对估算教学的数学思考 数学思考教学反思

加强估算是数学课程改革的一个重要方面。估算教学在小学阶段的出现，有它的现实背景与实际意义。一方面，从人的运算年龄特征与起源来看，估计相对于早于精确。从运算的认知过程与结果上看，估算具有直觉性、跳跃性与内隐性的特点，它相对于精确计算那种程序化、精确化与外部化的特点来说，要简单、开放得多。另一方面，在现实生活中，我们经常会在买东西等场合中不自觉地进行估算，估算已成为解决生活问题的一项技能。同时，估算教学中还渗透着一些数学思想方法，估算的思想中有着简算的思维含量，它的教学对于以后大数量之间的简便计算有着较大的迁移作用。可见，好的估算教学有助于学生的数学发展。

一、什么是估算

所谓估算，是指在计算、测量数（量）时无法也没有必要进行精确计算或测量，或为了先大概地判断之后检验计算或测量结果的正确性，在精确计算或测量的前后所采取的计算方法，是对数量关系做合理的大概推断。估算不仅应用于某些数的运算、长度的测量，还应用于几何形状，物品的重量、体积，冷热程度，机器折旧，市场预测等方面。估算并不是简单的近似计算，它是表示对人们所要得到的理想结果给出尽量接近的值或量，估算通常是要判断结果在哪个数或量的附近，或者确定的一个范围。

估算是估计的一种。在我们的生活经验当中，估计是非常普遍的。有学者将估计的形式分为了三种：数量估计（大约有多少，有人称之为估数）、测量估计（即我们所说的估测）计算估计(即我们所说的估算)。

二、估算的方法

估算，顾名思义是估着算。对于“估”有二层含义，一是估计，二是具有看、思考的含义。估计即对参与运算的数据进行取近似值，由于取近似值方法的多样性，所以应根据实际情况选择合适的方法选取适合的数据进行“简算”，以达到所需的结果。

（一）取近似数（值）的方法

1、四舍五入法。用四舍五入法取一个数的近似值，这与取值的精度有关，通常以精确到哪一位为取值要求。例如将8569精确到百位，把9.45精确到个位，把2.096精确到百分位等。小学里取近似数主要采取四舍五入法，但我们不能一味地认定四舍五入法，要根据实际情况选择合适的方法。

2、去尾法。去尾法是一种常用的数学取值方法，其取的值都为近似值，它是根据要求，省略指定数位后的“尾数”。这种方法常常被用在生活之中。如，某服装厂为加工某种新款服装购进了一批布料，已知每匹布料长30米，加工一套这种服装需要2.6米布料， 请你帮助计算一下这匹布最多能加工几套这样的服装？

3、进一法。进一法是根据要求去掉多余部分的数字后，在保留部分的最后一个数字上加1；这样得到的近似值为过剩近似值（即比准确值大）。例如，某人购买了130升柴油，他有容积为40升的油桶若干个，问他需要准备几个这样的油桶？

（二）估算的方法

在日常生活中，我们经常会用到估算，所以掌握一些估算方法是十分必要的。

方法一：取整估算法

估算时先要对参加计算的数值取其近似值，把一个比较复杂的计算变成可以口算的简单计算，得到一个近似值，这种估算有三种情况：一是推算最大值，二是推算最小值，三是推算大约多少。如：估算32×58，最大值：都按比原来大的整十数算，最大是40×60＝2400；最小值：都按比原来小的整十数算，最小是30×50＝1500；约等于多少：用“四舍五入法”取接近的数算，大约在30×60＝1800左右。

取整估算，就是进行“取整”口算，也就是将原始数据取近似的整十、整百、整千的数，进行口算，得以估算。小学计算教学中的估算主要采取这种方法。如：

1.加减法估算（人教版课程标准实验教材二年级上册31页例4）

妈妈带100元钱去商店买下列生活用品：暖瓶28元，铝壶43元，茶杯一套24元，妈妈带的钱够吗？

教材算法：

28≈30　43≈4030＋40＝70　100－70＝30　30＞24

所以100元够了。

学生喜欢的方法：

28≈30　43≈40　24≈2030＋40＝70　70＋20＝90　90＜100

所以100元够了。

由于上例舍去了一些钱，是否会给学生留下“够了”的疑问呢？于是，我们在此基础上设计这样的一个问题：妈妈去超市买了一只烤鸭19元，一袋虾仁28元，一袋香菇26元，一盒猕猴桃9元，妈妈带100元钱够么？

