圆锥曲线——椭圆 圆锥曲线

二. 教学目标:

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。

三. 知识要点:

1. 定义:①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|,即  ),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).

②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1),则P点的轨迹是椭圆。

2. 椭圆参数的几何意义,如下图所示:

(1)|PF1|+|PF2|=2a,|PM2|+|PM1|=  ,  =  =e;

(2)    ,    ;



(3)|BF2|=|BF1|=a,|OF1|=|OF2|=c;

(4)|F1K1|=|F2K2|=p=  ,



3. 标准方程:椭圆标准方程的两种形式

  和    其中  。

椭圆    的焦点坐标是  ,准线方程是  ,离心率是  ,通径的长是  焦准距(焦点到准线的距离)  ,焦参数  (通径长的一半)。范围:  ,  ,长轴长=  ,短轴长=2b,焦距=2c ,

【典型例题】

例1. 已知椭圆的焦点是  ,直线  是椭圆的一条准线.

① 求椭圆的方程;

② 设点P在椭圆上,且  ,求cos  .

解:①  .

②设  则    

又    ,

例2. 求中心在原点,一个焦点为  且被直线  截得的弦中点横坐标为  的椭圆方程.

解:设椭圆方程  ,  ,  ,

因为弦AB中点  ,所以  。

由  得  ,(点差法)

所以

  又    。

例3. 已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.

分析:求椭圆的离心率,即求  ,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值,因此只需把a、c用同一个量表示,由PF1⊥F1A,PO∥AB易得b=c,a=  b.



解:设椭圆方程为  +  =1(a>b>0),F1(-c,0),c2=a2-b2,

则P(-c,b  ),即P(-c,  ).

∵AB∥PO,∴kAB=kOP,

即-  =  .∴b=c.

又∵a=  =  b,

∴e=  =  =  .

点评:由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.

例4. 如下图,设E:  +  =1(a>b>0)的焦点为F1与F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ. 求证:△PF1F2的面积S=b2tanθ.



分析:有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则S=  r1r2sin2θ.若能消去r1r2,问题即获解决.

证明:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,

则S=  r1r2sin2θ,又|F1F2|=2c,

由余弦定理有

(2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ

=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ

=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),

于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.

所以r1r2=  .

从而有 S=  ·  sin2θ=b2  =b2tanθ.

点评:①解与△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.

②我们设想点P在E上由A向B运动,由于△PF1F2的底边F1F2为定长,而高逐渐变大,故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数,所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角,故2θ∈(0,π),θ∈(0,  ).这样,θ也逐渐变大,当P运动到B时,∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题,

例5. 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为  ,且OA⊥OB,求椭圆的方程.

分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率为  .OA⊥OB,易得a、b的两个方程.



解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(  ,  ).

由  ,∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.

∴  =  ,  =1-  =  .

∴M(  ,  ).

∵kOM=  ,∴b=  a. ①

∵OA⊥OB,∴  ·  =-1.

∴x1x2+y1y2=0.

∵x1x2=  ,y1y2=(1-x1)(1-x2),

∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1-  +  =  .

∴  +  =0.

∴a+b=2. ②

由①②得a=2(  -1),b=2  (  -1).

∴所求方程为2(  -1)x2+2  (  -1)y2=1.

点评:直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出A(x1,y1),B(x2,y2),但不是真的求出x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.

例6. 已知椭圆  =1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M,使它到左准线的距离是它到两焦点F1,F2的距离的等比中项?

解:由方程知e=1/2,假设存在点M(x0,y0)满足条件,

即  =1且x0∈[─2,0),

有 d2=|MF1||MF2|(d为M到准线的距离),

∵ |MF1|=a+ex0=2+x0/2, |MF2|=a─ex0=2─x0/2, d=4+x0,

∴ (4+x0)2=4─x02/4,

∴x0=─12/5或x0=─4,这与x0∈[─2,0)矛盾,

故点M不存在.

点评:范围问题和求值问题的解法基本上没有区别,主要是把它当成求值问题来处理,最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的.

小结:

椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系,及利用第二定义解决问题,关键是注意数形结合,函数与方程的思想,等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点:

(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如图),它的三边长分别为a、b、c.

易见c2=a2-b2,且若记∠OF1B2=θ,则cosθ=  =e.



