的可能性是对半开,期望值就是5050元,远比我这1000块多,看来我是吃亏了。另一个房间里,老二发现自己得了10000块,私下里也在琢磨:老大的红包里,有1000块和100000块的可能性各是二分之一,期望值是50500块。若是能跟他调换红包,等于以10000块,博取50500元的期望值,自是大占便宜。

正想着,老爸来到老二房间,看了他的红包,说道:“我刚从老大房里来,知道你们各有多少钱了。咱们打个赌怎么样?你给我一块钱,我就替你去问问老大,愿不愿意跟你换。他要愿意呢,我就给你们掉换一下红包;不愿意呢,就算了。你干不干呀?”老二很精明,心下盘算:调包当然对我有利。可是老大若不肯换,我岂不白扔一块钱吗?嗯,得先算算老大肯不肯换。倘若老大得1000块,他对我红包的预期就是5050块;倘若他得了100000块,他对我红包的预期值就变成505000块。两种情况他都肯换。哈哈,这赌注对我有利无弊,何乐而不为?

在老大房里,老爸如法炮制,老大也觉得此提议有利无弊,当然愿意。

调换之后,自然有人欢乐有人愁。老二以多换少,虽不高兴,也只埋怨运气不佳,不觉得自己计算有何不对。最伤心的是老爸。两个儿子看似精明,还是不免犯下愚蠢的推理错误——居然愿意打赌!

想想看,两个儿子的推理,错在哪里?

≈     ≈     ≈

是的,两个儿子都犯了致命的错误  没有考虑推理的互动性质。以老二为例,老二有10^4(即10000),那么老大可能有10^5或者10^3。如果老大有10^3,那么老二肯定亏, 如果老大有10^5,那么看到老二来问,就知道老二绝对不会有10^6,于是不会换与他调换。所以,只要老大推理正确,老二去问他是否要换,绝对是只会吃亏而无任何便宜可占的事儿。老二的错误在于他没有考虑到老大在计算期望值的时候,会把老二要求换这一信息考虑进去。一旦双方正确地考虑了问题的互动性质,不赌博是双方的最佳选择。

此例可推而广之。事实上,对任何有限的n,不管多大,不赌博总是双方的最佳选择,除非你肯定对方犯了推理错误。(有兴趣的,不妨自己证明试试看,再看本文后面所附答案)。

我们也可以换个角度看此问题。两人在没打开红包之前,每个红包装有多少钱的期望值是一样的,交换红包绝无好处,因而肯定没有人愿意付出一块钱费用去赌一睹运气。问题是,当他们打开红包,知道里面有多少钱之后,交换红包会不会成为双方同时可接受的选择呢?现代博弈论里面有个非常一般的定理,名叫“不投机定理(No-Speculation Thorem)”,对此作了彻底否定的回答。

简单地说,不投机定理即是:如果每个人都能作正确的互动推理,那么,任何一桩在事先不可能为各方同时接受的交易,当各人各自取得进一步信息之后,无论这信息的差异多大,都不可能为各方同时接受。上面这个例子中,交换红包既然在打开红包之前是不可接受的,那么,在打开红包后,也不可能成为双方同时可接受的。

这个定理直叫经济学家们目瞪口呆。它的一个直接推论就是,任何纯粹基于各人信息不同的赌博和投机,都是不可能的。如果此类事情发生的话,肯定是参与者中有人犯了推理错误。这就直接动摇了已往经济学家对于市场投机一类现象的理解。过去人们认为,投机的一大功能,就是所谓的“发现价格”——有理性的个人,根据自己手中所掌握的资料信息,提出不同的卖价买价,造成价格的涨落,从而使得有关该个股或商品的价值的信息,都在价格中反映出来。这样,投机就把有关商品价值的私人信息,变成了人人可见的公开信息——商品的价格。可是,不投机定理却暗示,此说在逻辑上有重大缺陷!

