爱华网转载:二进制编码--负数
负数： 原码就是原来的表示方法 反码是除符号位（最高位）外取反 补码=反码+1 以前学习二进制编码时，老师讲了一堆堆的什么原码啊反码啊补码啊xxxx转换啊，还有负数的表示方式啊总是记不零清，终于从网上找到了一种比较好的讲解方式，保存再share一下，不过为了系统化讲解，又找来了一些编码的基础知识，如果只想看负数编码记忆法，请跳转到 1.如果你不知道二进制怎么编码，请继续，否则请跳到2 1字节= 8位，所以它能表示的最大数当然是8位都是1（既然2进制的数只能是0或1,如果是我们常见的10进制，那就8位都为9，这样说，你该懂了？） 1字节的二进制数中，最大的数：11111111。 这个数的大小是多少呢？让我们来把它转换为十进制数。 无论是什么进制，都是左边是高位，右边是低位。10进制是我们非常习惯的计数方式，第一位代表有几个1（即几个100），第二位代表有几个10（即几个101），第三位代表有几个100（即有几个102）…，用小学课本上的说法就是：个位上的数表示几个1，十位上的数表示向个10，百位上的数表示几个100…… 同理可证，二进制数则是：第1位数表示几个1（20），第2位数表示几个2（21），第3位数表示几个4（22），第4位数表示向个8(23)…… 以前我们知道1个字节有8位，现在通过计算,我们又得知：1个字节可以表达的最大的数是255，也就是说表示0~255这256个数。 那么两个字节（双字节数）呢？双字节共16位。1111111111111111，这个数并不大，但长得有点眼晕，从现在起，我们要学会这样来表达二制数： 1111 1111 1111 1111,即每4位隔一空格。 双字节数最大值为： 1 * 215+ 1*214+ 1*213+ 1 *212+ 1 *211+ 1 *210+ …… + 1 *22+ 1 *21+ 1*20= 65535 很自然，我们可以想到，一种数据类型允许的最大值，和它的位数有关。具体的计算方法方法是，如果它有n位，那么最大值就是： n位二进制数的最大值：1 * 2(n-1)+ 1 *2(n-2)+ ... + 1 *20 2、理解有符号数和无符号数 负数在计算机中如何表示呢？这一点，你可能听过两种不同的回答。 一种是教科书，它会告诉你：计算机用“补码”表示负数。可是有关“补码”的概念一说就得一节课，这一些我们需要在第6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再者，用“补码”表示负数，其实一种公式，公式的作用在于告诉你，想得问题的答案，应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以和答案？-----我就是被这个弄混淆的>_<</span> 另一种是一些程序员告诉你的：用二进制数的最高位表示符号，最高位是0，表示正数，最高位是1，表示负数。这种说法本身没错，可是如果没有下文，那么它就是错的。至少它不能解释，为什么字符类型的-1用二进制表示是“1111 1111”(16进制为FF)；而不是我们更能理解的“1000 0001”。（为什么说后者更好理解呢？因为既然说最高位是1时表示负数，那1000 0001不是正好是-1吗？-----re！当初偶就是这么想的，so一直在脑中打架，越打越混淆＝，＝）。 让我们从头说起。 2.1、你自已决定是否需要有正负。 就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。 在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，无正负的类型（只有正值），称为无符类型。 数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有符类型。 字符类型也分为有符和无符类型。 比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。 2、使用二制数中的最高位表示正负。 首先得知道最高位是哪一位？1个字节的类型，如字符类型，最高位是第7位，2个字节的数，最高位是第15位，4个字节的数，最高位是第31位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是1个字节，所以最高位总是第7位。 (红色为最高位) 单字节数：1111 1111 双字节数：1111 1111 1111 1111 四字节数：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 当我们指定一个数量是无符号类型时，那么其最高位的1或0，和其它位一样，用来表示该数的大小。 当我们指定一个数量是有符号类型时，此时，最高数称为“符号位”。为1时，表示该数为负值，为0时表示为正值。 3、无符号数和有符号数的范围区别。 无符号数中，所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比： 无符号数：11111111值：255 1* 27+ 1*26+ 1*25+ 1*24+ 1*23+ 1*22+ 1*21+ 1* 20 有符号数：01111111值：1271* 26+ 1*25+ 1*24+ 1*23+ 1*22+ 1*21+ 1* 20 同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道，最高位的权值也是最高的（对于1字节数来说是2的7次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。 不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比： 无符号数：0 ----------------- 255 有符号数：-128 --------- 0 ---------- 127
