高中数学常用公式汇总及结论 高中数学常用公式默写

1 、元素与集合的关系

2 、集合  的子集个数共有  个;真子集有  个;非空子集有个;非空的真子集有  个.

3 、二次函数的解析式的三种形式:

(1) 一般式:

(2) 顶点式 :  (当已知抛物线的顶点坐标  时,设为此式)

(3) 零点式:  (当已知抛物线与轴的交点坐标为  时,设为此式)

(4)切线式:  。(当已知抛物线与直线  相切且切点的横坐标为  时,

设为此式)

4、 真值表: 同真且真,同假或假

5 、常见结论的否定形式;



6 、四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)



充要条件: (1)  则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;

(2)  且q ≠> p,则P是q的充分不必要条件;

(3) p ≠> p ,且  ,则P是q的必要不充分条件;

(4)p ≠> p ,且  则P是q的既不充分又不必要条件。

7、 函数单调性:

增函数:(1)文字描述是:y随x的增大而增大。

(2)数学符号表述是:设f(x)在  上有定义,若对任意的  ,都有  成立,

则就叫  在上是增函数。D则就是f(x)的递增区间。

减函数:(1)、文字描述是:y随x的增大而减小。

(2)、数学符号表述是:设f(x)在xD上有定义,若对任意的  ,都有

成立,则就叫f(x)在上是减函数。D则就是f(x)的递减区间。

单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数; (2)、减函数+减函数=减函数;

(3)、增函数-减函数=增函数; (4)、减函数-增函数=减函数;

注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性:



等价关系:

(1)设  ,那么

  上是增函数;

  上是减函数.

(2)设函数  在某个区间内可导,如果  ,则  为增函数;如果  ,则为减函 数.

8、函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称)

奇函数定义:在前提条件下,若有  , 则f(x)就是奇函数。

性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称;

(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;

(3)、定义在R上的奇函数,有f(0)=0 .

偶函数定义:在前提条件下,若有f(—x)=f(x),则f(x)就是偶函数。

性质:(1)、偶函数的图象关于y轴对称;

(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间;

奇偶函数间的关系:

(1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2)、奇函数·奇函数=偶函数;

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)

(5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,

那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.

9、函数的周期性: 定义:对函数f(x),若存在  ,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,

其中,T是f(x)的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式:

(1)、 f(x+T)= - f(x),此时周期为2T ;

(2)、 f(x+m)=f(x+n),此时周期为  ;

(3)、  此时期为2m 。

10、常见函数的图像:



11、 对于函数  恒成立,则函数的对称轴是  ;

两个函数f=(x+a)与y=(b-x) 的图象关于直线  对称.

12、 分数指数幂与根式的性质:



13 、指数式与对数式的互化式: .

指数性质:



指数函数:

(1)、  在定义域内是单调递增函数;

(2)、  在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点(0,1)

对数性质:



对数函数:

(1)、  在定义域内是单调递增函数;

(2)、  在定义域内是单调递减函数;注: 对数函数图象都恒过点(1,0)

(3)、  

(4)、

14、 对数的换底公式 :

对数恒等式

推论

15、对数的四则运算法则:若a>0,a≠1,M>0,N>0,则



16、 平均增长率的问题(负增长时):如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间的总产值,

有  .

17 、等差数列:通项公式: (1)  ,其中  为首项,d为公差,n为项数,  为末项。

(2)推广:

(3)  (注:该公式对任意数列都适用)

前n项和: (1)  ;其中为首项,n为项数,为末项。

(2)

(3)  (注:该公式对任意数列都适用)

(4)  (注:该公式对任意数列都适用)

常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有  ;

注:若  的等差中项,则有  n、m、p成等差。

(2)、若  、为等差数列,则  为等差数列。

(3)、  为等差数列,为其前n项和,则  也成等差数列。

(4)、

(5)

等比数列:

通项公式:(1)  ,其中为首项,n为项数,q为公比。

(2)推广  :

(3)  (注:该公式对任意数列都适用)

前n项和:(1)  (注:该公式对任意数列都适用)

(2)  (注:该公式对任意数列都适用)

(3)

常用性质: (1)、若m+n=p+q ,则有  ;

注:若  的等比中项,则有  成等比。

(2)、若、  为等比数列,则  为等比数列。

18、分期付款(按揭贷款) :每次还款  元(贷款元,次还清,每期利率为).

19、三角不等式:

(1)若  ,则  .

(2) 若  ,则  .

(3) .

20 、同角三角函数的基本关系式 :

21、 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

22、 和角与差角公式



(辅助角  所在象限由点(a,b) 的象限决定  , ).

23、 二倍角公式及降幂公式



.

24、 三角函数的周期公式

函数  及函数  ),x∈R(A,ω,为常数,且A≠0)的周期  ;  函数,(A,ω,为常数,且A≠0)的周期  .

三角函数的图像:

25 、正弦定理 :  (R为  外接圆的半径).



26、余弦定理:

27、面积定理:

(1)  分别表示a、b、c边上的高).

  

28、三角形内角和定理 :

在△ABC中,有  

.