其实仔细想想,不投机定理并不难理解。股市投机,有人看涨,有人看跌,于是股票就转手。然而问题在于,假设每个人的资料和推理都没有错误,那么,当你愿卖时,有人愿在这个价格上买,这件事情本身就告诉你,他肯定掌握了一些你不知道的信息,你必须根据这一点来修改你的预期。而当每个都根据别人出价要价的行为修改自己预期后,就不会有纯粹投机性的交易发生!

最早发现这个问题的,大约就是今年获得诺贝经济学诺奖的斯蒂格利兹(JosephStiglitz)教授。他在1971年的一篇未发表论文“信息与资本市场”中,根据一些特例发现,假如人人都能正确推理用经济学术语说就是人人都持有合理预期(Rational Expectation),则那些掌握了独家信息的人,根本不可能利用他所掌握的信息从市场中赚到额外的钱!到了1977年,经济学家兼博弈论专家克雷普斯 ( D.Kreps),首先对此结论给出了一般的数学证明,以后又经过不少经济学家改进推广。现在许多高级博弈论教科书上都能找到不投机定理的证明,漂亮、严格、无隙可击。

我们知道,赌博、赛马、市场投机在现实生活中广泛存在,一些人可能是出于娱乐的目的随便玩玩,但不少人就是专门抱着从投机中赢利的目的来干此行当。不投机定理从反面说明,在纯粹赌博和投机中,必定有人没有遵循“正确的”的理性推理法则,必定有人犯了“大错”。比如在股市投机中,假如玩short是正确的,则那些玩long的就肯定错了,不可能同时都对。也许,参与投机的人,个个都认为自己比别人更聪明,别人犯错的时候自己不犯错。然而这种看法逻辑上有矛盾,与经济学里通常关于理性的界说,显然不符合。理性的人,固然不是不可以犯错,却不应该大犯逻辑错误。

这样一种现实与理论的明显矛盾,该当如何弥补?这是今天经济学家们面临的一个头疼问题。一个最直接最便当的的办法,就是部分放弃理性人假设。比如今天经济学里不少关于股市投机的模型,一方面假定有理性的的投机者存在,能够正确地推理;另一方面又假定有大量非理性的“噪声”投机者,丝毫不顾逻辑推理,乱来乱有理。后面这些人存在的唯一效用,似乎就是给前者当靶子,使前者可以用他们掌握的优越信息从“噪声”投机者中赚钱。我不喜欢这类模型,觉得它们毫无来由地假定某些人天生就是傻瓜,太没道理。但是,当我看到现实股市中大量散户,盲目投资,损多益少,有时不免也想,可能这些经济学家的模型是对的,有些人分明就是傻客?

( 说明一下,本文谈的市场投机,仅指基于私人信息差异的纯粹投机性交易,不包括真正的投资性交易,比如根据有共识的市场长期趋势买卖股票,以及由于个人持股成本和资金需求变动而产生的股票转手等等,这些交易尽管也要承担收益风险,却不是经济学家所谈的投机现象。)

2001年10月29日

附录:

对任何有限n的场合,推理如下:

(1)、假如你拿到10^(n+1),你显然不会答应交换,因为这已经是最高金额,对方的钱肯定比你的少;

(2)、假如你拿到10^n,你不会愿意交换;因为根据(1),对方拿的钱在10^(n+1)时,肯定不会愿意交换,愿意交换的时候,钱肯定比这少,于是你无法从交换中得利;

(3)、假如你拿到10^(n-1),你不会愿意交换;因为根据(1)和(2),对方拿的钱等于或多于10^n时,肯定不会愿意交换,于是你还是无法从交换中得利;

(4)、假如你拿到10^(n-2),你不会愿意交换;因为根据(1)、(2)和(3),对方拿的钱等于或多于10^(n-1)时,肯定不会愿意交换,你无法从交换中得利;

如此等等。。。。

(n+1)、假如你拿到10,你不会答应交换;因为根据(1)、(2)直至(n),对方拿的钱等于或多于10^2=100时,肯定不会答应交换,于是你除了白白付出一块钱外,无法从交换中得利;

