爱华网(1)期望值的由来：
期望值的概念，缘起于赌金的分配，流传是这样的：
1654年法国有甲、乙两位实力相当的棋王，各出赌金32法郎相约赌赛，
规定先赢三局者为胜，胜者可获得全部赌金(64法郎)，但每局必定要分出高
下，不能成和局。结果第一局甲赢了。不料这时突然发生一件重大事故，迫
令这桩赌赛中途停止，且以后也难有机会继续比赛。于是公正人决定将赌金
64平分还给甲、乙二位棋士，但二人为所分得的赌金之多寡争执不下，一
位喜欢数学的赌徒米尔，就拿这个问题向巴斯卡请教。这就是有名的「赌金
分配问题」。
巴斯卡的解法：
他认为二人所分赌金的多寡，应与他们获胜机会的大小成比例，
这样分配才算公平。
他算出甲获胜的机率为1116，乙获胜的机率为1 1116 = 516。所以他认为甲、乙二人获胜的机率比为11：5。而不是之前的1：1。赌金也应该按11：5来分配。
因此甲应分赌金_____________。乙应分赌金___________。
甲、乙应分得的赌金，就是「期望值」。
(2)事件的期望值：
在我们作决策的时候，不但要考虑获胜的机率有多大，连带著也要衡量获胜后赢得的「好处」有多少？失败后遭受的「损害」有多少？
当我们赌赛(摸彩、竞技、甚至与敌人决战)之前，不能不预先估计我们能从这场赌赛中「可能」获得的好处有多少？这种事前预期的好处，就叫做这事的期望值。显然，期望值是由两个因素决定的：
第一，这件事发生的机率有多大？
第二，若果真发生，会得到的报酬或遭受的损失是多少？
这两个考虑的过程形成了期望值的概念，
于是定义为：(某事的期望值)=(某事发生的机率) (此事发生后应得的金额)
把「好处」用金额来表示是数量化的办法。
定义：
设某件事发生的机率是p，若此事件发生即可得到m元，则mp元，
就叫做此事件的数学期望值，简称为期望值。
实例：
任意丢掷一粒质料均匀的骰子，若出现6点可得7元，求出现6点的期望值是多少？
[解法]：期望值=7 16 = 76。
(3)随机试验的期望值
(a)定义：
如果一个随机实验有k种可能结果，各种结果的报酬分别为m1,m2,..,mk,而得到这些报酬的机率分别为p1,p2,p3,…..pk，(其中p1+p2+…..+pk=1，此式可用来简单判断机率是否算错)，则m1 p1+m2 p2+…+mk pk称为此随机试验的期望值，记为E，(Expectation的字母)，即E=m1 p1+m2 p2+…+mk pk。
实例：任意丢掷一粒质料均匀的骰子，若出现a点可得a元，求期望值是多少？
[解法]：E=1 16+2 16+3 16+4 16+5 16+6 16= 216 。
实例：设袋中有10元，5元硬币各3枚，自袋中任取2枚，求期望值为多少？
[解法]：
此试验可能发生的结果为10元、10元与10元、5元与5元、5元
发生的机率为 、 、
所以期望值=20 315+15 915+10 315=15(元)
(b)期望值与平均值：
实例：设袋中有10元，5元硬币各3枚，自袋中任取2枚，求期望值为多少？
[解法]：
我们将袋中的硬币想成有6枚总和45元的硬币，平均一枚硬币的价值=456元，
因此二枚硬币平均价值=456元 2=15元，与前面期望值的结果一致。
有时候计算期望值时，也可以考虑用平均价值的慨念来处理。
[例题1] 某人掷一枚均匀硬币2次，若出现2个正面，即可得400元；若出现1个正面1个反面，即可得100元；若出现2个反面，则输500元，试求其期望值为多少？Ans：25元
[例题2] 数人赌博，其中1人做庄，不做庄的先交给庄家3元，得到掷1个公正铜板1次的权利，规定：掷得正面时，庄家赔5元；掷得反面时，庄家不赔。
(1)不做庄的人的期望值是_________，故此种玩法_________(填公平、不公平)
(2)若要玩法公平，当得反面时，庄家应赔__________元。
Ans：(1)2.5元，不公平(2)赔1元
