爱华网授课人： 刘 千 海淀区上地实验小学
评析人：吴正宪 北京市基教研中心
郭丽军 海淀区教师进修学校
（一）指导思想与理论依据
1．把握学生已有知识经验，让每一个学生真正参与试验研究。
学习活动是学生以自身已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，教师必须重视学生的生活经验，使学生在已有的知识和经验中学习新知。这堂课我力求以学生的知识经验为基础，让更多的学生参与有价值的探究学习，目的是教会学生一种学习的方法，而不是成为一节好学生的展示课。整节课注重学生对知识的感悟、体验的过程，注重绝大多数学生获得知识的过程，把握不同学生解决问题的不同策略。如：有些学生用圆面积与正方形面积进行比较,研究出圆面积范围；有的学生通过学生自己动手剪拼,找关系,在充分探索的过程中感悟出圆的面积公式。从讨论圆与正方形面积的关系,猜测圆的面积,到如何把圆剪拼成已学的图形以及圆面积的推导过程，老师在其中只是起到点拨的作用，更重要的是帮助学生建立各种解决问题的模型，注重对学生逻辑推理能力的培养、动手操作能力的培养及小组协作能力的培养。
2．尊重学生差异，让每一种学生的思维都能在课堂中闪光。
每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，由于学生个体之间存在着一定的差异，他们的发展需求也不同，不同学生可以运用自己的智慧与策略获得不同的体验，多样化的解决问题，这样既尊重了学生生活经验、认知特点等差异，也能力求使不同的学生在数学上得到不同的发展。从不同角度进行思考和探索，也为学生的个性发展提供了广阔的空间。有时我们面临学生在研究过程中遇到的问题会忽略他的价值，因为他无法得到正确的结论。但我们应意识到这些带有问题的研究策略对于孩子自身是可贵的，他也在思考，也有自己的研究方向，也许多给他些时间他能有新的发现。问题是暂时的，但他研究了，他在想办法试图解决问题，我认为这更可贵。作为教师就是尽可能的了解学生的学习历程，关注每一个学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，要关注学生学习数学的水平，帮助学生认识自我，建立自信。
（二）教学背景分析
1．本课在小学阶段的地位。
圆的面积对于小学阶段的学生可以说是一次思维的飞跃。学生从学习一维的点、线到学习二维的面，一直接触的都是直线图形，而对于圆这个曲边图形是非常陌生的。在过去所学习的平面图形面积中运用的转化思想是显性的，如将平行四边形转化成长方形，将三角形转化成平行四边形或长方形等。而圆的面积对于学生来说运用转化的思想不是难点，但由于是曲边图形的问题使得学生不知该如何转化成他们所熟悉的直线图形成为了本课的一大难点。
2．我的困惑。
为了设计本课我看了不少的教案、资料，多种转化方法的展现使我常常惊叹于学生的出色，但也会不断的自问：学生的理解力能达到本课知识的难度吗？我先在自己班进行试验，发现还真有孩子的思维水平让我刮目相看，可我也发现有80%的孩子这节课没有参与真正的实验研究，只是跟着别人看、听，下课时有一半的孩子还不认可圆面积转化的过程。多种方法的出现虽然让我欣喜，但一节课是为20%的孩子服务，还是应让80%的孩子都有不同层次的体验与收获，我选择了后者。
3．教学前测。
为了真正从学生已有的知识和经验出发，发现学生学习的困难，我制作了一份课前调查问卷，把握学生实际情况。
（一）问卷：
（1）一个半径为2米的圆形花池，占地面积是多少平方米？
前测人数
理解题意、能正确解答
公式不会使用或记忆错误
不会解答的
45人
9人（20%）
6人（13.3%）
30人（66.7%）
（2）请写出你熟悉的图形的面积公式。
前测人数
已学图形掌握情况
圆面积公式掌握情况
45人
45人（100%）
正确
错误
不会
13人
（28.9%）
5人
（11.1%）
27人
(60%)
（二）访谈
（1）你还记得长、正方形面积公式是怎样推导的吗？请简单描述。
前测人数
能说出推倒方法
遗忘
45人
11人（24.4%）
34人（75.6%）
（2）你还记得平行四边形、三角形和梯形公式怎样转化吗？请简单描述。
前测人数
清楚描述
遗忘
45人
34人（75.6%）
