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分类： 数学教育大师论文集
《数学课程标准》的若干思考
史宁中
【作者简介】史宁中 东北师范大学，长春 130024
一、制定《数学课程标准》的目的
为什么要制定课程标准呢？为什么要进行如此大规模的课程与教学改革呢？有的人说是要解决应试教育的问题，有人说要减轻学生的负担，还有人说要激发学生学习的兴趣等等，有各种各样的理由。但是我想这些都不是根本。教育的好坏取决于两条：第一，是不是有利于学生的发展；第二，是不是有利于国家的发展。如果教育既有利于学生的发展又有利于国家的发展，即便辛苦一点也没什么了不起的。
我之所以说这些，是因为在讨论问题时应当遵循一个原则，也就是在考虑任何问题时应该有个很好的出发点，这个出发点应当是大家公认的标准。
关于学生发展的需要我不想谈的更多，过去的教育是一种专业人才的培养，专业人才的培养适应于计划经济。但是对市场经济来说，学生毕业之后的工作、求职往往是会变化的，而且要更多地尊重本人专业的志向，因此要采用自主发展的人才培养模式。
第二就是国家发展的需要。现在国家最需要的是创新人才，为什么呢？因为中国的经济已经得到了快速的发展，要保持这个速度发展，创新是很重要的。新的思想、新的工艺、新的技术很重要，所以创新人才的培养是国家重要的发展战略。
创新人才应该在基础教育阶段开始培养，这个想法已经被国家采用了。过去大家误认为创新型人才都是在大学或者是工作之后才培养的，其实不然。为什么呢？创新最起码依赖于三个条件，创新意识、创新能力和创新机遇。事实上创新意识、甚至创新能力都是在基础教育阶段培养。一个在18岁之前一个问题都没有认真思考过的孩子是不可能成为创新型人才的。所以在基础教育阶段应该培养学生的创新意识和创新能力，这是我们研制课程标准和未来教学的最基本的出发点。
二、创新能力的基础
创新能力依赖于三方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要。关于“知识的掌握”，我国的中小学数学教育是没有问题的；关于“经验的积累”，大概还差得很多；关于“思维的训练”，我们做得也不够，只能打五十分。那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作。我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新，帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验，没有这样的意识。
我今天主要谈一谈思维训练。思维训练主要靠两个能力，一个是演绎能力，一个是归纳能力。爱因斯坦说过：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时代，特别是工业革命以后）。”前者指的是演绎能力，后者指的是归纳的能力。
三、我国教育的现状
回忆我们的数学教育，特别是50年代的数学教育，我们强调数学的双基。双基主要是基础知识和基本技能。基础知识本质上是概念的记忆和命题的理解，要求基础知识扎实；还要求基本技能，主要是证明的技能和运算的技能，要求熟练。这是我们当时整个教育的状况，也就是说我国的数学教育主要关注的是演绎能力的培养。关于这一点，杨振宁先生深有体会。他在《我的生平》中说：“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，在美国学到了归纳能力。”不仅仅是杨振宁先生，许多留学生都有同感，不管他们是否作出了卓越的成绩，他们的感受是一样的。事实上，我国古代传统数学的基础是归纳推理，因为在古代中国根本就没有演绎推理，一直是归纳、计算。但是现在归纳少了，演绎反而多了。演绎从康熙时代翻译《几何原本》开始到现在也不过几百年历史，但是现在却占了主导。为什么会出现这种情况？我想大概演绎和中国上千年的科举考试关系密切。因为科举要求的是基本功扎实，知识记忆的牢靠和八股文的写作。演绎方法与此有相似之处。
现在，很多中学提出来，数学问题应该“一看就会、一做就对”。怎么能这样呢？不经过思考的不是数学，数学不是技能训练。一定程度的熟练是必要的，但是过分强调就走向反面。所以我这次跟教育部很认真地提出来，要不然增加考试时间，要不然减少考试题目。只要学生经过思考能够答出就是好样的。