[例题3] 袋中有10元、5元硬币各4枚，自袋中任取3枚，求期望值。
Ans：22.5元
[例题4] 根据统计资料得知，一个50岁的人，在一年内存活的机率为98.5％，今有一个50岁的人参加一年期保险额度为五十万元的人寿保险，须缴保费一万元，则保险公司获利的期望值为 。Ans：2350元
(练习1) 假设每次付款150元参加抽奖，奖金有300元,200元,100元三种，机率分为110,210,310，求每次得奖金的期望值？Ans：100元
(练习2) 某人掷一枚均匀硬币2次，若出现2个正面，即可得400元；若出现1个正面1个反面，即可得100元；若出现2个反面，则输500元，试求其期望值为多少？Ans：25元]
(练习3) 掷一公正骰子，若出现点数为偶数，则可得3倍点数的钱，若出现点数为奇数，则输掉点数2倍的钱，请求出这个试验的期望值。
Ans：3元
(练习4) 掷一均匀硬币三次，若每出现一个正面得5元，一个反面赔2元，则所得总额之期望值为____________元。Ans：4.5元
(练习5) 袋中有10个硬币，其中有4个10元，3个5元，其他3个同值，若从袋中一次取出二个硬币的期望值为11.6元，求其他3个硬币之值为何？
Ans：1元
(练习6) 发行每张1元的彩券2000张，其中有2张奖金各500元，有8张奖金各100元，有10张奖金各10元。问购此彩券是否有利？
Ans：否
(练习7) 根据统计资料，每年房屋失火的机率为110000。某人将其房屋向产物保险公司投保2000000元的火灾险，期间一年，保费是10000元。求保险公司获益的期望值是多少？Ans：9800元
期望值的注意事项：
(a)期望值是各种可能的报酬乘以得此报酬的机率之和，此所谓报酬不一定指金
钱，也可以是其他数值。
(b)一张统一发票值1.6236元，2张发票值2 1.6236元，也就是期望值有
「可加性」。
(c)一种游戏如有输赢，它是否公平，端看期望值是否为0？
(d)要计算期望值需要将各种结果(如得奖是机车、电视机等)换算成同一单位
(如金钱)后才能计算。
[例题5] 有关掷骰子的期望值：
(1)掷1粒骰子求点数的期望值。
(2)同时掷2粒骰子，求点数和的期望值。
(3)同时掷6粒骰子，求点数和的期望值。
Ans：(1)72 (2)7(3)21
[例题6] 有5个选项的选择题
(1)若单选每题答对给8分，则答错应扣 分才公平。
(2)若是多重选择题，每题答对给12分，则答错应扣 分才公平。
Ans：(1)2分(2)25分
[例题7] 袋中有k号球有k2个(k=1,2,3…,n)，今从其中选取一个，则选取之球的球号的期望值。 Ans：3n(n+1)2(2n+1)
[例题8] 某食品每天早上制造蛋糕，并以1个25元卖出(1个蛋糕成本为15元)，每日余下未卖出的蛋糕将之丢掉，该店统计50日得到下表
1日卖出蛋糕数 230 250 270 290 合计
日数 6 18 20 6 50
(1)制造出270个蛋糕的期望值为多少元？
(2)若要使利益之期望值最大，则必须要制造多少个蛋糕？(但每日只许制
造230或250或270或290个蛋糕)
Ans：(1)2400元 (2)250个蛋糕
[例题9] 袋中有5个红球，4个白球，今任意从袋中取3球，则取到白球个数的期望值=？ Ans：43个
[例题10] 将5个球任意分派到3个箱子中，请求空箱子个数的期望值=？
Ans：0.4
[例题11] 甲，乙，丙分别出340元，300元，丙出270元，轮流投掷一公正的骰子，依甲，乙，丙，甲，乙，丙，…之次序，谁先投出么点者为胜，可获得全部奖金，(1)此游戏对甲，乙，丙三人而言，那一人最不利？ 。(2)若游戏改为只有甲，乙二人，依甲，乙，乙，甲，甲，乙，乙，甲，…之次序，谁先投出么点者为胜，可获得全部奖金，游戏之前，乙出300元，为使游戏公平，甲应出 元。