11人（24.4%）
（3）你认为圆面积公式可以怎样推倒？你会有什么困难吗？
前测人数
45人
分析
将圆分割、拼摆成长、正方形
5人（11.1%）
学生想法和书上相同的只占全班的11.1%。
应该可以转化，但不知从何入手
11人（24.4%）
接近一半的学生对圆的面积已经产生了兴趣并根据自己的思考有了一些困惑。
无从下手，曲边怎样转化成直边
10人（22.2%）
圆的面积一定会和正方
形有关系，愿意尝试
14人（31.1%）
接近一半的学生对于圆面积求解的方法有自己的思考。
也许可以使用长、正
方形面积的推导方法
5人（11.1%）
4．本课的数学核心思想
本课从教材内容来看，数学的核心思想依然在延续平面图形的研究方法：转化。但是根据教学前测的情况，挖掘教学资源，为学生终身的学习建立良好的数学模型，我认为本课数学的核心思想应该落脚在“以直代曲”的思想上，并在此基础上制定了新的教学目标和重、难点。
5．教学方式与教学手段
采取的教学方式主要有独立思考、合作研究、交流讨论、引导讲授。
教学手段主要有实物演示及电脑课件等。
（三）本课教学目标设计
1．知识与技能：使学生理解和掌握圆面积的计算公式，沟通圆与其它图形之间的联系，培养学生观察、操作、分析、概括的能力以及逻辑推理能力。
2．过程与方法：引导学生学会利用已有的知识，运用数学思想方法，推导出圆面积计算公式；渗透极限、转化、以直代曲等数学思想方法。
3．情感态度价值观：培养学生认真观察、深入思考的良好思维品质，锻炼学生面对困难勇于克服、弃而不舍的精神。
（四）教学过程与教学资源设计
教学过程
教学步骤
师生活动
设计意图
一、开门见山直接引入课题。（预计时间：3分钟）
今天我们一起来研究一个新的图形的面积：圆的面积。请你先想一想，你打算怎样研究圆面积的求解方法呢？
学生独立思考。
由于本课内容需要给学生较大的探究空间与时间，因此没有过多的课前铺垫与情景设置，直接提出核心问题：“请你先想一想，你打算怎样研究圆面积的求解方法。”这样设计的目的是让学生先有一个独立思考的空间，帮助学生搭设旧知（已有的数学思想方法）与新知（本课内容）的桥梁。
二、探究新知。（预计时间：20分钟
1．引发矛盾。
学生在独立思考后把自己的想法和小组同学交流、讨论。在小组的交流讨论中引发问题和困难。
全班交流各小组在讨论中遇到的问题和困难。如：
（1）能否转化成学过的图形，怎样转化？
（2）曲线无法变成直线，转化后的图形不准确。
师：请大家关注同学们的发言，从中你一定会受到启发或发现问题。
在全班讨论时教师只是一个参与者，而且要延迟判断，力争让学生提出的问题在学生间相互解答。在这里不怕引发学生的争论，甚至应欢迎学生争论。
结合学生发言，教师有针对性地引导，如：“曲线无法变成直线，转化后的图形不准确。”对于这个问题要利用课件直观演示，渗透极限思想。
2．深入探究。
师：同学们已经有了自己的研究方法，可以利用一些学具开始探究。可以独立研究，也可以有相同想法的同学自由合作。研究的过程可能会有困难，老师相信你们，一定不怕困难勇于探索，遇到问题也可以向老师寻求帮助。
在探究活动中教师要充分参与学生的研究活动，并给于适当的指导。
本课转化不是难点，关键是学生不知如何把圆转化成直线的图形。因此老师的放手是有层次的，在帮助绝大多数学生开拓思路，解决关键难点后再进行下一步的探究活动。让绝大多数学生都能有探究的方向，避免较有难度的课堂只能成为优等生的课堂，大多数学生只能做听众的情况。
三、汇报交流。（预计时间：14分钟）
教师要特别留意研究活动中与众不同的方法策略，并请有比较独特想法的小组先汇报！
学生方法1：把圆的四边去掉变成正方形（即用一个圆折出了一个内接正方形），但我们不知道这4个小面怎样求？
教师要抓住学生思维的闪光点加以引导：剩下的部分的确不太好求，但你们能想到圆和我们熟悉的正方形最接近，所以想通过正方形解决圆的面积，非常了不起。你们可以继续研究，看看有没有比正方形更接近圆面积的图形呢？利用课件演示：
学生方法2：可以在圆上画方块，如果不足一个方块可以用其他地方的方块来补，但我们不知道哪个方块补在哪里合适？