在这里渗透了“估大”的思想，“估大”后也够了，实际购买就足够了。

2.万以内数的加减法估算（二年级下册98页例5）

同学们收集矿泉水瓶，第三周收集192个，第四周收集219个。第三、四周大约一共收集了多少个？

估算方法一：192≈200　219≈200　　200＋200＝400

估算方法二：192≈190　219≈220 　190＋220＝410

多数学生喜欢第一种方法，理由是好算，这也符合取整估算的要求。

3.乘法估算（三年级上册70页例2）

每张门票8元，29个同学参观，带250元钱够吗？

解法：29≈30　30×8＝240　240＜250，所以够了。

以上“取整估算”通过四舍五入取整估算。由于多个例题的取整估算的学习，再加上教师设计的一定量的类似的练习强化，容易给学生形成一种条件反射，即见到估算就全部取整估算。这给四年级上册要进行的两三位数乘两位数的乘法估算产生了负迁移。为此，在两个数的加减法估算教学中，不必两个数都要取整估算，可将其中一个数取整估算，也可起到估算的效果，又不会对两位数乘法估算起到负迁移影响。

如估算：396＋465，按一般的取整方法：396≈400　465≈500　396＋465≈900。如果我们只把其中一个数取整，396≈400，而另一个数465就保持原数不变，那么，396＋465≈865。两者比较而言，900是估算结果，是近似数，865同样是估算结果，仍是近似数，而且865与准确值更接近。

又如，在388+110，388+120中，你打算分别怎样估呢？

学生1说：388+110，可以把388估成390，因为10+90是100，结果凑成整百，所以这样估算简便。

学生2说：388+120，我把388估成380最方便，因为它与120相加为整百数，所以这样估算简便。

可见，在估算过程中还蕴含着策略与方法。当然，更重要的是要符合问题的实际。例如，四年级上册第60页例5的乘法估算。

四年级同学去秋游。每套车票和门票49元，一共需要104套票。应该准备多少钱买票？

经分析列式：49×104≈________（元）

方法（1）49≈50　104≈100　50×100＝5000，答：应该准备5000元。

方法（2）49≈50　104≈110　50×110＝5500，答：应该准备5500元。

方法（3）49≈50　104≈105　50×105＝5250，答：应该准备5250元。

以上的三种方法，前两种是教材中展示的估算方法，第三种是在教学中学生容易出现的一种方法。但，这三种方法是否都符合要求呢？这就需要分析实际问题的要求，从而建立估大估小的分析。

4、除法估算

对于除法中的估算主要体现在笔算除法中的试商，实际上就是应用乘法估算进行试商的。试商就是估算的应用，其实质就是“商”和“除数”这两数的乘积要“估少”，而不能“估多”，具体操作起来就是调商。

如：四年级上册84页的例2：196÷39

第一次试商，把39估成40，试商4，结果余40，说明商小了。

第二次试商，仍把39估成40，试商5，结果余1。试商成功。

“取整估算”，是估算教学的基础阶段，也是估算教学的启蒙阶段。

例如李阿姨在商店挑选了两袋米、一块牛肉、一些蔬菜和鱼，售货员告诉她：每袋米35.4元，一块牛肉14.8 元，蔬菜和鱼分别为6.7元和12.8元。李阿姨带了100元够吗？

再比如，小红一家去饭店吃饭，结帐时拿到这样一张清单：

你能算一算，他们大约要付多少钱？题目刚出来，大部分学生还在想怎么算，就有学生报出了230元。怎么会这么快呢？请他讲讲。原来，他是倒过来算的，最后两样估成100元，当中两样也估成100元，最前面的两样估成30元，算出一共230元。继续问他，把最后的两样估成100元，又是怎么想的？他把68估成70，35估成30，而且，他还补充了一句，反正前面都估多了，这里少估一些没关系。这样大胆取舍数据，正是他良好数感的表现。