演绎能力是能够熟练使用演绎推理的能力。演绎推理来源于什么呢？来源于亚里士多德。当时的古希腊非常盛行辩论，在辩论过程中，亚里士多德发现两个事情需要清楚，第一，大家讨论问题得有一个脱离逻辑背景的公认前提；第二，在讨论过程中必须有一个大家都认为可行的推理的办法，然后再来推理。亚里士多德对这个进行了总结，并将其写入《工具论》这本书里。他提出了著名的三段论，即大前提、小前提和结论。这个方面他有一个非常重要的推理的模式，这个模式之一就是：
凡人都会死，苏格拉底是人，苏格拉底会死。
凡人都会死是大前提，苏格拉底是人是小前提，苏格拉底会死是结论。这是一种标准的三段论模式。这是一种前提和结论之间有必然性联系的推理，是基于概念、按照规则进行的一种推理，是由一般到特殊的推理。欧几里德把这个思想成功地用到了几何学的研究上，创立了几何公理化体系，即欧氏几何。
欧几里德几何是现代数学推理的典范，甚至是开源。它的演绎推理是基于公理、定义和符号的，按照规定的法则进行命题的证明或者公式的推导。从这个意义上来说，计算也是一种演绎的推理，因为计算也是对符号在规定的法则下进行的一种推理。其基本推理模式是这样的：已知A求证B，A和B都是确定的命题，是由确定的命题到确定的命题的一种推理。我们往往认为几何证明是数学的本质，这是不正确的。克莱因说，推理本身是个工具。逻辑可以是数学的标准和约定，但不是它的本质。演绎推理的主要功能在于验证结论而不在于发现结论，由一般到特殊的推理本质上在于验证结论。
前些年我写了篇文章，提出个问题：数学到底是发明的还是发现的？事实上，在一个体系之下作出任何结果都是显然的。为什么呢？因为这个结果在体系中必然存在的，只是你发现它而已。所以体系建立有好处也有坏处。它的好处在于讲课可以很规范，坏处在于任何东西都是显然的。所以忙于建立一个体系不是什么好的事情。
四、还缺少什么
那么我们还缺少什么呢？缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的能力。这两个能力很重要，是创新的基础。前者有利于创造新产品，形成新工艺；后者有利于发现新理论。
拉普拉斯说，发现真理的主要工具是归纳和类比。庞加莱说，数学推理的性质是什么？真是我们通常所认为的演绎吗？归纳能力是能够熟练使用归纳推理的能力。现代归纳推理来源于培根，他在《新工具论》中谈到，就“帮助人们寻求真理”而言，三段论的“坏作用多于好作用”。黑格尔也有类似的说法。数学在本质上研究的是关系（各种关系），最难研究的是因果关系。数学这些年来最核心的研究也是因果关系，因果关系几乎无法用式子表达，但可以研究其内涵。休谟利用归纳和类比思想研究了因果关系，虽没完全搞清楚因果关系，但是对因果关系研究做出了很大的贡献，而这已经成为现代科学的动力。穆尔在他的著作《论自由》中认真地总结了归纳推理。归纳推理十分庞杂，就方法而言，包括枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析。与演绎推理相反，归纳推理是一种从特殊到一般的推理。穆尔说过，“这句话不是很确实的，归纳推理是一种从特殊到范围更广的推理。”归纳推理主要包括两种方法，归纳法和类比法。借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力，这是演绎推理不可比拟的，因此从方法、思维角度来说，过去双基教育缺少了对归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新人才不利。
五、如何培养归纳能力
现在的教育本质上是知识的教育，考察的是该教的内容是否教了，教了的知识学生是否掌握了。这样的教育是不够的。我们必须知道教育应该是以人为本的教育，要考虑学生的全面发展。不仅考虑学生知识的掌握，还要考虑身心的发展，要考虑能力、思维的教育。所以新课标提出的三维目标很重要，除了知识能力的考察外，还要考察过程的目标、情感态度的目标。
演绎推理表现为一种知识，归纳推理则表现为一种智慧。知识和智慧有什么不同呢？我在一篇文章中谈到，“知识在本质上是一种结果，可能是经验的结果，也可能是思考的结果。”单纯追求知识的教育是一种结果的教育，这种教育要走在时代的前面是不可能的。“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程中。”“智慧表现于对问题的处理，对危难的应付，对实质的思考以及实验的技巧等等。”归纳能力是建立在实践的基础上的，更多地依赖于过程，依赖于经验的积累。