教师要抓住学生思维的闪光点加以引导：这个小组的研究方法非常独特，尝试用直线图形代替曲边图形，而且还想到了求图形面积必不可少的面积单位，其实你们的想法特别接近数学大师的想法，这个思想在你们今后的大学学习中一定会用到，你们可以继续研究，看看能否让每一小部分都更接近面积单位呢？利用课件演示：
学生方法3：将圆等分成若干分，拼成一个近似的平行四边形或长方形，圆周长的一半是平行四边形下面的底，上面的底就是圆周长的另一半。圆周长的一半乘半径就是圆面积的公式：∏r2。
教师提出请大家关注的问题：
1转化前后的图形有什么关系？
2怎样推导出公式的？
在小组汇报，学生思考后，教师引导并追问，全班再进行一次公式的整理。
先汇报最独特的方法，其实是在保护和加强每一个学生的创造性思维，因为这是最原始的、最真实的思考，是书上不曾有过的。也许在这节课上他们的研究一时解决不了问题，但这个思考的价值是非常大的，如果多给他们一些时间他们一定会有新的发现，而他们的收获比早已知道剪拼，只是去动手验证的收获要丰富的多。
在这里也可以让每一个孩子感觉到，解决问题的方法是多样的，书并不是唯一的，只要开动脑筋一定会有解决问题的思路。
这种方法有可能是学生曾经看过书或在其他地方学习过的，但它能在课堂上求解圆面积的公式，也要引起学生足够的重视，并帮助决大多数学生理解。
四、课堂小结。（预计时间：3分钟）
依靠同学们的聪明智慧，运用数学的思想方法解决了圆面积的问题，在研究过程中同学们的思路是灵活的，面对困难，积极地想办法，老师非常钦佩你们。
也许因为时间的关系有些同学的思路并没有完全展现出来。但老师希望你们能够继续研究下去，我相信你们一定会有丰富的收获。我也希望每一个同学都能喜欢数学的探索过程，更希望你们都能大胆的运用数学的思想方法继续研究解决问题，你会发现数学的美妙和它的广泛用途。
（五）学习效果评价设计：教学后测。
学生问卷部分：
（1）一个半径为2米的圆形花池，占地面积是多少平方米？
（2）请写出圆面积的公式。
（以上两道小题和教学前测的内容一致，可以明显的看出一节课前、后
学生的整体情况。）
学生访谈部分：
（1）能谈谈这节课你的收获和感受吗？
（2）你认为圆面积的求解方法是怎样得到的？请简单描述。
（3）关于圆的面积你还有不同的想法吗？
（4）你喜欢今天的数学课吗？你认为自己的表现如何？为什么？
（5）你还有其他的想法或建议吗？
教师自评部分：
（1）设计的内容和形式学生是否能够轻松愉快地完成任务?
（一节成功的课堂教学设计，在教学过程中教师和学生是愉快投入的，而不是教师用尽全力的引导，学生却不知回答什么才是老师想要的；在完成课堂教学后教师和学生的身心应该是愉悦的。）
（2）是否积极参与小组活动，适时地在小组最需要帮助的时候给予指导？
（学生是学习的主体，教师是参与者，起引导的作用。引导是要在合适的时机给予一定的指导，既不应是教师不能在课堂中起作用，也不能让教师的作用代替了学生的思考。）
（3）是否抓住了学生思想的闪光点，并给予了学生适时的、鼓励的评价？
（我认为学生思想的闪观点并不一定是正确的解题思路，及时地发现学生学习过程中遇到的困难并把它显现出来应该会使课堂更闪光。）
（六）课后反思：
虽然这只是一节普通的数学课，可是却让我体会到收获的喜悦。因为在课堂上我看到了学生眼中自信与收获的喜悦；同时我也要感谢学生带给我的收获，他们让我进一步的看到了学生不同思维的可贵，他们让我学会放慢速度去欣赏“障碍物”的美。这节课让我感受到任何一个看似简单的内容，如果教师能真正站在孩子的基点去想一想，如果眼界放得再远一点，如果给学生的探索空间再大一点，如果敢于在课堂上展现学生的不同思想，那么任何一节课都将不简单！做一个有思想的教师，那样我们的孩子就会更喜欢数学课，就会更愿意自己去思考与发现！
评析《圆的面积》
1．教师具有长远的发展眼光
听过课后使我联想到这样一个小故事。有三个泥瓦匠在砌一堵墙，一位哲人问三个人：“你们在干什么？”第一个人回答：“砌墙。”第二个人回答：“盖一栋楼。”第三个人回答：“我们正在建设自己的家园。”哲人听后对第三个人说：“今后你将是幸运的。”果然，许多年后，第一个人依然是泥瓦匠，第二个人成为工程师，第三个人成为前两个人的老板。这个故事使我联想到了本课教师对待教学的一种态度。她没有像第一个人那样只关注“砌墙”（即推导圆面积的公式），最起码她是在关注“盖一栋楼房。”从下面的图中就可以看出教师的思考具有整体性，眼光是长远的。