方法二､趋近估算法

趋近估算法，就是先观察所求的这组数都趋近哪个数，我们不妨把这个数视为趋近的中位数，再用这个趋近的中位数乘个数即可。比如求32、37、30、39这4个数的和，这些数都很接近35，就用35×4，大约地计算出这几个数相加的结果。

又如：人教版四年级（上）册第36页东方书报亭10月上旬的营业额（单元：元），你能估计出这个月上旬的营业额吗？

生1：我把这些数都估成200，200×10=2000（元）

生2：我把206、205看作210，其他的数都看作200，210×3+200×7=2030（元）

上述两位学生的表达，就体现了趋近估算的思想。有时我们利用特殊的数作为参照。如126×8，就可以想到125×8得到近似值1000。

为了实施趋近估算教学，我们可以设计这样的教学情景。六一节妈妈带小明到游乐园玩，他一共玩了下列项目，如表。

最后老板说：“我按每项20元算，五项你付100元吧。”

如果你是小明你有什么想法？

小明一想，说：“我付10×5=50元。”

这是妈妈出来打圆场说：“就取一个中间值15元，15×5=75元”.

老板、小明和妈妈分别是怎么估算的呢？哪个更接近呢？为什么？

最后小明一共付了76元，用中间的15元乘5项等于75元，估的还挺接近的。

方法三、区间估算法

就是根据算式的意义或某种关系，框定答案所在的范围，达到估算的目的。此法在小学阶段应用广泛（如：购物、建设规划、预测发展趋势等方面），也可以用以检查四则运算的结果的大致范围。

如：四年级（上）册第38页第3题“不用计算，判断对错”。其中有这样一个算式：“58×18＝4534”。仔细观察后用四舍五入法可框定18个58的得数应该小于20个60的得数1200，原式的得数为4534，所以原式错了。

又如：四年级（下）册第62页例题，已知4个小朋友去参观博物馆，车费、门票费一共用去26元。在试商时，估算平均每人花去多少元？教材上就明确介绍了区间估算法：“ 6×4＝24，7×4＝28，所以每人6元多一些。”

寻找区间，目的在于得到一个估值的范围，根据这一区间估测它的范围。如：一个篮球32元，李明带了280元，估计最多能买几个篮球？针对280÷32，怎么估算呢？学生刚开始可能无从下手，他想，把32看作40大约等于7个，把32看作30大约等于9个，到底是哪一个呢？让学生理解7是怎样得到的？9呢？最后分析出它在7个与9个之间。刚好是8个。不妨让学生在在这个区间中思考，从而解决问题。

为了实施区间估算教学，我们可以设计这样的教学情景。儿童乐园每小时有33～46人乘坐碰碰车，周末一天8小时大约有多少人坐碰碰车？

（1）同桌说一说，怎么解决？

（2）全班交流：大约是多少人？你求的分别是什么情况下的人数？

（3）下列三种情况的估计又是在什么背景下进行的。

A：33×8≈ 240（人）B： 46×8≈ 400（人）C： 40×8= 320（人）

可见，33和46之间不管取哪个数，估算的结果一定在240和400之间，所以一天的人数大约在240到400人之间。

利用区间估算法可以帮助我们判断计算的正确与否？

方法四：估调结合法

估算过程的元认知理论认为个体的估算经历了三大步骤：重新表述数字、心算和补充；其中元认知因素对估算全过程具有监控作用。具体为：

第一步，对任务中的数字进行调整，在此过程中，元认知成分会根据任务的特点采取合适的策略。

第二步，在元认知成分的参与下个体从相关知识中提取出用于执行心算的标准计算程序进行心算，并得到一个估算值。如果在执行过程中发现上一步调整的数字很难心算，元认知成分就会要求重新进行上一步的操作。