要培养一个人的创新能力，必须注重过程，启发思考，总结经验，教会反思。“过程的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。而是学生探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等。讨论知识产生的过程是必要的，但是不可能把知识产生过程都重复一遍，因此，重要的是加深对问题本身的理解，并且能够抓住问题的本质，启发新的思考。比如函数，现在函数的定义非常好，但是当初并不是这样定义的。当初“function”是莱布尼兹给出的，他当时定义的只是图形与数量的对应。虽然他的定义是有问题的，但是他抓住了函数最本质的东西。虽然以后定义改的非常好了，本质却看不见了。一个学者或发明家得到的最后结论可能是非常完美，但头脑中思考的是非常简洁的东西。我在教研究生时，总是让学生先读懂华丽文章的背后思考的东西是什么、思考的主线是什么、思考的核心是什么，这个读出来才能发明创造，把根本的东西吃透了才能得到新的东西。现在，数学课堂上讨论的很热闹，讨论时是一锅粥，讨论完了还是一锅粥。为什么呢？老师必须帮学生总结，不是总结结论对还是错，而是讨论过程中孩子的思考对还是不对，思考的是符合常理还是不符合常理。老师帮助孩子反思总结，积累经验，这是我们的目的。我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历，比如智慧。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨炼，自己去感悟，去积累去反思。
下面我举例说明。
先讲分类。分类是很重要的。可以给小学三年级以下的学生出这样的题目：自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和分类的结果。分类有个基本的原则，能把类分出来，分类之后得到的结果和标准符合就行，无所谓对错。分类在数学中是很重要的，一个好的分类必须抓住事物的本质特征。对于这样的问题，答案是无所谓对错的，只要分类的结果与分类的标准一致就可以。这种问题可以让学生体会到，标准是可以自己定的，这种思维是创新的根本。如果所有的发明创造都是在别人的标准下的发明创造，这是要吃亏的，我们要突破这些。所以从小要教给孩子们：数据可以自己获取，标准可以自己定，结论也可以自己给。
下面是北大附中张思明老师给出的例子：
如图所示，桌子上散落着各式各样的扣子，请同学们想一想能把这些扣子分成几类？分类的标准是什么？
这个问题难一些，可以按照扣子的颜色分类，也可以按照扣子的眼数或形状分类，让孩子们来分。不管开始是怎么分的，这样分下去，分到一定程度后，结果是一样的。让学生知道，可以从不同角度思考问题，这都是归纳。分类基本思想：从一个大前提出发分出两类，再细分，标准逐渐加细，但最后结果一样。
到了初中阶段，问题就可以更复杂了：
某电视台希望了解本地区居民喜欢的电视节目的类型，请同学帮助设计一个调查方案。
这个问题就十分复杂了，不同年龄段的人喜欢的节目不同，光知道这个还不行，还得知道不同年龄段的人数占总人口的比例；涉及到不同文化背景及其所占比例；涉及到不同类型的人看电视的时间；涉及到需要调查的人数等等。在做这个调查之前要把方案设计得很周密，分类分得很仔细，把这个特性抓住。但是，这个问题的核心还是在于标准和结果的关系。学生通过类似这样的贯穿始终的训练，是能够逐渐领悟归纳的思想的。
下面说归纳。归纳这种思想方法与分类有关，归纳的基本思路是：在一类事物中，如果我们考察的所有事物都有性质A，则认为这类事物都具有性质A。
归纳思想在代数的研究中体现得非常多。比如高斯曾说，在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。欧拉则认为，今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……这类知识是通常所说的用归纳所获得的。包括哥德巴赫猜想、费尔马大定理。下面举一个代数的例子：
在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？
这是“鸡兔同笼”的问题的变形，但是椅子和凳子相差一条腿，问题相对简单了一些。老师在教的时候要灵活一些，不要显得太聪明，要让学生思考。对于低年级学生，可以让学生列表尝试： 椅子数 凳子数 腿的总数 16 0 4×16=64 15 1 4×15+3×1=63 14 2 4×14+3×2=62