(2)应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,本质上,它与坐标系无关,而坐标系是研究的手段.实际上,人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系,从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系,这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等,均不因坐标系的改变而改变.

(3)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在.

(4)使用椭圆的第二定义时,一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的,则上述之比就不再是常数了.

【模拟试题】

1. 如果椭圆  上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是 ( )

A. 8,  B. 10,  C. 10,6 D. 10,8

2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

3. P为椭圆  上的点,  是两焦点,若  ,则  的面积是( )

A.  B.  C.  D. 16

4. 椭圆  内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使  最小,则点M为( )

A.    C.  D.

5. 椭圆的对称轴在坐标轴上,长轴是短轴的2倍,且过点(2,1),则它的方程是_____________.

6. 如图  分别为椭圆  的左、右焦点,点P在椭圆上,  是面积为  的正三角形,则  的值是____.



7. 设A(-2,0),B(2,0),  的周长为10,则动点C的轨迹方程为: __________.

8. 椭圆  上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为  ,则  为 ( )

A. 4 B. 64 C. 20 D. 不确定

9. P是椭圆上一定点,  是椭圆的两个焦点,若  ,则___________.

10. 圆心在  轴的正半轴上,过椭圆  的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 ____________.

11. 点P在椭圆  +  =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标是____________.

12. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是  ,求这个椭圆方程.

13. 直线l过点M(1,1),与椭圆  +  =1相交于A、B两点,若AB的中点为M,试求直线l的方程.



【试题答案】

1. B

2. C 解析:

3. B 解析: 设  ,列方程求解.

4. A 解析:  等于M到右准线的距离.

5.
圆锥曲线——椭圆 圆锥曲线

6.    .

7.

8. C 解析: 设直线方程为  ,解出  ,写出

9.  .

10.

11.

12. 由题设条件可知a=2c,b=  c,又a-c=  ,解得a2=12,b2=9.∴所求椭圆的方程是  +  =1或  +  =1.

13. 解:设A(x1,y1)、B(x2,y2),

则  +  =1, ①

  +  =1. ②

①-②,得

  +  =0.

∴  =-  ·  .

又∵M为AB中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2.

∴直线l的斜率为-  .

∴直线l的方程为y-1=-  (x-1),即3x+4y-7=0.

  

爱华网本文地址 » http://www.413yy.cn/a/25101012/130902.html

更多阅读

如何绘制校准曲线 word表格字体不居中

校准曲线包括标准曲线和工作曲线,前者用标准溶液直接测量,没有经过水样的预处理过程,后者所使用的标准溶液经过了与水样相同的消解、净化、测量等过程。1、校准曲线的绘制①标准溶液一般可直接测定,但如试样的预处理复杂致使污染

matlab曲线拟合 函数 用法以及例子 如何用matlab拟合曲线

matlab曲线拟合 函数 用法以及例子——简介在运行MATLAB编程进行数据的处理过程当中,我们常常用到matlab曲线拟合,但是工具箱由于需要人工交互,得到的拟合结果,需要人工的去提取,再输入,所以,工具箱拟合结果十分不适合调用,以及继续下面的操

九种尼康曲线测试 尼康曲线下载

Nikon曲线有4种,后缀分别是:ntc、ncv和ncp、nop。(1)ntc、ncv:可以从电脑直接载入NX,也可以用CCP软件导入相机机身内;(2)ncp、nop:只能从相机存储卡的文件夹载入NX,也可以用存储卡直接导入相机机身内。(3)将ncp、

逻辑斯谛回归/曲线方程、模型 逻辑斯谛方程

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b700c4c0100pm1s.html (2011-02-16 15:15:19)标签:校园分类: 工作篇S型曲线(S-Curve)  S型曲线(S-Curve)多存在于分类评定模型(Logitmodel),逻辑回归(Logisticregression)模型,属于多重变数分析范畴,是社

总算活捉一空头,一招自救叫曲线救国! 汪精卫曲线救国理论

总算活捉一空头,一招自救叫曲线救国!周末的时候和那位办公室古色古香的牛人通了电话,就想问问牛人对后市的看法。那位黄胡子操盘手周四已经开始国护盘了,牛人掌控的资金规模更大,所以问问他是怎么干的。竟然还做空结果牛人说他前段时

声明:《圆锥曲线——椭圆 圆锥曲线》为网友偷心大盗分享!如侵犯到您的合法权益请联系我们删除