从学生最初学习长、正方形面积的拼摆方法，到学生学习所有直线段图形的转化方法，再到今天要研究的圆面积，以及学生今后还将要学习的和圆面积相关的内容，作为一名教师如果有了发展的眼光，才能去发现学生思维的价值。那么教师自身就会不断的提高，学生也会有不断的发展。
2．关注学生已有的认知基础
学习活动是学生以自身已有的知识和经验为基础的主动建构的过程。本课教师非常重视学生已有的知识和生活经验，在备课之前为更好地把握学生的认知基础，进行了课前调研。在调研中一方面可以了解学生对已有知识（长、正方形；平行四边形；三角形；梯形公式推导过程）的掌握程度，另一方面也可以了解学生对于新知（圆的面积公式）的认识程度。调研后教师根据班级的整体情况有针对性的进行教学预设，使学生能够在已有的知识和经验的基础上更好地学习新知。
3．直面学生的数学现实，让学生亲历完整的数学化过程
每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，由于学生个体之间存在着一定的差异，他们的发展需求也不同。不同学生可以运用自己的智慧与策略获得不同的体验与多样化解决问题的方法。只有坚持让每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式生动地、自由地、开放地去探索，才能使学生的数学学习活动真正成为一个主动的、富有个性的过程。
本节课教师并没有像以往那样直接带着学生按照剪拼的方式推导圆面积的公式，而是给了学生很大的探究空间，让学生在主动参与中去“做数学”， 通过学生亲历数学化的过程，提高学生的探索能力以及对知识的深层理解。教师一上课就直接提出了本课的核心问题：“你想怎样求解圆面积的公式？”学生在独立思考、小组交流后开始汇报。在汇报的过程中教师抓住了学生与众不同的思想。
教师给了每一种不同思维的小组展现的机会和更好的引导。从课堂的结果就可以看出学生的思维是活跃的。这样使每一名学生都能大胆地从不同角度进行思考和探索，使每一个孩子都亲历这个学习的过程。这样既尊重了学生生活经验、认知特点等差异，也能使不同的学生在数学上得到不同的发展。
4. 渗透数学思想，关注学生的终身发展
数学思想是数学知识的“灵魂”，它隐形于知识的形成过程之中，是数学活动中的根本想法，是对数学内在规律的理性认识，是数学知识与数学方法的高度概括总结。学生在探索活动中建立数学思想，反过来数学思想又帮助了学生理解与解决数学问题。
从本课可以看出老师的着眼点不是单纯的圆面积公式的教学，而是在探索圆面积公式的过程中渗透“以直代曲”的数学思想，为学生的终身发展服务。通过这节课学生进一步学会了数学地思考和解决问题，这也正是新课程标准所倡导的。
心理学家米德说：“让一个二十世纪的儿童自己去发现：在直角三角形里，勾股边的平方之和等于弦边的平方，那么他也就完成了跟毕达哥拉斯一样的创造性劳动，尽管这个发现的结果对于文化传统来说等于零，但在孩子的心灵深处却会认为自己是一个发现者、研究者、探索者。”
这节课老师就是在不断肯定并欣赏学生的学习成果，让学生从成功中增强自信、激发潜能、享受学习的快乐。当学生想到这两种方法的时候，老师并没有因为他们在课堂上无法求出圆面积的公式而回避，而是给学生进一步的引导，碰撞出学生创新思维的火花。长期如此，学生必将终身受益。每个学生身上都蕴藏着闪光点，我们要善于挖掘学生身上的闪光点，要看到学生人人有才。
5．教师具有不断反思和学习的意识
反思是一种内省行为，是对认识的再认识，是对感悟的再体验。从教学设计可以看出教师经历了一个“学习—反思—调研—再学习—预设—再反思”的过程。在教师的第一次学习后意识到学生的知识基础和生活经验对于解决圆的面积问题有一定的难度，随后教师开展了教学前测，从中发现了学生不同的思维， 这引起了教师的思考并再次学习，正是这次的再学习使教师发现学生思维的可贵，从而也确立了本节课的教学目标：展现学生自身的不同思维，渗透数学思想。预设后教师并没有结束这节课的研究活动，而是再一次的反思：学生把40分钟托付给我们，那么我们在这40分钟里应该给孩子什么？不应该给孩子什么？这使教师进一步意识到：只有教师有思想、善学习，才能教出一代爱学习、会思考的学生。
