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本文简明讲述GMM-HMM在语音识别上的原理,建模和测试过程。这篇blog只回答三个问题:

1.什么是Hidden Markov Model?

HMM要解决的三个问题:

1) Likelihood

2) Decoding

3) Training

2. GMM是神马?怎样用GMM求某一音素(phoneme)的概率?

3. GMM+HMM大法解决语音识别

3.1 识别

3.2 训练

3.2.1 Training the params of GMM

3.2.2 Training the params of HMM

首先声明我是做视觉的不是做语音的,迫于**需要24小时速成语音。上网查GMM-HMM资料中文几乎为零,英文也大多是paper。苦苦追寻终于貌似搞懂了GMM-HMM,感谢语音组老夏(http://weibo.com/ibillxia)提供资料给予指导。本文结合最简明的概括还有自己一些理解应运而生,如有错误望批评指正。

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1. 什么是Hidden Markov Model?



ANS:一个有隐节点(unobservable)和可见节点(visible)的马尔科夫过程(见详解)。

隐节点表示状态,可见节点表示我们听到的语音或者看到的时序信号。

最开始时,我们指定这个HMM的结构,训练HMM模型时:给定n个时序信号y1...yT(训练样本), 用MLE(typically implemented inEM) 估计参数:

1. N个状态的初始概率

2. 状态转移概率a

3. 输出概率b

--------------

在语音处理中,一个word由若干phoneme(音素)组成;

每个HMM对应于一个word或者音素(phoneme)

一个word表示成若干states,每个state表示为一个音素

用HMM需要解决3个问题:

1). Likelihood: 一个HMM生成一串observation序列x的概率<the Forward algorithm>



其中,αt(sj)表示HMM在时刻t处于状态j,且observation = {x1,...,xt}的概率  ,

aij是状态i到状态j的转移概率,

bj(xt)表示在状态j的时候生成xt的概率,

2). Decoding: 给定一串observation序列x,找出最可能从属的HMM状态序列<the Viterbi algorithm>

在实际计算中会做剪枝,不是计算每个可能state序列的probability,而是用Viterbi approximation:

从时刻1:t,只记录转移概率最大的state和概率。

记Vt(si)为从时刻t-1的所有状态转移到时刻t时状态为j的最大概率:

记  为:从时刻t-1的哪个状态转移到时刻t时状态为j的概率最大;

进行Viterbi approximation过程如下:



然后根据记录的最可能转移状态序列  进行回溯:



3). Training: 给定一个observation序列x,训练出HMM参数λ = {aij, bij}the EM(Forward-Backward) algorithm

这部分我们放到“3.GMM+HMM大法解决语音识别”中和GMM的training一起讲

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2. GMM是神马?怎样用GMM求某一音素(phoneme)的概率?

2.1 简单理解混合高斯模型就是几个高斯的叠加。。。e.g. k=3





fig2. GMM illustration and the probability of x

2.2 GMM for state sequence

每个state有一个GMM,包含k个高斯模型参数。如”hi“(k=3):

PS:sil表示silence(静音)



fig3. use GMM to estimate the probability of a state sequence given observation {o1, o2, o3}

其中,每个GMM有一些参数,就是我们要train的输出概率参数



fig4. parameters of a GMM

怎么求呢?和KMeans类似,如果已知每个点x^n属于某每类 j 的概率p(j|x^n),则可以估计其参数:

  , 其中

只要已知了这些参数,我们就可以在predict(识别)时在给定input sequence的情况下,计算出一串状态转移的概率。如上图要计算的state sequence 1->2->2概率:



fig5. probability of S1->S2->S3 given o1->o2->o3

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3. GMM+HMM大法解决语音识别

<!--识别-->

我们获得observation是语音waveform, 以下是一个词识别全过程:

1). 将waveform切成等长frames,对每个frame提取特征(e.g. MFCC),

2).对每个frame的特征跑GMM,得到每个frame(o_i)属于每个状态的概率b_state(o_i)



fig6. complete process from speech frames to a state sequence

3). 根据每个单词的HMM状态转移概率a计算每个状态sequence生成该frame的概率; 哪个词的HMM 序列跑出来概率最大,就判断这段语音属于该词

宏观图:



fig7. Speech recognition, a big framework

(from Encyclopedia of Information Systems, 2002)

<!--训练-->

好了,上面说了怎么做识别。那么我们怎样训练这个模型以得到每个GMM的参数和HMM的转移概率什么的呢?

①Training the params of GMM

GMM参数:高斯分布参数:

从上面fig4下面的公式我们已经可以看出来想求参数必须要知道P(j|x),即,x属于第j个高斯的概率。怎么求捏?



fig8. bayesian formula of P( j | x )

根据上图 P(j | x), 我们需要求P(x|j)和P(j)去估计P(j|x).

这里由于P(x|j)和P(j)都不知道,需要用EM算法迭代估计以最大化P(x) = P(x1)*p(x2)*...*P(xn):

A. 初始化(可以用kmeans)得到P(j)

B. 迭代

E(estimate)-step: 根据当前参数(means,variances, mixing parameters)估计P(j|x)

M(maximization)-step: 根据当前P(j|x) 计算GMM参数(根据fig4 下面的公式:)

  , 其中

②Training the params of HMM

前面已经有了GMM的training过程。在这一步,我们的目标是:从observation序列中估计HMM参数λ;

假设状态->observation服从单核高斯概率分布:  ,则λ由两部分组成:


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HMM训练过程:迭代

E(estimate)-step: 给定observation序列,估计时刻t处于状态sj的概率

M(maximization)-step: 根据  重新估计HMM参数aij.

其中,

E-step:给定observation序列,估计时刻t处于状态sj的概率

为了估计  , 定义  : t时刻处于状态sj的话,t时刻未来observation的概率。即

这个可以递归计算:β_t(si)=从状态 si 转移到其他状态 sj 的概率aij * 状态 i 下观测到x_{t+1}的概率bi(x_{t+1}) * t时刻处于状态sj的话{t+1}后observation概率β_{t+1}(sj)

即:



定义刚才的  为state occupation probability,表示给定observation序列,时刻t处于状态sj的概率P(S(t)=sj | X,λ) 。根据贝叶斯公式p(A|B,C) = P(A,B|C)/P(B|C),有:



由于分子p(A,B|C)为



其中,αt(sj)表示HMM在时刻t处于状态j,且observation = {x1,...,xt}的概率  ;

  : t时刻处于状态sj的话,t时刻未来observation的概率;



finally, 带入  的定义式有:



好,终于搞定!对应上面的E-step目标,只要给定了observation和当前HMM参数 λ,我们就可以估计  了对吧 (*^__^*)

M-step:根据  重新估计HMM参数λ:

对于λ中高斯参数部分,和GMM的M-step是一样一样的(只不过这里写成向量形式):



对于λ中的状态转移概率aij, 定义C(Si->Sj)为从状态Si转到Sj的次数,有



实际计算时,定义每一时刻的转移概率  为时刻t从si->sj的概率:



那么就有:



把HMM的EM迭代过程和要求的参数写专业点,就是这样的:



PS:这个训练HMM的算法叫Forward-Backward algorithm。

一个很好的reference:点击打开链接

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