谈谈罗素悖论及公理集合论 公理集合论导引

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  因为蒋劲松最近谈起了吴国盛版的“芝诺悖论”,引来的陈祖甲老先生的几
句议论。而陈老先生的议论,又引来新语丝上更多的议论。世上的“悖论”虽然
很多,著名似乎只有这么几个,于是罗素悖论又惹上了池鱼之灾。

  wangcf说:“数学上是存在悖论的,比如著名的‘理发师悖论’”。现代数
学上有没有悖论我不知道,毕竟我不通晓所有的数学门类。但我知道,罗素悖论
已经被现代数学排除了。阮宗光又言道:“任何公式用在自己身上就可能产生自
我矛盾”。“可能”自然是不错的,总归稍嫌粗糙。

  理发师悖论,逻辑学里称作罗素悖论。罗素先生写过一本《数理哲学导论》,
介绍当时数学上的一些成果。书里介绍罗素悖论时用小村庄里的理发师打了个比
方,结果这个比方因为通俗(并不易懂)反倒喧宾夺主,后世许多人只知道理发
师悖论却不知道罗素悖论,更不知道罗素悖论针对的只是康托的集合论,不是现
代集合论。

  集合论是康托最早完整提出的。但康托的集合论有一个问题:他没有严格定
义“集合”这个概念。康托说,集合就是把具有某种性质的对象都放在一起。康
托的集合论提出之后,悖论不断。康托自己就发现过一个“康托悖论”。康托悖
论的构造比较复杂,当时不少数学家认为是构造过程出了问题,直到罗素发现了
罗素悖论:

  令X:={x是集合 | x不∈x} (X是所有不属于自身的集合的集合)。然后问:X
属于X乎?若然,则根据X的定义,X必不属于X。X不属于X乎?如此则同样根据X
的定义,X必属于X。

  罗素悖论构造非常简单,只用“属于”关系和“把具有某种性质的对象都放
在一起”这个直观。从此数学家们明白了,康托的集合定义是错的,因为“属于”
关系必不可少。

  为了修补康托集合论的纰漏,逻辑学家决定严格定义“集合”。他们从代数
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学上借来了公理化方法。简略说来就是这样:什么是集合?满足我这几条公理的,
不管什么东西,就是集合。大家可以比对一下“群”的定义:满足群论三公理
(有些教科书上采用等价的二条公理),就是群。至于满足群论三公理的那个东
西是整数上的加法、正实数上的乘法,反倒不重要。

  但具体采用哪些公理,数学家们忽然有了分歧。罗素悖论的核心有两个:一,
自指的概念(阮君的“公式用在自己身上”庶几近之);二,取反(这是阮君忽
视的地方,然而他举的几个悖论或明或暗都有“取反”)。集合论的公理化同样
分作两派,好像华山派的两宗(集合论的两派自诞生之日不断互相取长补短,是
华山派的江湖豪客所比不上的)。一派将集合的概念从下往上切成一层一层的,
下层的集合只能属于上层的集合,于是自指被很仔细地剔除了。这一派的代表是
ZFC公理系,因为采用的人多,有些教科书上称之为标准系。另一派则严格地限
制“取反”的使用,有些甚至完全禁止“取反”。这一派的代表是直觉主义逻辑。
我不清楚这个名字的由来,大概是他们的“集合”的概念最接近康托原先的直觉
吧。

  总结一下:罗素悖论只有在康托的集合论里才有。现代集合论是公理集合论,
罗素悖论被小心地排除了。

  ps1. 如果我没记错的话(许多年前在超星上看的,现在帐号过期,无法求
证),罗素《数理哲学导论》也有关于两个芝诺悖论的分析,自然详尽得多。大
家有兴趣不妨找来一观。

  ps2. 这方面的知识,数学系里似乎不容易学到;求教哲学系更是进错庙门
烧错香,恐怕阮君和wangcf君就是受了一些哲学家不科之普的毒害。因为学科自
身的特点和钱的关系,反倒一些搞理论计算机科学的更清楚。

  

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