同样是一个字节，无符号的最小值是0，而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数，后者表达的是-128到+127这256个数。 一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢？ 有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，只不过它少了一个最高位（见第3点）。但在负值范围内，数值的计算方法不能直接使用1* 26+ 1*25的公式进行转换。在计算机中，负数除为最高位为1以外，还采用补码形式进行表达。所以在计算其值前，需要对补码进行还原。这里，先直观地看一眼补码的形式： 以我们原有的数学经验，在10进制中：1表示正1，而加上负号：-1表示和1相对的负值。 那么，我们会很容易认为在2进制中（1个字节）：00000001表示正1，则高位为1后：1000 0001应该表示-1。 然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表：
首先我们看到，从-1到-128，其二进制的最高位都是1（表中标为红色），正如我们前面的学。 然后我们有些奇怪地发现，1000 0000并没有拿来表示-0；而1000 0001也不是拿来直观地表示-1。事实上，-1用1111 1111来表示。 怎么理解这个问题呢？先得问一句是-1大还是-128大？ 当然是-1大。-1是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是字符类型，或者是整数类型，也无论这个整数是几个字节。它都用全1来表示-1。比如一个字节的数值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1是什么呢？和现实中的计算结果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。这样一直减下去，当减到只剩最高位用于表示符号的1以外，其它低位全为0时，就是最小的负值了，在一字节中，最小的负值是1000 0000，也就是-128。 --------小米批注：就是这部分蓝色的文字，让我终于能记清楚-1的编码方式了，汗＝。＝ 我们以-1为例，来看看不同字节数的整数中，如何表达-1这个数：
可能有同学这时会混了：为什么11111111有时表示255，有时又表示-1？所以我再强调一下本节前面所说的第2点：你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时，指定一个量是有符号的，那么当这个量的二进制各位上都是1时，它表示的数就是-1；相反，如果事选声明这个量是无符号的，此时它表示的就是该量允许的最大值，对于一个字节的数来说，最大值就是255。 ok摘抄暂告段落，其实原文对于c的一些基础数据类型知识介绍的非常详细，8过太长了，摘到我需要的内容后就没全帖过来，如果有需要学习的同学，建议参见原文：） 7892477/1201309.aspx 关键字：二进制编码，负数二进制，二进制 |
1-6什么叫机器数？计算机为什么要采用补码？
2007-09-09 14:24:25
大中小
标签：教育杂谈
在计算机内部，所有信息都是用二进制数串的形式表示的。整数通常都有正负之分，计算机中的整数分为无符号的和带符号的。无符号的整数用来表示0和正整数，带符号的证书可以表示所有的整数。由于计算机中符号和数字一样，都必须用二进制数串来表示，因此，正负号也必须用0、1来表示。通常我们用最高的有效位来表示数的符号（当用8位来表示一个整数时，第8位即为最高有效位，当用16位来表示一个整数时，第16位即为最高有效位。）0表示正号、1表示负号，这种正负号数字化的机内表示形式就称为“机器数”，而相应的机器外部用正负号表示的数称为“真值”。将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。
无符号数没有原码、反码和补码一说。只有带符号数才存在不同的编码方式。
带符号整数有原码、反码、补码等几种编码方式。原码即直接将真值转换为其相应的二进制形式，而反码和补码是对原码进行某种转换编码方式。正整数的原码、反码和补码都一样，负数的反码是对原码的除符号位外的其他位进行取反后的结果（取反即如果该位为0则变为1，而该位为1则变为0的操作）。而补码是先求原码的反码，然后在反码的末尾位加1后得到的结果，即补码是反码+1。IBM-PC中带符号整数都采用补码形式表示。（注意，只是带符号的整数采用补码存储表示的，浮点数另有其存储方式。）
采用补码的原因或好处如下。
采用补码运算具有如下两个特征：
1）因为使用补码可以将符号位和其他位统一处理，同时，减法也可以按加法来处理，即如果是补码表示的数，不管是加减法都直接用加法运算即可实现。
2）两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。
这样的运算有两个好处：
1）使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。从而可以简化运算器的结构，提高运算速度；（减法运算可以用加法运算表示出来。）
2）加法运算比减法运算更易于实现。使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计。
下面深入分析上面所陈述的采用补码的原因（目的）。