第三步，元认知能力强或数感发达的个体会转入第三步，即调整结果。此时会在元认知成分的要求下，根据估算的具体要求和数感对心算得到的答案的精确性做进一步调整。

在整个估算过程中，情感因素（估算认同度、自信心）对各个步骤都发挥着弥散性作用。

对于估算过程的调整，体现在个体内隐思维的水平和具体问题实际需要。这里就表现为估计过程中的“估大、估小”上。针对两个数的运算，根据参与运算的数据取整不同，表现出以下几种情况：

（1）一个估一个不估：结果只有估大与估小这两种情况。

（2）两个都估：有“两个都估大”，“两个都估小”，“一个估大、一个估小”，这三种情况，结果也存在着估大、估小，相对“一个估大、一个估小”来说，结果难预计些。

估多与估少，就是在取整估算的基础上，引导学生对估算结果的分析，是估多了，还是估少了。具体地说就是估算的结果与准确值相比较，是多估了还是少估了。

如：485＋376≈500＋376＝876。式中的485取整为500，多估了15，那么最后的估算值876必然比准确值多估了。

再如32×8≈30×8＝240。式中的32取整为30，少估了2，那么最后的估算值240，比准确值少估了，而且不是少估了2，而是少估了2个8。

“估多估少”这一环节的教学，在教材上体现不明显。正因如此，教师们容易忽视“估多估少”的教学。而四年级上册两三位数乘两位数的估算，学生必须具备“估多估少”这一基础。对于估多估少的意识培养，应在解决具体问题的过程中实践体现，使学生能理解并选择合适的估算方法。

如“李老师去买足球和篮球，买足球要用132元，买篮球要用224元，他带350元够吗？”如果把132看作130，224看作220，合起来约要350元，就会造成判断失误，所以此处就要估大。又如“四年级组织学生去旅行，共租了3辆客车，每辆客车限坐48人，最多容纳多少人？”如果把48看作50，结果是150人，而实际却会坐不下那么多人，所以此处又需要把数估小。如果不组织学生进行交流，没有让学生解释自己的估算过程，他们就不会有自觉的选择估算策略的意识和调整的意识，不能有效形成估算的价值。

我们来看这样一个问题：一班学生238人，二班学生158个学生，会场有399个座位，这些学生够坐吗？学生将238估计为240，158估计为160，240+160=400，所以399个座位不够。这时，要对估算过程进行分析，估大了，多算了4人，现在只差1人，实际不到399人，399个座位够了。

我们再来看这样一个问题：礼堂里共有33排座位，每排32个。全校共有学生895人，这个礼堂够坐吗？

如果把题目中学生的数据改为920人，这时运用二个都估的策略，出现不够坐现象，如果采用一个估的策略，得到的结果是够坐的。所以策略的调整也是一个策略。

高年级的学生已经有了一定的估算经验，就要引导他不断地进行再反思，再调整，使估算的结果能落在更趋于合理的位置上。比如78×365积大约是多少，刚开始学习的时候，学生可能估成70×300，或者80×300，或者80×400，这样我们都可以视为是合理的。有了一定的计算技能后，老师要引导学生不断地进行反思，还可以估成80×350，可能更为合理，结果也更接近准确值。

“估多估少意识的培养”，是承接第一层“取近似值估算”并是第一层的再提高，同时又是第三层“实际应用，选择合适的估算方法”的技能基础，它起着承上启下的作用。而“实际应用，选择合适的估算方法”，则是将估算教学应用于实际，解决实际问题，是估算教学的目标阶段。

学习掌握了“估多估少”的估算技能，再解决具体的估算问题，就有了根基，也才能“在解决具体问题的过程中，选择合适的估算方法”。具体讲，就是在什么情况下需要估多，在什么情况下需要估少，这需要根据具体的问题情境，灵活选择。