Ans：(1)丙(2)341元
(练习8) 袋中有12个球，其中有3个白球。若机会均等，试求袋中任取3个球时，选中白球个数的期望值。 Ans：34个
(练习9) (1)9 个样品中有 2 个不良品，今取出 3 个，则含有不良品个数的期望
值为__________个。
(2) 40 个样品中有 4 个不良品，今取出 2 个，则含有不良品个数的期
望值为__________个。Ans：(1)23 (2)15
(练习10) 袋中有1号球1个，2号球2个，…，n号球n个，自袋中任取一球，若取得r号球可得r元，请问期望值=？ Ans：2n+13
(练习11) (1)在五选一的单选题中，若答对得 5 分，反之答错应倒扣_________
分才公平。
(2)有一复选题，有五个叙述，其中至少有一个叙述是正确的，若此题
答对得 5 分，若答错则应倒扣__________分才公平。
Ans：(1)54 (2)16
(练习12) 网球一盘比赛先胜6局者赢，赢一盘可得奖金1000元，甲、乙两人实力相当，但甲已连胜5局，请问如果因下雨不再继续比赛，则甲、乙两人如何分配奖金才公平？Ans：甲：1000 元、乙：1000 元
(练习13) 设饭糰一个售价为15元，而成本是每个10元。建中合作社每天卖出的饭糰个数经50日的统计如下：
一日的需求量(个) 40 50 60 70 80
日 数 2 8 12 18 10
若一直保持如此的需求量，而且每日的剩下的饭糰都要废弃，则一日准
备70个饭糰的获利期望值为 元。 Ans：248元
(练习14) 袋中有10个球，其中有2个白球，取球机会相等，求
(1)任取3球，则取得白球数的期望值为 。
(2)每次取1球，取后放回，于第k次始取到白球，则取到白球次数的
期望值为 。
Ans：(1)35 (2) 5
(练习15) 甲、乙、丙三人轮流依甲乙丙甲乙丙……，依顺序投两公正铜板，先得两正面者获胜，欲使公平起见，若甲胜给 3600 元，则乙、丙获胜应各给多少？Ans： 乙给 4800 元，丙给6400 元。
综合练习
(1) 有一种游戏，每次输赢规则如下：先从1至6中选出一个号码n，再掷三粒均匀骰子，若三粒骰子的点数全是n，则可赢3元；恰有两个点数为n，则得2元；恰有一个骰子点数为n，则得1元；而没有点数为n，则输1元；如此，玩一次的期望值(赢为正，输为负)为__________元。 (86学科)
(2) 投掷一枚不均匀的骰子，出现X点的机率为AX+B，并且可以得到X元，(X=1,2,3,4,5,6)，若已知期望值为4元，试求A,B之值。
(3) 一赌博机器有两个电钮，每按一次，
会出现老鼠、牛、老虎三种不同动物中的一种，
设每种动物出现的机率如右：
每赌一次（即同时按两个电钮）须先付 5 元，
且设出现结果不互相影响，若两只老鼠同时出现，
则机器会自动付给 50 元，若两只牛同时出现则付给 10 元，
若两只老虎同时出现则付给 5 元，其他情形一概不付，求赌一次所得之期望值为____________元。
(4) 老张过去买释迦的经验是平均5个中就有1个释迦内长虫不能吃须丢掉，因此有次到水果摊买释迦时向老板抱怨，老板说今天释迦每斤70元，如果老张要求当场打开，则售价提高至每斤80元，但如打开有虫可退回，试以「期望值」的观点来看，老张应否要求打开？
(5) 袋子有3个球，2个球上面标1元，1个球标5元，从袋中任取两个球，即可得到两个球所标钱数的总和，则此玩法所得钱数的期望值是多少？ (88.学科)
(6) 某市为了筹措经费而发行彩券，该市决定每张彩券的售价为10元；且每发行一百万张彩卷，即附有一百万元奖1张，十万元奖9张，一万元奖90张，一千元奖900张。假设某次彩券共发行三百万张，试问当你购买一张彩券时，你预期会损失____元。(88社)
