绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 绝对值三角不等式练习

二. 教学目的

1、掌握绝对值的三角不等式;

2、掌握不等式证明的基本方法

三. 知识分析

[绝对值的三角不等式]

定理1 若a,b为实数,则  ,当且仅当ab≥0时,等号成立。

几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。

(2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。

|a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。



定理2 设a,b,c为实数,则  ,等号成立  ,即b落在a,c之间。

推论1

推论2

[不等式证明的基本方法]

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。

比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。

比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。

如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。

2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。

所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“  ”表述。

综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。

3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。

4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得  ,  ,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。

【典型例题】

例1、已知函数  ,设a、b∈R,且a≠b,求证:

思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明:

证明:

证法一:



  ①

当ab≤-1时,式①显然成立;

当ab>-1时,式①    ②

∵a≠b,∴式②成立。故原不等式成立。

证法二:当a=-b时,原不等式显然成立;

当a≠-b时,





∴原不等式成立。

点评:此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考。

例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:  。

思路:本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m≥|a|、m≥|b|、m≥1。

证明:





故原不等式成立。

点评:将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。

例3、函数  的定义域为[0,1]且  。当  ∈[0,1],  时都有  ,求证:  。

证明:不妨设  ,以下分两种情形讨论。



则  

    ,若





综上所述

点评:对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法。

例4、已知a>0,b>0,求证:  。

思路:如果用差值比较法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分?从题目结构特点看,应采取局部通分的方法。

证明:



  ①

  ②

∴原不等式成立。

点评:在上面得到①式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有②明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,本题还可以用比值比较法证明,留给读者去完成。

例5、设x>0,y>0,且x≠y,求证:



思路:注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手。

证明:∵x>0,y>0,且x≠y,



点评:在不便运用比较法或综合法时,应考虑用分析法。应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“  ”表述。本题应用了分析法,既找到了解题思路,又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得。

例6、已知a、b、c∈R+,求证:  。

思路:因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、c∈R+的条件,运用重要不等式,采用综合法进行证明。

解析:









点评:用重要不等式证明不等式,一要注意重要不等式适用的条件,二要为运用重要不等式创造条件。另外,同向不等式相加或相乘,在综合法中常用到。

例7、证明:对于任意实数x、y,有

思路:采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。

证明:用分析法







不等式②显然成立,下面证明不等式①



  同号

  ,即



点评:上述证明中,前半部分用的是分析法,后半部分用的是比较法,两种方法结合使用,使问题较容易解决,这一点应加以注意。

例8、(1)用反证法证明以下不等式:已知  ,求证p+q≤2。

(2)试证:    (n≥2)。

思路:运用放缩法进行证明。

证明:(1)设p+q>2,则p>2-q,





  这与  =2矛盾,



(2)  ,

又  。将上述各式两边分别相加得





点评:用放缩法证明不等式过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩,函数的单调性放缩,重要不等式放缩等。放缩时要注意适度,否则不能同向传递。

【模拟试题】

1、设a、b是满足ab<0的实数,那么( )

A、  B、

C、  D、

2、设ab>0,下面四个不等式①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|中,正确的是( )

A、①和② B、①和③ C、①和④ D、②和④

3、下面四个式子①  ;②  ;③  ;④  中,成立的有( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

4、若a、b、c∈R,且  ,则下列不等式成立的是( )

A、  B、

C、    D、

5、设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式  成立的一个充要条件是( )

A、a、b、c全为正数 B、a、b、c全为非负实数

C、  D、

6、已知a<0,-1<b<0则( )

A、  B、

C、  D、

7、设实数x、y满足  ,若对满足条件的x、y,x+y+c≥0恒成立,c的取值范围是( )

A、  B、

C、  D、

8、对于任意的实数x,不等式  恒成立,则实数a的取值范围是_________。

9、若a>c>b>0,则  的值的符号为__________。

10、设a、b、c∈R+,若  ,则  __________。

11、已知x,y∈R,且  ,则z的取值范围是__________。

12、设  ,

求证:  。

13、已知a、b是不等正数,且  ,

求证:  。

14、已知  ,求证:  中至少有一个不小于  。

15、设a、b为正数,求证:不等式  ①

成立的充要条件是:对于任意实数x>1,有  ②



【试题答案】

1、B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、D 7、A

8、(-∞,3)

9、负

10、9

11、

12、证明:







13、证明:a、b是不等正数,且









而  一定成立,故  成立。

14、证明:用反证法。假设  都小于  ,则  ,

而  

  ,相互矛盾,

  中至少有一个不小于  。

15、证明:设  ,那么不等式②对  恒成立的充要条件是函数  的最小值大于b。





当且仅当  ,  时,上式等号成立。

故  的最小值是  。

因此,不等式②对x>1恒成立的充要条件是  >b  。

  

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