数学难题解答 八年级数学难题解答

1.(2008?宁德)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.

(1)求证:CE=CF;

(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:

如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.

    分析:(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即CE=CF.

(2)借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF,∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°,即∠GCF=∠GCE,又因为CE=CF,CG=CG,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.

(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

再设DE=x,利用(1)、(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE.

解答:(1)证明:在正方形ABCD中,

∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,

∴△CBE≌△CDF.

∴CE=CF.

(2)解:GE=BE+GD成立.

∵△CBE≌△CDF,

∴∠BCE=∠DCF.

∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD.

即∠ECF=∠BCD=90°.

又∠GCE=45°,

∴∠GCF=∠GCE=45°.

∵CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,

∴△ECG≌△FCG.

∴EG=GF.

∴GE=DF+GD=BE+GD.

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(3)解:过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,

在直角梯形ABCD中,

∵AD∥BC,∠A=∠B=90°,

又∠CGA=90°,AB=BC,

∴四边形ABCG为正方形.

∴AG=BC=12.

已知∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG,

设DE=x,则DG=x-4,

∴AD=AG-DG=16-x,AE=AB-BE=12-4=8.

在Rt△AED中

∵DE2=AD2+AE2,即x2=(16-x)2+82

解得:x=10.

∴DE=10.

2.在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,BC>AD,AB=8cm,BC=18cm,CD=10cm,点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动,点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动,设运动时间为t秒.

(1)求四边形ABPQ为矩形时t的值;

(2)若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”,其它条件都不变,要使四边形PCDQ是等腰梯形,求t与k的函数关系式,并写出k的取值范围;

(3)在移动的过程中,是否存在t使P、Q两点的距离为10cm?若存在求t的值,若不存在请说明理由.  分析:(1)过点D作DH⊥BC,垂足为点H,根据勾股定理求出HC,根据矩形的性质得出12-2t=3t,求出即可;

(2)过点Q作QG⊥BC,垂足为点G,求出PG,根据BP+PG+GH+HC=BC得出方程求出即可;

(3)有两种情况:①由(2)可以得出3t+6+2t+6=18,求出即可;②四边形PCDQ是平行四边形,根据BP+PC=BC,代入求出即可.

解答:解:(1)过点D作DH⊥BC,垂足为点H,

由题意可知:AB=DH=8,AD=BH,DC=10,

∴HC2= DC2-DH2

HC=6

∴AD=BH=BC-CH,

∵BC=18,

∴AD=BH=12,

若四边形ABPQ是矩形,则AQ=BP,

∵AQ=12-2t,BP=3t,

∴12-2t=3t

∴t=12/5(秒),

答:四边形ABPQ为矩形时t的值是12/5秒.



(2)由(1)得CH=6,

如图1,再过点Q作QG⊥BC,垂足为点G,

同理:PG=6,

易知:QD=GH=2t,

又BP+PG+GH+HC=BC,

∴3t+6+2t+6=k,

∴t=(k-12)/5,

∴k的取值范围为:k>12cm,

答t与k的函数关系式是t=(k-12)/5,k的取值范围是k>12cm.

(3)假设存在时间t使PQ=10,有两种情况:

①如图2:由(2)可知:3t+6+2t+6=18,

∴t=6/5,

②如图3:四边形PCDQ是平行四边形,

∴QD=PC=2t,

又BP=3t,BP+PC=BC,

∴3t+2t=18,

∴t=18/5(秒),

综上所述,存在时间t且t=6/5秒或t=18/5秒时P、Q两点之间的距离为10cm,

答:在移动的过程中,存在t使P、Q两点的距离为10cm,t的值是6/5秒或18/5秒.

  

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