(7) 某电子公司欲扩厂，新建厂房中有大中小三种规模。建厂规模的决策与未来一年的经济景气情况有关；经济景气如果高度成长，则建大规模厂较有利，如果微幅成长或持平，则建中规模厂即可，如果经济衰退，则应建小规模厂。进一步评估三种厂规模在四种经济景气情况下的获利如下：(89社)
利润
(百万元/年) 建厂规模
大 中 小 P
景
气
情
况 高度成长 50 40 30 0.3
微幅成长 10 30 20 0.1
持平 5 10 5 0.4
衰退 30 10 2 0.2
经分析未来一年经济高度成长的机率为P1=0.3，微幅成长的机率为
P2=0.1，持平的机率为P3=0.4，衰退的机率为P4=0.2。试问以未来一年利润期望值越大越好的判断准则，此公司选用那一种建厂规模获利最佳？最佳的建厂决策下，未来一年它的利润期望值是多少？(百万元)
(8) 某次数学测验共有 25 题单一选择题，每题都有五个选项，每答对一题可得 4 分，答错倒扣 1 分。某生确定其中 16 题可答对；有 6 题他确定五个选项中有两个选项不正确，因此这 6 题他就从剩下的选项中分别猜选一个；另外 3 题只好乱猜，则他这次测验得分之期望值为 分。(92学科)
(计算到整数为止，小数点以后四捨五入。)
(9) 某电视台举办抽奖游戏，现场准备的抽奖箱里放置了四个分别标有1000、800、600、0元奖额的球。参加者自行从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，主办单位即赠送与此球上数字等额的奖金，并规定抽取到0元的人可以再摸一次，但是所得奖金折半(若再摸到0就没有第三次机会)；则一个参加者可得奖金的期望值是 元。(93学科)
(10) 某公司考虑在甲、乙两地间选择一地投资开设新厂。经评估，在甲地设厂，如获利，预计可获利10000(万元);如不获利，预计将亏损7000(万元)。在乙地设厂，如获利，预计可获利6000(万元);如不获利，预计将亏损5000(万元)。又该公司评估新厂在甲、乙两地获利的机率分别为0.6、0.7。如以获利期望值为决策准则，该公司应选择甲地或乙地投资?写出作决策的过程。(91指定乙)
(11) 某引擎制造商拟出售10个引擎，可能完全售出或完全被退回，其验货方式是「任意选取二个引擎来检查，若有缺陷，则整批退回，否则全部被接受」，今一引擎成本为70万元，售价95万元，设此批引擎中有一个是有缺陷，试问此引擎制造商获利的期望值=？
(12) 同时掷三粒公正的骰子，求(a)三粒骰子的点数均相同时，可得300元；恰有两粒点数相同时，可得200元，则其期望值为 元。
(b)出现最大点数的期望值为 。
(13) 将3个球投入3个不同的袋子里，每次投一个球，连续投3次，则每个袋子都有球的机率为 ，3个球都在同一袋子的机率为 ，空袋子个数的期望值为 。
(14) 某保险公司销售旅游平安保险，每名保额200万元，保费800元，公司的管理与销售成本为200元，根据统计得知，出险的机率为210000，试求对每一保户，保险公司获利的期望值。
(15) 袋中有1号球1个，2号球2个，…，n号球n个，自袋中任取一球，若取得r号球可得r 1元，请问期望值=？
(16) 甲、乙两人轮流投掷两粒公正的骰子，约定先掷得点数和为 7 者可得 110 元，若由甲先掷，则甲、乙两人的期望值为 。
(17) 掷三粒骰子一次，须先付10元，若出现点数均相同时，可得120元；点数成等差时，可得30元，求
(a)此游戏是否有利？ 。(答有利或不利)
(b)要使游戏公平，应将出现点数成等差时，可得30元，更改为 元。
(18) 甲乙两人做对局游戏，二人获胜的机率均等，谁先胜三局可得奖金5600元，进行至第二局且甲都获胜时，因故游戏必须停止。现依先胜三局的机会来分钱，请问甲乙二人各应分得多少元？
(19) 袋中有1,2,3号卡片各2张，求取出2张时，数字积的期望值。
