爱华网因为蒋劲松最近谈起了吴国盛版的“芝诺悖论”，引来的陈祖甲老先生的几
句议论。而陈老先生的议论，又引来新语丝上更多的议论。世上的“悖论”虽然
很多，著名似乎只有这么几个，于是罗素悖论又惹上了池鱼之灾。
wangcf说：“数学上是存在悖论的，比如著名的‘理发师悖论’”。现代数
学上有没有悖论我不知道，毕竟我不通晓所有的数学门类。但我知道，罗素悖论
已经被现代数学排除了。阮宗光又言道：“任何公式用在自己身上就可能产生自
我矛盾”。“可能”自然是不错的，总归稍嫌粗糙。
理发师悖论，逻辑学里称作罗素悖论。罗素先生写过一本《数理哲学导论》，
介绍当时数学上的一些成果。书里介绍罗素悖论时用小村庄里的理发师打了个比
方，结果这个比方因为通俗（并不易懂）反倒喧宾夺主，后世许多人只知道理发
师悖论却不知道罗素悖论，更不知道罗素悖论针对的只是康托的集合论，不是现
代集合论。
集合论是康托最早完整提出的。但康托的集合论有一个问题：他没有严格定
义“集合”这个概念。康托说，集合就是把具有某种性质的对象都放在一起。康
托的集合论提出之后，悖论不断。康托自己就发现过一个“康托悖论”。康托悖
论的构造比较复杂，当时不少数学家认为是构造过程出了问题，直到罗素发现了
罗素悖论：
令X:={x是集合 | x不∈x} (X是所有不属于自身的集合的集合)。然后问：X
属于X乎？若然，则根据X的定义，X必不属于X。X不属于X乎？如此则同样根据X
的定义，X必属于X。
罗素悖论构造非常简单，只用“属于”关系和“把具有某种性质的对象都放
在一起”这个直观。从此数学家们明白了，康托的集合定义是错的，因为“属于”
关系必不可少。
为了修补康托集合论的纰漏，逻辑学家决定严格定义“集合”。他们从代数
学上借来了公理化方法。简略说来就是这样：什么是集合？满足我这几条公理的，
不管什么东西，就是集合。大家可以比对一下“群”的定义：满足群论三公理
（有些教科书上采用等价的二条公理），就是群。至于满足群论三公理的那个东
西是整数上的加法、正实数上的乘法，反倒不重要。
但具体采用哪些公理，数学家们忽然有了分歧。罗素悖论的核心有两个：一，
自指的概念（阮君的“公式用在自己身上”庶几近之）；二，取反（这是阮君忽
视的地方，然而他举的几个悖论或明或暗都有“取反”）。集合论的公理化同样
分作两派，好像华山派的两宗（集合论的两派自诞生之日不断互相取长补短，是
华山派的江湖豪客所比不上的）。一派将集合的概念从下往上切成一层一层的，
下层的集合只能属于上层的集合，于是自指被很仔细地剔除了。这一派的代表是
ZFC公理系，因为采用的人多，有些教科书上称之为标准系。另一派则严格地限
制“取反”的使用，有些甚至完全禁止“取反”。这一派的代表是直觉主义逻辑。
我不清楚这个名字的由来，大概是他们的“集合”的概念最接近康托原先的直觉
吧。
总结一下：罗素悖论只有在康托的集合论里才有。现代集合论是公理集合论，
罗素悖论被小心地排除了。
ps1. 如果我没记错的话（许多年前在超星上看的，现在帐号过期，无法求
证），罗素《数理哲学导论》也有关于两个芝诺悖论的分析，自然详尽得多。大
家有兴趣不妨找来一观。
ps2. 这方面的知识，数学系里似乎不容易学到；求教哲学系更是进错庙门
烧错香，恐怕阮君和wangcf君就是受了一些哲学家不科之普的毒害。因为学科自
身的特点和钱的关系，反倒一些搞理论计算机科学的更清楚。
