爱华网《几何原本》5条公设，5条公理
公设1由任意一点到另外任意一点可以画直线。 注释：人民版的表述法与原著有出入。原著并没有说两点间连线是唯一的。这也正是该公设的不足之处。 这个公设事实上给出了无刻度直尺的第一种用途，即作两点连线。 在涉及立体几何的三卷(11~13卷)中，该公设中的“两点”可以是空间中的任意两点 公设2一条有限直线可以继续延长 注释：这个公设事实上给出了无刻度直尺的第二种用途，即延长有限直线。 在平面几何各卷中，有一个不明显的假定：如果一条直线被延长，它依旧会在原来的平面内。立体几何的第一个命题，第11卷命题1，企图证明它，然而这个证明完全没有依据，是错误的。 在欧几里得的几何中不允许在直尺上作标记。因为《原本》中没有公理对这种作法进行保证。使用给直尺作标记的方法，三等分角难题可以迎刃而解。 公设3以任意点为心及任意的距离可以画圆。 注释：这个公设给出了圆规的用途。已知定点、定长画圆。 这个公设不允许圆规的移动。圆规的通常用法是将两脚张开一个指定宽度，将针尖放在一个指定地点，笔尖旋转一周。然而依据该公设画圆时，圆规一旦离开平面，就自动合上了。也就是说，不可以用圆规来传递距离。不过用这种圆规仍然能够起到传递距离的作用。第1卷命题3讲述了作法。所以用普通圆规能完成的作图，用欧几里得的圆规也能够完成。 公设4凡直角都彼此相等 在直角的定义中,可以知道同一个垂足边的两个角是相等的,如∠ACD=∠BCD.这个公设是说,在一个垂足附近的角,如∠ACD,与在任何一个另外的垂足附近的角相等,如∠EGH. 公设5同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交. 注释:这是一个平面几何中的公设. 在图中,如果∠ABE+∠BED<2直角,则AC.DF延长后将在A,D那侧相交. 这个公设通常叫做"平行公设",因为它能证明平行线的性质. 这个公设在历史上是最有趣的一个.很久以来不少几何学家都曾努力用其它几条公设去证明该公设,这样一来就没有必要把它作为一条公设了.人们想用反证法去证明它.如果否定了第五公设,将会得出许多看似荒谬的结论,但这些结论并不与任何公设相抵触.对第五公设的研究,开创了"非欧几何"的新领域.今天我们已经知道,欧氏几何必须要有第五公设. 欧几里得在第1卷命题29之前没有使用该公设,但第1卷的其余部分几乎都依赖于它. 公理1等于同量的量彼此相等 公理2等量加等量,其和仍相等 公理3等量减等量,其差仍相等 公理4彼此能够重合的物体是全等的 公理5整体大于部分 注释:对公理4有两种解释:一种是,任何东西与它自己相等.另一种是:如果一个东西能够移动并与另一个重合,那么它们相等. 公理5可以被解释为"大于"的定义 有一些量的性质,没有在公理中出现,却在《原本》中使用了。例如：  1.如果x不等于y,那么xy(第1卷命题6) 2.x< P> 3.如果x不是不等于y,那么x=y(第1卷命题6) 4.如果x< P> 5.如果x< P> 6.如果x=y,y< P> 7.如果x< P> 8.如果x不大于y,那么x小于或等于y(第1卷命题19) 9.如果x不小于y且x不等于y,那么x>y(第1卷命题19) 10.如果2x=2y,那么x=y(第1卷命题37) 11.如果x=y,那么2x=2y(第1卷命题42) 其中第3条是双重否定的逻辑原理。第1，2，8，9条共同反映了如下一条原理： 对于同样种类的两个量x和y,xy三种关系中有且只能有一个。 这叫做三分法法则，实在应当被作为一条公理。 |