(20) 将3本不同的书，任意放入4个抽屉，求空抽屉个数的期望值。
进阶问题
(21) 证明掷n个公正骰子一次，则其正面出现个数的期望值为n2。
(22) 袋中有 5 个黑球，3 个白球，今由袋中任意取出一球（设各球被取出机会均等），若取出的球为白球，则停止取球，若取出黑球，则将球放回袋中，再由袋中任取出一球，如此进行直到取出白球为止，令 x 表示取得黑球的次数，则 x 的期望值=？ Ans：53
(23) 设某人站在数线点位置上投掷一个骰子，得1点或2点，朝正方向前进一单位，得其余点数，朝负方向前进一单位。此人连续掷4次骰子，求此人所在位置的坐标之期望值=？
综合练习解答
(1)-17/216 (2)A=135，B=115 (3) 1.65 (4)应要求打开[提示：打开的期望值=15 0+45 ( 10)= 8，不打开的期望值=15 ( 70)+45 0= 14] (5)14/3元 (6)6.3 (7)中厂的建厂规模最佳，利润期望值为17百万元 (8) 68 (9)675 (10)E(甲)=3200万元，E(乙)=2700万元，故应到甲地投资 (11) 60万元 (12) (a) (b) (13) ； ； (14) 200元 (15) 2(n 1)3 (16)甲 60 元，乙 50 元 (17) (a)不利(b)40元
(18)甲4900元，乙700元 (19) 5815 (20) 2716 (21)n(S)=2n，恰出现k个正面样本点为 之排法，共n！k！(n k)！= 个，所以P(恰k个正面)=
期望值=1 +2 +…+n =12n [1 +2 +…+n ]=12n[n 2n 1]=n2。
(22) 43 [提示：投一次的期望值=1 26 +( 1) 46= 13，所以4次的期望值为 43]
【负数学期望意味着灾难】
这带给我们另一条公理，可以表述如下：在负期望游戏中，任何资金管理方案都不会使你成为赢家。如果你继续下注，不管你用什么方式管理自己的资金，几乎可以肯定你将成为输家，不论你一开始有多少赌注，你都会输光你全部的赌注。
这听上去似乎发人深思。负的数学期望（不管是负多少）已造成家庭破裂、自杀和谋杀，以及所有其他各种出乎赌徒们意料的结果。我希望你能够认识到，对负的期望下注是怎样一种令人难以置信的亏钱买卖，因为，即使是很小的一个负期望最终都会使你输掉每一分钱。从数学的观点来看，所有试图比这种过程更聪明的尝试都是徒劳的。不要将这一观点与是否涉及非独立或独立试验过程相混淆；这毫无关系。如果你的赌注总和是负的期望，你就是在做亏钱的买卖。
举个例子，你参与一个你具有1/10注优势的非独立试验过程，那么，你必须在你具有优势的赌注下足够多的注，才能使所有这10注之和为正的期望。如果你预期在10注中有9注平均输10分钱，但是你期望在你知道自己具有优势的1/10注上赢10分钱，那么你必须在你知道自己具有优势的赌注上下注超过9次之多，仅仅是正好出现一个净期望。如果你下的注比上面所说的少，你就仍处在负期望的情形中，而且，如果你继续赌下去的话，几乎可以肯定你会彻底输光。
许多人错误地认为，参与一个负期望的游戏将输掉本钱相对于负期望的一定百分比。例如，当大多数人得知轮盘赌的数学期望为5.26%时，他们似乎认为这意味着，他们到赌场玩轮盘赌可以预期平均输掉自己赌注的5.26%。这是一种危险的误解。事实是，他们可以预期输掉自己全部活动（total action）的5.26%，而不是自己全部赌注的5.26%。假定他们带500美元去玩轮盘赌。如果他们每次20美元下500注，他们的全部活动就是10000美元，他们可以预期输掉5.26%或者526美元，这超过了他们的全部赌注。
唯一聪明的做法就是当你具有正的期望时才下注。并不象负期望就是亏钱买卖一样，正期望就是轻而易举的赚钱买卖。你必须下注明确的数量
【不投机定理】