这个方法看起来很笨拙，实际上很好，因为这是归纳。只要掌握了这种方法，孩子们碰到新问题就会这样来思考了。不要一开始就讲道理，孩子就没有时间思考了。
到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程 椅子数 凳子数 腿的总数 a=16 16-a=0 4×a+3×(16-a)=64 a=15 16-a=1 4×a+3×(16-a)=63 a=14 16-a=2 4×a+3×(16-a)=62
再比如，级数求和（数学归纳法）。
虽然可以用数学归纳法证明，但得事先知道结论，必须先拿数试一试，然后再用数学归纳法。 n 1 2 3 4 5 A(n) 1 3 6 10 15 B(n) 1 5 14 30 35 B(n)/A(n) 3/3 5/3 7/3 9/3 11/3 B(n)/A(n)=(2n+1)/3 B(n)=A(n)(2n+1)/3=n(n+1)(2n+1)/6
对于平方和的情况，我们用B(n)除以A(n)试一试，就会发现一组比较有规律的数，我们可以猜测一般的结果，然后用数学归纳法验证。 n 1 2 3 4 5 A(n) 1 3 6 10 15 B(n) 1 9 36 100 225 B(n)/A(n) 1 3 6 10 15
对于立方和的情况，试一下，发现更简单。事实上通过这种方法可以得到更一般的结果。
对于k次方和的情形，我们猜测是一个 的式子，再通过代入n个数求出系数，从而确定这个方程。
看看几何中的例子，观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱锥，我们发现多面体的欧拉公式：
F（面）+V（顶）=E（棱）+2。
再谈类比。类比是指，一个事物具有性质A，B，C，就有结论D；还有一个事物也具有性质A，B，C，也有结论D。又有一个事物也具有性质A，B，C，它是否也有结论D呢？这与归纳有所不同。类比主要用在几何里。开普勒说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的。”
比如，平面上三条直线可以形成一个封闭图形；空间上四个面可以形成一个封闭图形。还有庞加莱猜想。
这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理”直接给出公式固然是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有效手段，特别是能够帮助学生更直观地理解“道理”。教师在讲课的时候不能太聪明，教师可以与学生一起探索尝试，这是归纳推理的手法，也是我们过去的数学教育忽视的地方。
六、如何改变标准
我想基础知识、基本技能还是必要的，在此前提下还要加上基本思想和基本活动经验。希望能够继续保持促进学生理解数学的基本知识，训练学生掌握数学的基本技能之外，要启发学生领会数学的基本思想，积累数学活动的基本经验。教学时间是有限的，如果加上新的东西就必须对老的东西进行改造，要节省出时间和空间。首先，我们要去掉一些形式化的东西，应当清楚：形式不等于逻辑。过分强调形式化不利于学生思考，这种方法会把数学搞歪了，就会走向八股。形式化适用于判卷，对判断学生是不是清楚地理解了知识是有利的，但不适于学生思考。过分地强调形式就把逻辑的本身掩盖了。其次，我们还应当清楚技巧不等于技能，现在反复训练的是技巧而不是技能。技巧是对一个具体例子或很窄的范围才适用的方法。技能是能举一反三的，而技巧是个案的。我们现在训练过多的是技巧，学生因此很累。比如绝对值中出现字母的情况，我们的老师往往会把问题出的很难，最后不知道是在考察绝对值还是考察方程的解。还有韦达定理，我们需要考的是技能而不是技巧。
七、关于基本思想
“基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。
八、结束语
如果在我国中小学数学教育中，一方面保持“数学双基教学”这个合理的内核，一方面添加“基本思想”和“基本活动经验”，出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式，就必将会出现“外国没有的我们有、外国有的我们也有”的局面，到了那一天，我们就能自豪地说，我国的基础教育领先于世界。^