29、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么:



30、与的数量积(或内积):  ·

31、平面向量的坐标运算:



32 、两向量的夹角公式:

33、 平面两点间的距离公式:

34、 向量的平行与垂直 :设=,=,  ,则:

  (交叉相乘差为零)

  (对应相乘和为零)

35 、线段的定比分公式 :设  ,是线段  的分点,是  实数,

且  ,则

    36、三角形的重心坐标公式:  三个顶点的坐标分别为

则的重心的坐标是

.

37、三角形五“心”向量形式的充要条件:设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则



38、常用不等式:



39、极值定理:已知都是正数,则有

(1)若xy积是定值P,则当x=y时和有最小值  ;

(2)若x+y和是定值S,则当x=y时积有xy最大值  .

(3)已知  ,若  则有

(4)已知  ,若则有

40、 一元二次不等式  ,如果a与  同号,则其解集在两根之外;如果a与  异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.即:

.

41 、含有绝对值的不等式 :当a> 0时,有

.



42、 斜率公式 :

43 、直线的五种方程:

(1)点斜式:  (直线  ).

(2)斜截式:  (b为直线在y轴上的截距).

(3)两点式:

两点式的推广:  (无任何限制条件!)

(4)截距式 :  (分别为直线的横、纵截距,  )

(5)一般式:  (其中A、B不同时为0).

直线的  法向量:  ,方向向量  :

44 、夹角公式:



45 、到的角公式:



46、 点到直线的距离 :  (点,直线:).

47、 圆的四种方程:

(1)圆的标准方程 :

(2)圆的一般方程:  (>0).

(3)圆的参数方程 :

(4)圆的直径式方程 :  (圆的直径的端点是

48、点与圆的位置关系:点  与圆  的位置关系有三种:



49、直线与圆的位置关系:直线  与  圆的位置关系有三种



50 、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,,  则:

  

.

51 、椭圆  的参数方程是  . 离心率  ,

准线到中心的距离为  ,焦点到对应准线的距离(焦准距)  。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为  :.

52、 椭圆  焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:



53、椭圆的的内外部 :



54、椭圆的切线方程:



55 、双曲线的  离 心率  ,准线到中心的距离为  ,焦点到对应准线的距离(焦准距)  。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:.

焦半径公式  ,

两焦半径与焦距构成三角形的面积  。

56 、双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1)若双曲线方程为  渐近线方程:

(2)若渐近线方程为  双曲线可设为.

(3)若双曲线  与有公共渐近线,可设为

(  ,焦点在x轴上,  ,焦点在y轴上).

(4) 焦点到渐近线的距离总是b。

57、双曲线的切线方程:

  .

58、抛物线  的焦半径公式:

抛物线  焦半径

过焦点弦长  .

59、二次函数  的图象是抛物线:

(1)顶点坐标为  ;(2)焦点的坐标为  ;

(3)准线方程是

60 、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 :



(弦端点  ,由方程  消去y得到  

为直线的倾斜角,  为直线的斜率

61、证明直线与平面的平行的思考途径:

(1)转化为直线与平面无公共点;

(2)转化为线线平行;

(3)转化为面面平行.

62、证明直线与平面垂直的思考途径:

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。

63、证明平面与平面的垂直的思考途径:

(1)转化为判断二面角是直二面角;

(2)转化为线面垂直;

(3) 转化为两平面的法向量平行。

64、 向量的直角坐标运算:



65、 夹角公式:

设  则

66 、异面直线间的距离 :

(  是两异面直线,其公垂向量为  ,C,D是  上任一点,d为  间的距离).

67、点到平面  的距离:  (  为平面的法向量,,  是的一条斜线段).

68、球的半径是R,则其体积  ,其表面积  .

69、球的组合体:

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为  的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高  ,外接球的半径为  (正四面体高

70 、分类计数原理(加法原理):  .

分步计数原理(乘法原理):  .

71、排列数公式 :

72 组合数公式:

组合数的两个性质:

73 、二项式定理:

二项展开式的通项公式:

  的展开式的系数关系:



74 、互斥事件A,B分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).

个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

75 、独立事件A,B同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B).

n个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An).

76、 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率:

77、 数学期望:

数学期望的性质

(1).

(2)若  则  .

(3) 若  服从几何分布,且

78、方差:

标准差:

方差的性质:

(1);

(2)若

(3) 若  服从几何分布,且

方差与期望的关系:

79、正态分布密度函数:

式中的实数  是参数,分别表示个体的平均数与标准差.

对于  ,取值小于x的概率:  .



80 、  处的导数(或变化率):



.

81 、函数  在点  处的导数的几何意义:

函数  在点处的导数是曲线  在处的切线的斜率  ,相应的切线方程是  .

82、几种常见函数的导数:



83、 导数的运算法则:

84、 判别  是极大(小)值的方法:

当函数f(x)在点处连续时,



85 、复数的相等:

86、 复数  的模(或绝对值)

87、 复平面上的两点间的距离公式:

88、实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程



③若  ,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根.

  

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