过年了，老爸又要派红包了。这一回，老爸想借着发红包的机会，考考两个儿子的智力。他说：“我这两个红包有点古怪。一个里面封的钱数是１０的ｎ次方， 另一个里面是１０的（ｎ＋１）次方。我老糊涂了，记不清哪个红包里放了多少钱， 也忘了ｎ是多少，只记得ｎ是从１到５的某一个数。你们俩兄弟就每人随便挑一个 红包，看看自己运气如何吧。”
于是，两个儿子各拿了一个红包，回到自己房间里。老大打开红包一看，里面是１０００元。他就想了：老二红包里可能有１００００块，也有可能只有１００块，两者的可能性是对半开，期望值就是５０５０元，远比我这１０００块多，看来我是吃亏了。另一个房间里，老二发现自己得了１００００块，私下里也在琢磨：老大的红包里，有１０００块和１０００００块的可能性各是二分之一，期望值是５０５００块。若是能跟他调换红包，等于以１００００块，博取５０５００元的期望值，自是大占便宜。
正想着，老爸来到老二房间，看了他的红包，说道：“我刚从老大房里来，知道你们各有多少钱了。咱们打个赌怎么样？你给我一块钱，我就替你去问问老大，愿不愿意跟你换。他要愿意呢，我就给你们掉换一下红包；不愿意呢，就算了。你干不干呀？”老二很精明，心下盘算：调包当然对我有利。可是老大若不肯换，我岂不白扔一块钱吗？嗯，得先算算老大肯不肯换。倘若老大得１０００块，他对我红包的预期就是５０５０块；倘若他得了１０００００块，他对我红包的预期值就变成５０５０００块。两种情况他都肯换。哈哈，这赌注对我有利无弊，何乐而不为？
在老大房里，老爸如法炮制，老大也觉得此提议有利无弊，当然愿意。
调换之后，自然有人欢乐有人愁。老二以多换少，虽不高兴，也只埋怨运气不佳，不觉得自己计算有何不对。最伤心的是老爸。两个儿子看似精明，还是不免犯下愚蠢的推理错误——居然愿意打赌！
想想看，两个儿子的推理，错在哪里？
≈ ≈ ≈
是的，两个儿子都犯了致命的错误 没有考虑推理的互动性质。以老二为例，老二有10^4(即10000)，那么老大可能有10^5或者10^3。如果老大有10^3，那么老二肯定亏， 如果老大有10^5，那么看到老二来问，就知道老二绝对不会有10^6，于是不会换与他调换。所以，只要老大推理正确，老二去问他是否要换，绝对是只会吃亏而无任何便宜可占的事儿。老二的错误在于他没有考虑到老大在计算期望值的时候，会把老二要求换这一信息考虑进去。一旦双方正确地考虑了问题的互动性质，不赌博是双方的最佳选择。
此例可推而广之。事实上，对任何有限的ｎ，不管多大，不赌博总是双方的最佳选择，除非你肯定对方犯了推理错误。(有兴趣的，不妨自己证明试试看，再看本文后面所附答案)。
我们也可以换个角度看此问题。两人在没打开红包之前，每个红包装有多少钱的期望值是一样的，交换红包绝无好处，因而肯定没有人愿意付出一块钱费用去赌一睹运气。问题是，当他们打开红包，知道里面有多少钱之后，交换红包会不会成为双方同时可接受的选择呢？现代博弈论里面有个非常一般的定理，名叫“不投机定理(No-Speculation Thorem)”，对此作了彻底否定的回答。
简单地说，不投机定理即是：如果每个人都能作正确的互动推理，那么，任何一桩在事先不可能为各方同时接受的交易，当各人各自取得进一步信息之后，无论这信息的差异多大，都不可能为各方同时接受。上面这个例子中，交换红包既然在打开红包之前是不可接受的，那么，在打开红包后，也不可能成为双方同时可接受的。
这个定理直叫经济学家们目瞪口呆。它的一个直接推论就是，任何纯粹基于各人信息不同的赌博和投机，都是不可能的。如果此类事情发生的话，肯定是参与者中有人犯了推理错误。这就直接动摇了已往经济学家对于市场投机一类现象的理解。过去人们认为，投机的一大功能，就是所谓的“发现价格”——有理性的个人，根据自己手中所掌握的资料信息，提出不同的卖价买价，造成价格的涨落，从而使得有关该个股或商品的价值的信息，都在价格中反映出来。这样，投机就把有关商品价值的私人信息，变成了人人可见的公开信息——商品的价格。可是，不投机定理却暗示，此说在逻辑上有重大缺陷！
