爱华网到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。
现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。
好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
图1 FFT结果
从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2);%换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));%显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));%显示相位图
title('相位-频率曲线图');
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(Bycomputer00 @2008-05-15)
网友:
lsw快速回复引用回复(0)2008-05-16 10:01
评论:个人认为，这么理解存在一个问题：既然是随机采样，那么每个点的地位是等同的，一大段数据，截取其中某一段，计算结果应当是相近的，可能是我没能理解上文的意思，请问这“第一点”是什么意思呢网友:computer00快速回复 引用回复 (0) 2008-05-16 11:19评论:这里所说的第一点是FFT之后的结果，不是原始的采样信号。N点信号，做N点FFT之后，就得到了N个复数。第一点就表示直流信号。对于采样点来说，随便截取一段，频率成分都是一样，就是相位不同而已。网友:happyw2004快速回复 引用回复 (0) 2008-05-17 18:06评论:顶一下,请问圈圈,如果我们不对其进行FFT,那么我们就只能得到一系列的幅度值,如果我们直接画出来,他是否就是其波形呢?FFT后,我们就可以得到他的更详细的信息如幅值,相位,频率,就可以画出你上面的那个图来.如果我们想画出他的波形图,是直接用FFT前的值来画还是用FFT后的值来画呢?还有就是,这些信号变化都很快,我们画出来如何看得清(视波器上有个好象什么可调的东西)是怎么来的,软件该如何处理,请给点介绍,或贴点资料出来,谢谢网友:computer00快速回复 引用回复 (0) 2008-05-18 21:29评论:不做FFT，看到的就是它的波形图。做FFT之后，就到了频域，可以看到频率-幅度曲线（就像我帖子中的图那样，横坐标是频率值，纵坐标是该频率下的幅度值）和频率-相位曲线。如果直接画波形图，要显示稳定的话，需要设置一个触发电平（示波器上就是调节这个来调节触发点的），当电压达到这个值时，才开始显示波形。网友:jackygao快速回复 引用回复 (0) 2008-05-27 10:12评论:顶一下,请问圈圈,上面所举的例子,50HZ的正弦的幅值为3V,是指峰峰值么?我用CVI的FFT变换出来的+-3伏的信号,分析出来的最高幅度就是1.5伏,不知是否正确?网友:computer00快速回复 引用回复 (0) 2008-05-27 17:35评论:回复山野村夫：的确是51点，是我写错了，笔误。谢谢指出，这说明你已经理解了我的意思，呵呵。 回复 Jackygao：3V是指峰值。这个我帖中说得很清楚。你分析出来是1.5V，可能是忘记是除以N/2了。网友:皓离快速回复 引用回复 (0) 2008-09-11 17:20评论:右边对称的频率点是怎么得到的？网友:computer00 快速回复 引用回复 (0)2008-09-12 01:11评论: 计算出来的结果就是这样的。
网友:alphifly 快速回复 引用回复 (0)2008-10-14 07:52评论: 网友:alphifly快速回复 引用回复 (0) 2008-10-14 07:52评论:问什么赋值的计算中，在实部虚部平方和再开方后，还要除以N/2？我一直没有理解这个？是公式推导？我看到很多网络上的文章都没有除以N/2。computer00快速回复 引用回复 (0) 2008-10-14 22:57评论:那个过程是求模值。结果是一个复数，以a+bj的方式表示的，换算成模和相角值更容易看出来。网友:car快速回复 引用回复 (0) 2008-11-27 21:46评论:只理解了圈圈举得例子，但反复想想，对采样频率Fs的选取还是糊涂，因此请教圈圈：采样定理要求采样频率ns要大于信号频率的两倍。对于以采样点数采集信号的情况，1.