结论:无论你的钱是多少,都不应该打赌。

【我的1D分析方法----------作者不详 没有附件 对错情况不明】

今天无私贡献一次,将我的1D分析方法贴在这里~在开始之前,手头需要准备Excel、MINITAB这两款软件~

我的基本思路是做出遗漏值的时间序列图,然后从图中发现机会进行追号购买~Excel或者MINITAB均可以生成时间序列图,但推荐使用MINITAB,在MINITAB的工作表区域填入新的数据,图表会自动更新~Excel需要手工更新数据区域才可以更新图形~

本方法的附件:

点击浏览该文件博彩基本公式、前一4遗漏统计、损益表、说明、MINITAB文件

点击浏览该文件时间序列图

首先介绍几个统计学概念:

四分之一分位数(Q1)、中位数(Median)、四分之三分位数(Q3)。例如有一些数:3、4、3、5、7、2、8,最中间的那个数是4(也就是 50%位置的那个数),则中位数即为4;25%位置的那个数为Q1,本例为3;75%位置的那个数为Q3,本例为7。为什么要知道这些呢?比如我们统计了 1000期数据前一4的遗漏值,得到了大约100个遗漏值,通常的做法是算出平均值,即认为50个值在平均值之上,另外50个值在平均值之下,这严重错误!我们需要的不是平均值,而是中位数的值,如果我们求得的中位数的值为8,则有50个遗漏是小于8的,而另外50个遗漏大于8~我们还需要求得Q3的值,则有75个遗漏是小于Q3的,另外25个大于Q3~

唠叨了一通,很枯燥,请继续看下去~我们将得到的这100个前一4的遗漏按先后顺序排下去,以自然数1、2、3、4、5为x轴坐标,以实际的遗漏值为y坐标,可以得到时间序列图~在时间序列图中,有相当明显的趋势接下来的遗漏会是什么,知道了接下来的遗漏,就可以制定相应的计划进行追号了~

第一步:数据准备,我在这里为大家准备前一4的最新遗漏数据。

第二步:将遗漏数据拷贝至MINITAB的工作表区域,生成时间序列图。另附在Excel中生成时间序列图的方法,对于没有MINITAB的朋友可以使用。

第三步:分析图形,等待机会,制定追号计划。

以上三步在附件里有详细说明。另外,给大家介绍博彩基本公式。

博彩基本公式:N=ln(1-DC)/ln(1-p)

1、DC(Degree of Certainty)期望命中率;2、N(Number of Drawings)遗漏;3、p(Probability)概率。ln是以e(在Excel中此函数即为exp())为底的自然对数,当然你也可以用log来代替。

在抛硬币游戏中,结果不是正面就是反面,不考虑正反面的差异,则正反面的概率p都等于50%,现在问,如果连续抛掷10次都出正面,那么第11次出反面的概率为多少?

实际上,不论你前面连续抛出了多少次正面或反面,接下来一次出正反面的概率都是50%,每一次抛掷硬币都可以看作是彼此独立的。但是我们忽略了统计这个重要因素!当抛掷的次数越来越多的时候,正反面出现的次数几乎各占一半。

现在继续来考虑上面抛硬币的问题,连续出10次正面,意味着第11次很可能出反面,如果第11次仍然出了正面,意味着第12次愈加可能出反面,依此类推,接下来出反面的可能性越来越高。这个可能性就是公式中描述的期望命中率DC,注意这和概率p(本例中p=50%)是完全不同的两个概念。

现在,我们期望以99.9%的可能性保证反面,带入上述公式,得到:

N=ln(1-99.9%)/ln(1-50%)=9.97,也就是说连续抛掷10次,我们才能以99.9%的可能性保证反面的结果。将这个公式推导一下,得到:DC=1-e(N*ln(1-p))。

举个时时乐前一或后一的例子,我们选择4,-,-为例,其概率为10%,如果我们期望以99.9%的可能性命中,则最少需要坚持的期数N为:N=ln(1 - 99.9%)/ln(1-10%)=66期,这通常也是遗漏的上限了。如果将期望命中率定为50%,则得到N=7,也就是在7期以内可以保证以50%的可能性命中4,-,-

  

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