转载 证明——三角形垂心重心外心共线欧拉线 重心垂心内心外心向量

我用了两年时间系统详细研究三角形，先后证明三角形三条角平分线交于一点（内心）、三边垂直平分线交于一点（外心）、三条中线交于一点（重心）、三条高交于一点（垂心）。证明这些，最终是要为今天证明的这个命题做铺垫的。如果我都不能证有重心、垂心、外心之类，又怎样证三者的共线？

已知：△ABC中，P为其垂心，O为其重心，Q为其外心。

求证：P、O、Q共线且OP=2OQ

证明

作BC的中点D、AC的中点E，连接并延长AP交BC于F，连接并延长BP交AC于G，连接AD、DE、DQ、EQ

∵Q为△ABC外心（已知），D、E分别为BC、AC中点

∴DQ为BC垂直平分线，EQ为AC垂直平分线（外心为三角形任两边垂直平分线交点）

∴DQ⊥BC，EQ⊥AC（垂直平分线定义）

∵P为△ABC垂心（已知）

∴AP⊥BC，BP⊥AC（垂心为三角形任两高交点）

∴AP∥DQ，BP∥EQ（垂直于同一直线的两直线平行）

∵D为BC中点，E为AC中点（由辅助线做法）

∴AB∥DE，且AB/DE=2（三角形中位线平行于第三边且等于此边一半）

∴△ABP∽△DEQ（三边分别对应平行的两三角形相似）

∴AP/DQ=AB/DE=2（相似三角形对应边成比例）

∵O为△ABC重心（已知），AD为BC上中线（辅助线做法）

∴O在AD上且AD/OD=3（重心是三角形任一中线靠近边一侧的三等分点）

∴OA/OD=2（比例代换）

∵AP∥DQ（已证）

∴∠PAO=∠QDO（两直线平行，内错角相等）

又∵AP/DQ=OA/OD=2（等量代换）

∴△AOP∽△DOQ（两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）

∴OP/OQ=OA/OD=2，∠AOP=∠DOQ（相似三角形对应边成比例，对应角相等）

∵A、O、D共线（已证）

∴∠AOQ+∠DOQ=180°（顺序共线三点成平角）

∴∠AOQ+∠AOP=180°（代入）

∴P、O、Q三点共线（平角两边上点与顶点共线）

证明完毕

三角形重心、垂心、外心共线，且重心到垂心距离等于重心到外心距离的两倍。此线称为欧拉线。

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