如果我采样点数是N=1024，而且要求分析时要可分析到0.01~10Hz的信号，那么这是的采样频率Fs怎么选择？2.改变采样点数，要求分析的频率范围与1同，这时根据什么变化关系选取Fs？麻烦圈圈给予指导，谢谢！网友:computer00快速回复 引用回复 (0) 2008-11-28 14:02评论:1.采样频率大于信号带宽的2倍就可以了。这个跟分辨率无关。2.如果直接使用标准的FFT来算，要分辨到0.01Hz，那么就需要采集100秒时间的信号，至于多少个点，就要看你的采样频率了，采样频率是1000Hz，那么就需要采样100000个点做FFT。如果不能采样这么长时间，可以考虑一些细分的方法，最简单的例如补0，不过会降低精度。
网友:car快速回复 引用回复 (0) 2008-11-30 12:51评论:（1）我把两个采样频率混淆了，一个是信号采集仪器的采样频率，我用F1表示吧，仪器采集信号时，是每0.15秒采集一个点，这个频率已经固定不变，即F1=1/0.15；另一个是在做FFT变换时，有个采样频率Fs，是不是这个采样频率按着采样定理的要求选取？对问题1的回答“采样频率大于信号带宽的两倍就可以了”，能不能再说的详细点，谢谢。（2）通过你上面对问题2的讲解，意思就是频率分辨率和采样时间是倒数关系，那么可不可以这样理解：要提高频率分辨率，就必须增加采样长度，采样长度是影响频率分辨率的唯一因素？（3）我有个问题一直很困惑，看了你的文章发现你对FFT方面的解释很透彻，因此就在这里打扰你了，还请多见谅。我的实际采样间隔就是（1）中所述，现在采样点数可选为N=1024、4096或8192，对实际信号的估计是在0.01~10Hz的范围内，我用[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range)计算频谱，最后画频谱图，与标准的图形相比，出现的问题是图中横轴频率f与纵轴|Pxx|不能对应，就像是图形沿着横轴方向平移了一段。所以想问一下采样频率Fs的选取对横轴f有没有影响，怎么影响的？我已经详细看过了MATLAB中对pwelch这个函数的解释，并且是按着要求做的，函数解释中只说明“f的取值范围由nfft，fs，和输入量xn的值决定”，解释的不详细。"未将对象引用设置到对象的实例”每次在这里留言都出现这个对话框，为什么？网友:computer00快速回复 引用回复 (0) 2008-12-01 12:56评论:（1）就是同一个频率。Fs就是你的设备采样的频率。（2）如果就FFT而言，是的。（3）你的信号带宽差不多是10Hz，因此采样频率至少要大于20Hz，也就是采样时间要小于0.05s。
Wintel快速回复 引用回复 (0) 2009-02-04 16:02评论:（1）"假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。"（2）“按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来 的幅度是正确的。”这两点就是根据FFT的结果来得到原始信号的幅度或者是峰值。应该是只有一种说法。并不是两种说法吧。网友:computer00快速回复 引用回复 (0) 2009-02-04 19:04评论:是的。后面只是举例说明。网友:soih快速回复 引用回复 (0) 2009-08-19 16:40评论:很好啊..不过我还有个疑问，如果我想得到的是功率谱的话，是指需要把每个点的幅度平方/2么？总感觉这样做不对啊..
computer00快速回复 引用回复 (0) 2009-08-23 01:09评论:如果负载电阻是固定的，那么电压的平方就对了。
网友:adofu2008快速回复 引用回复 (0) 2009-08-30 19:45评论:请问一下圈圈：我如果采样的频率是一定的，信号的频率是一定的，那么我得到的N值不就是一定的吗？
:
computer00 快速回复 引用回复 (0) 2009-09-0621:50
评论:
那当然了。
网友:lknlfy快速回复 引用回复 (0) 2009-09-23 17:55评论:我认为N不是一定的。。假如信号频率为10K，我的采样率是40K，N点的确定还要看你要多大的分辨率吧。。。f(分辨率)=fs(采样率)/N...所以N由分辨率和采样率共同决定，而与信号频率无关。.。
网友:hallowwar快速回复 引用回复 (0) 2010-03-26 08:24评论:硬是需要FFT不难，外行来说不易入门的。最生动的描述应该是：FFT把时域信号搬到频域上，直观的看各频率上的信号强弱。
