《几何原本》5条公设,5条公理 几何公理

《几何原本》5条公设,5条公理

公设1由任意一点到另外任意一点可以画直线。

注释:人民版的表述法与原著有出入。原著并没有说两点间连线是唯一的。这也正是该公设的不足之处。

这个公设事实上给出了无刻度直尺的第一种用途,即作两点连线。

在涉及立体几何的三卷(11~13卷)中,该公设中的“两点”可以是空间中的任意两点

公设2一条有限直线可以继续延长

注释:这个公设事实上给出了无刻度直尺的第二种用途,即延长有限直线。

在平面几何各卷中,有一个不明显的假定:如果一条直线被延长,它依旧会在原来的平面内。立体几何的第一个命题,第11卷命题1,企图证明它,然而这个证明完全没有依据,是错误的。

在欧几里得的几何中不允许在直尺上作标记。因为《原本》中没有公理对这种作法进行保证。使用给直尺作标记的方法,三等分角难题可以迎刃而解。

公设3以任意点为心及任意的距离可以画圆。

注释:这个公设给出了圆规的用途。已知定点、定长画圆。

这个公设不允许圆规的移动。圆规的通常用法是将两脚张开一个指定宽度,将针尖放在一个指定地点,笔尖旋转一周。然而依据该公设画圆时,圆规一旦离开平面,就自动合上了。也就是说,不可以用圆规来传递距离。不过用这种圆规仍然能够起到传递距离的作用。第1卷命题3讲述了作法。所以用普通圆规能完成的作图,用欧几里得的圆规也能够完成。

公设4凡直角都彼此相等

在直角的定义中,可以知道同一个垂足边的两个角是相等的,如∠ACD=∠BCD.这个公设是说,在一个垂足附近的角,如∠ACD,与在任何一个另外的垂足附近的角相等,如∠EGH.

公设5同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交.

注释:这是一个平面几何中的公设.

在图中,如果∠ABE+∠BED<2直角,则AC.DF延长后将在A,D那侧相交.

这个公设通常叫做"平行公设",因为它能证明平行线的性质.

这个公设在历史上是最有趣的一个.很久以来不少几何学家都曾努力用其它几条公设去证明该公设,这样一来就没有必要把它作为一条公设了.人们想用反证法去证明它.如果否定了第五公设,将会得出许多看似荒谬的结论,但这些结论并不与任何公设相抵触.对第五公设的研究,开创了"非欧几何"的新领域.今天我们已经知道,欧氏几何必须要有第五公设.

欧几里得在第1卷命题29之前没有使用该公设,但第1卷的其余部分几乎都依赖于它.

公理1等于同量的量彼此相等

公理2等量加等量,其和仍相等

公理3等量减等量,其差仍相等

公理4彼此能够重合的物体是全等的

公理5整体大于部分

注释:对公理4有两种解释:一种是,任何东西与它自己相等.另一种是:如果一个东西能够移动并与另一个重合,那么它们相等.

公理5可以被解释为"大于"的定义

有一些量的性质,没有在公理中出现,却在《原本》中使用了。例如:

《几何原本》5条公设,5条公理 几何公理

1.如果x不等于y,那么xy(第1卷命题6)

2.x< P>

3.如果x不是不等于y,那么x=y(第1卷命题6)

4.如果x< P>

5.如果x< P>

6.如果x=y,y< P>

7.如果x< P>

8.如果x不大于y,那么x小于或等于y(第1卷命题19)

9.如果x不小于y且x不等于y,那么x>y(第1卷命题19)

10.如果2x=2y,那么x=y(第1卷命题37)

11.如果x=y,那么2x=2y(第1卷命题42)

其中第3条是双重否定的逻辑原理。第1,2,8,9条共同反映了如下一条原理:

对于同样种类的两个量x和y,xy三种关系中有且只能有一个。

这叫做三分法法则,实在应当被作为一条公理。

  

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