其实仔细想想，不投机定理并不难理解。股市投机，有人看涨，有人看跌，于是股票就转手。然而问题在于，假设每个人的资料和推理都没有错误，那么，当你愿卖时，有人愿在这个价格上买，这件事情本身就告诉你，他肯定掌握了一些你不知道的信息，你必须根据这一点来修改你的预期。而当每个都根据别人出价要价的行为修改自己预期后，就不会有纯粹投机性的交易发生！
最早发现这个问题的，大约就是今年获得诺贝经济学诺奖的斯蒂格利兹(JosephStiglitz)教授。他在1971年的一篇未发表论文“信息与资本市场”中，根据一些特例发现，假如人人都能正确推理用经济学术语说就是人人都持有合理预期(Rational Expectation)，则那些掌握了独家信息的人，根本不可能利用他所掌握的信息从市场中赚到额外的钱！到了1977年，经济学家兼博弈论专家克雷普斯 ( D.Kreps)，首先对此结论给出了一般的数学证明，以后又经过不少经济学家改进推广。现在许多高级博弈论教科书上都能找到不投机定理的证明，漂亮、严格、无隙可击。
我们知道，赌博、赛马、市场投机在现实生活中广泛存在，一些人可能是出于娱乐的目的随便玩玩，但不少人就是专门抱着从投机中赢利的目的来干此行当。不投机定理从反面说明，在纯粹赌博和投机中，必定有人没有遵循“正确的”的理性推理法则，必定有人犯了“大错”。比如在股市投机中，假如玩ｓｈｏｒｔ是正确的，则那些玩ｌｏｎｇ的就肯定错了，不可能同时都对。也许，参与投机的人，个个都认为自己比别人更聪明，别人犯错的时候自己不犯错。然而这种看法逻辑上有矛盾，与经济学里通常关于理性的界说，显然不符合。理性的人，固然不是不可以犯错，却不应该大犯逻辑错误。
这样一种现实与理论的明显矛盾，该当如何弥补？这是今天经济学家们面临的一个头疼问题。一个最直接最便当的的办法，就是部分放弃理性人假设。比如今天经济学里不少关于股市投机的模型，一方面假定有理性的的投机者存在，能够正确地推理；另一方面又假定有大量非理性的“噪声”投机者，丝毫不顾逻辑推理，乱来乱有理。后面这些人存在的唯一效用，似乎就是给前者当靶子，使前者可以用他们掌握的优越信息从“噪声”投机者中赚钱。我不喜欢这类模型，觉得它们毫无来由地假定某些人天生就是傻瓜，太没道理。但是，当我看到现实股市中大量散户，盲目投资，损多益少，有时不免也想，可能这些经济学家的模型是对的，有些人分明就是傻客？
( 说明一下，本文谈的市场投机，仅指基于私人信息差异的纯粹投机性交易，不包括真正的投资性交易，比如根据有共识的市场长期趋势买卖股票，以及由于个人持股成本和资金需求变动而产生的股票转手等等，这些交易尽管也要承担收益风险，却不是经济学家所谈的投机现象。)
２００１年１０月２９日
附录：
对任何有限ｎ的场合，推理如下：
(1)、假如你拿到10^(n+1)，你显然不会答应交换，因为这已经是最高金额，对方的钱肯定比你的少；
(2)、假如你拿到10^n，你不会愿意交换；因为根据(1)，对方拿的钱在10^(n+1)时，肯定不会愿意交换，愿意交换的时候，钱肯定比这少，于是你无法从交换中得利；
(3)、假如你拿到10^(n-1)，你不会愿意交换；因为根据(1)和(2)，对方拿的钱等于或多于10^n时，肯定不会愿意交换，于是你还是无法从交换中得利；
(4)、假如你拿到10^(n-2)，你不会愿意交换；因为根据(1)、(2)和(3)，对方拿的钱等于或多于10^(n-1)时，肯定不会愿意交换，你无法从交换中得利；
如此等等。。。。
(n+1)、假如你拿到10，你不会答应交换；因为根据(1)、(2)直至(n)，对方拿的钱等于或多于10^2=100时，肯定不会答应交换，于是你除了白白付出一块钱外，无法从交换中得利；
结论：无论你的钱是多少，都不应该打赌。
