发布时间：2024年11月06日 16:13:42分享人:真心被狼叼了来源:互联网18
组合数有一公式：Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，其证明方法是多种多样的。现举例。一、数学归纳法。参见《集合中子集个数问题》，利用组合数递推式。二、利用二项式定理。由二项式定理得：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnnbn令a=1，b=1，则(1+1)n=Cn01n+Cn11n-11+Cn21n-212+…+Cnn1n2n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn三、构造法（一）。构造一个求集合子集个数的模型。集合子集中，第一个元素可选可不选，第二个可选可不选……，共2n种选法，即子集个数。可不选元素，有Cn0种情况；可选一个元素，有Cn1种情况；……，共Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn种选法，即子集个数。则2n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn四、构造法（二）。仍用上述模型。集合子集个数为Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn不变。从集合中取一个元素，分集合为两类：含此元素的和不含的，均为Cn-10+Cn-11+Cn-12+…+Cn-1n-1个子集。则Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2(Cn-10+Cn-11+Cn-12+…+Cn-1n-1)Cn0=20则Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
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