例如：1、摩天轮最大载重量5000千克，四年级同学平均体重29千克，114人同时乘可以吗？

2、游车场距学校16千米，同学们乘车返回，客车每分种行驶803米，25分钟能到学校吗？

3、某桥限重3吨，一辆汽车自重986千克，装载11箱，每箱197千克的物品，请问这辆货车能过桥吗？

在估算过程中，由于每个学生都有自己的认知基础和不同想法，面对同一问题所采取的策略不尽相同，因而估算结果往往是不唯一的。允许学生估算方法多样化，也允许估算的结果可以有误差。

为此，我们可以设计一综合性问题情境：在下列哪种情况下使用估算比精算有意义？在不同情况下分别选择哪种估算方法？哪种情况要用到了精算？

爸爸想买以下两件商品：皮鞋387元、西服525元．

(1) 购买前估计，带1000元够不够?（估算，保留最高位法）

(2) 付款前估计，大约需要几百元?（估算，可用四舍五入法）

(3) 收银员收款，一共需要多少元?（精算）

(4) 购物800元以上可抽奖一次，能否抽奖?（估算，省略尾数法）

在TIMSS中，也有考察学生估算能力的类似题目：保罗用$5去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示：

牛奶$1.50鸡蛋$1.29面包$1.44

在下列哪种情况下使用估算比精算有意义？

A.当保罗试图确认$5是否够用时；

B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；

C.当保罗被告知应付多少钱时；

D.当销售员数保罗所付的费用时。

三、估算与精算

估算的结果是一个近似数（值），它与实际精确数（值）有一个误差。在数学上我们要理解取近似数中与精确度（精确到……保留到……）的关系，与有效数字的关系；把握估算值与实际值的关系，这一关系就是误差，它包括绝对误差与相对误差两种。

如果真实值为10，经过估算得到的结果为11，那么这个结果是有误差的。通过计算“11－10=1”可知：我们估算结果的误差为“1”，我们把这样的误差称为“绝对误差”，即估算值与真实值的差。

然而，“绝对误差”在误差理论当中并不是最重要的概念，我们更加需要分析的是估算值与真实值之间的相对差异，我们把“绝对误差÷真实值”称为估算的“相对误差率”，也常常简称为“相对误差”，这是我们误差理论当中最重要的概念。譬如将“10”估算为“11”的相对误差即为：(11－10)÷10=10%。

譬如将“8%”估算为“9%”，绝对误差应该为“1%”，而相对误差不是“1%”，而是“1%÷8%=12.5%”。正因如此，如果两个选项分别为“9%”和“8%”，那么在计算当中出现“1%左右”的相对误差并不会太影响最后的结果。

我们在估算当中务必要遵循：加减运算，考虑“绝对误差”；乘除运算，考虑“相对误差”。

估算与测量教学关系密切，应该在测量教学中让学生正确认识测量数据的近似属性，这既是估算教学的基础，同时也是培养数感的重要途径。比如，四年级上册第17页练习二第4题：小明身高约140厘米，体重35千克。哪是近似数，哪是准确数？这里就把35千克错误地理解为准确数。要在测量结果的表述中让学生体会到大约的含义，让学生明白测量数据都是近似的。体会现实情景中近似表达测量数据的必要，构建“大约”的意义。

估算策略的选择主要取决于：取整。在运算中决定如何取整依赖于所涉及到的具体数字和使用的运算法则以及问题的实际情景。

估算的结果一般是近似值，误差的大小取决于估算的方法，而误差的允许范围则取决于问题的实际背景和特定要求。

在这里我们教师自身也要作出深刻的反思，我们对估算有多少了解？对于估算我们知道些什么？我们知道估算的教学意义吗？估算有哪些教学策略？自身具备估算的本体性知识（如离散量和连续量、绝对误差和相对误差）吗？我们对估算教学态度和笔算教学一样吗？估算作为一种教学内容上的新生事物，我们要去接纳它、去认识它、去理解它。在这个过程中，我们不能守望于教材，我们要不断累积教学经验，去学习专家的研究，运用理论的导向去探索估算教学的好的案例。当我们真正感悟估算的价值时，我们会不断启迪学生对估算的意识。事实上，在生活中是否使用估算往往不是能力原因，而主要是一个意识和习惯的问题。

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