【我的1D分析方法----------作者不详 没有附件 对错情况不明】
今天无私贡献一次，将我的1D分析方法贴在这里～在开始之前，手头需要准备Excel、MINITAB这两款软件～
我的基本思路是做出遗漏值的时间序列图，然后从图中发现机会进行追号购买～Excel或者MINITAB均可以生成时间序列图，但推荐使用MINITAB，在MINITAB的工作表区域填入新的数据，图表会自动更新～Excel需要手工更新数据区域才可以更新图形～
本方法的附件：
点击浏览该文件博彩基本公式、前一4遗漏统计、损益表、说明、MINITAB文件
点击浏览该文件时间序列图
首先介绍几个统计学概念：
四分之一分位数（Q1）、中位数（Median）、四分之三分位数（Q3）。例如有一些数：3、4、3、5、7、2、8，最中间的那个数是4（也就是 50％位置的那个数），则中位数即为4；25％位置的那个数为Q1，本例为3；75％位置的那个数为Q3，本例为7。为什么要知道这些呢？比如我们统计了 1000期数据前一4的遗漏值，得到了大约100个遗漏值，通常的做法是算出平均值，即认为50个值在平均值之上，另外50个值在平均值之下，这严重错误！我们需要的不是平均值，而是中位数的值，如果我们求得的中位数的值为8，则有50个遗漏是小于8的，而另外50个遗漏大于8～我们还需要求得Q3的值，则有75个遗漏是小于Q3的，另外25个大于Q3～
唠叨了一通，很枯燥，请继续看下去～我们将得到的这100个前一4的遗漏按先后顺序排下去，以自然数1、2、3、4、5为x轴坐标，以实际的遗漏值为y坐标，可以得到时间序列图～在时间序列图中，有相当明显的趋势接下来的遗漏会是什么，知道了接下来的遗漏，就可以制定相应的计划进行追号了～
第一步：数据准备，我在这里为大家准备前一4的最新遗漏数据。
第二步：将遗漏数据拷贝至MINITAB的工作表区域，生成时间序列图。另附在Excel中生成时间序列图的方法，对于没有MINITAB的朋友可以使用。
第三步：分析图形，等待机会，制定追号计划。
以上三步在附件里有详细说明。另外，给大家介绍博彩基本公式。
博彩基本公式：N＝ln(1-DC)/ln(1-p)
1、DC(Degree of Certainty)期望命中率；2、N(Number of Drawings)遗漏；3、p(Probability)概率。ln是以e(在Excel中此函数即为exp())为底的自然对数，当然你也可以用log来代替。
在抛硬币游戏中，结果不是正面就是反面，不考虑正反面的差异，则正反面的概率p都等于50％，现在问，如果连续抛掷10次都出正面，那么第11次出反面的概率为多少？
实际上，不论你前面连续抛出了多少次正面或反面，接下来一次出正反面的概率都是50％，每一次抛掷硬币都可以看作是彼此独立的。但是我们忽略了统计这个重要因素！当抛掷的次数越来越多的时候，正反面出现的次数几乎各占一半。
现在继续来考虑上面抛硬币的问题，连续出10次正面，意味着第11次很可能出反面，如果第11次仍然出了正面，意味着第12次愈加可能出反面，依此类推，接下来出反面的可能性越来越高。这个可能性就是公式中描述的期望命中率DC，注意这和概率p(本例中p＝50％)是完全不同的两个概念。
现在，我们期望以99.9%的可能性保证反面，带入上述公式，得到：
N＝ln(1-99.9%)/ln(1-50%)=9.97，也就是说连续抛掷10次，我们才能以99.9%的可能性保证反面的结果。将这个公式推导一下，得到：DC＝1-e(N*ln(1-p))。
举个时时乐前一或后一的例子，我们选择4,-,-为例，其概率为10%，如果我们期望以99.9%的可能性命中，则最少需要坚持的期数N为：N＝ln(1 - 99.9%)/ln(1-10%)=66期，这通常也是遗漏的上限了。如果将期望命中率定为50%，则得到N＝7，也就是在7期以内可以保证以50%的可能性命中4,-,-
