爱华网（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．
分析：（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．
（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF．
（2）解：GE=BE+GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．
即∠ECF=∠BCD=90°．
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-4，
∴AD=AG-DG=16-x，AE=AB-BE=12-4=8．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82
解得：x=10．
∴DE=10．
2.在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC＞AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
（1）求四边形ABPQ为矩形时t的值；
（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
（3）在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由． 分析：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求出HC，根据矩形的性质得出12-2t=3t，求出即可；
（2）过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，求出PG，根据BP+PG+GH+HC=BC得出方程求出即可；
（3）有两种情况：①由（2）可以得出3t+6+2t+6=18，求出即可；②四边形PCDQ是平行四边形，根据BP+PC=BC，代入求出即可．
解答：解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
由题意可知：AB=DH=8，AD=BH，DC=10，
∴HC2= DC2-DH2
HC=6
∴AD=BH=BC-CH，
∵BC=18，
∴AD=BH=12，
若四边形ABPQ是矩形，则AQ=BP，
∵AQ=12-2t，BP=3t，
∴12-2t=3t
∴t=12/5（秒），
答：四边形ABPQ为矩形时t的值是12/5秒．
（2）由（1）得CH=6，
如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，
同理：PG=6，
易知：QD=GH=2t，
又BP+PG+GH+HC=BC，
∴3t+6+2t+6=k，
∴t=(k-12)/5，
∴k的取值范围为：k＞12cm，
答t与k的函数关系式是t=(k-12)/5，k的取值范围是k＞12cm．
（3）假设存在时间t使PQ=10，有两种情况：
①如图2：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
∴t=6/5，
②如图3：四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD=PC=2t，
又BP=3t，BP+PC=BC，
∴3t+2t=18，
∴t=18/5（秒），
综上所述，存在时间t且t=6/5秒或t=18/5秒时P、Q两点之间的距离为10cm，
答：在移动的过程中，存在t使P、Q两点的距离为10cm，t的值是6/5秒或18/5秒．