用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题，如下：假设字长为8bits
( 1) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)原+ (10000001)原= (10000010)原= ( -2)显然不正确.。
因为在两个整数的加法运算中是没有问题的，于是就发现问题出现在带符号位的负数身上，对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应。下面是反码的减法运算：
( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10
(00000001)反+ (11111110)反= (11111111)反= ( -0)有问题。
( 1)10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001)反+ (11111101)反= (11111110)反= ( -1)正确
问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的。
于是就引入了补码概念。负数的补码就是对反码加一，而正数不变，正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为：
(-128~0~127)共256个。
注意:(-128)没有相对应的原码和反码，(-128) =(10000000)补码的加减运算如下：
( 1) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)补+ (11111111)补= (00000000)补= ( 0)正确
( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001)补+ (11111110)补= (11111111)补= ( -1)正确
采用补码表示还有另外一个原因，那就是为了防止0的机器数有两个编码。原码和反码表示的0有两种形式+0和-0，而我们知道，+0和-0是相同的。这样，8位的原码和反码表示的整数的范围就是-127~+127（11111111~01111111），而采用补码表示的时候，00000000是+0，即0；10000000不再是-0，而是-128，这样，补码表示的数的范围就是-128~+127了，不但增加了一个数得表示范围，而且还保证了0编码的唯一性。
整数和0的原码、反码和补码都相同，下面介绍手工快速求负数补码的方法。这个方法在教材的第8页已经提到了，这里再写出来以便能引起大家的注意。其方法如下：
先写出该负数的相反数（正数），再将该正数的二进制形式写出来，然后对这个二进制位串按位取反，即若是1则改为0，若是0则改为1，最后在末位加1。
接下来的问题是，如何能将减法运算转换成加法运算呢？
我们已经知道，原码表示简单直观，与真值转换容易。但如果用原码表示，其符号位不能参加运算。在计算机中用原码实现算术运算时，要取绝对值参加运算，符号位单独处理，这对乘除运算是很容易实现的，但对加减运算是非常不方便的，如两个异号数相加，实际是要做减法，而两个异号数相减，实际是要做加法。在做减法时，还要判断操作数绝对值的大小，这些都会使运算器的设计变得很复杂。而补码这种编码方式实际上正是针对上述问题的。通过用补码进行表示，就可以把减法运算化为加法运算。
在日常生活中，有许多化减为加的例子。例如，时钟是逢12进位，12点也可看作0点。当将时针从10点调整到5点时有以下两种方法：
一种方法是时针逆时针方向拨5格，相当于做减法：
10－5＝5
另一种方法是时针顺时针方向拨7格，相当于做加法：
10＋7＝12＋5＝5(MOD 12)
这是由于时钟以12为模，在这个前提下，当和超过12时，可将12舍去。于是，减5相当于加7。同理，减4可表示成加8，减3可表示成加9，…。
在数学中，用“同余”概念描述上述关系，即两整数A、B用同一个正整数M(M称为模)去除而余数相等，则称A、B对M同余，记作：
A＝B(MODM)
具有同余关系的两个数为互补关系，其中一个称为另一个的补码。当M＝12时，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同余的，它们互为补码。
从同余的概念和上述时钟的例子，不难得出结论：对于某一确定的模，用某数减去小于模的另一个数，总可以用加上“模减去该数绝对值的差”来代替。因此，在有模运算中，减法就可以化作加法来做。
可以看出，补码的加法运算所依据的基本关系为：
[x]补+ [y]补= [x+y]补
补码减法所依据的基本关系式：
[x-y]补=[x+(-y)]补= [x]补+ [-y]补
至于加法运算为什么比减法运算易于实现以及CPU如何实现各种算术运算等问题，则需要通过对数字电路的学习来理解CPU的运算器的硬件实现问题的相关内容了。
首先要明确，定点小数、定点整数均可用这三种编码来表示，在学习这几种编码时有下述两个技巧：
技巧一：
不管是定点小数、定点整数，编码总位数相同的情况下，补码的表数个数总比原码、反码多一个，原因在于，真值0对应的原码、反码有两个编码(对应负零和正零)，而真值0的补码只有一个。这就造成了同等条件下，补码的表数范围跟其他两种不一样，例如，当总编码位数(包含符号位)为8时，补码的表数范围为：-27≤X≤27-1，而原码、反码的表数范围为：-27-1≤X≤27-1。因此，此时，27=128有补码，却没有原码、反码。作为一种特例，真值“-1”被纳入定点小数补码的表数范围中，即定点小数补码的表数范围为：-1≤X＜1，而定点小数原码、反码的表数范围为：：-1＜X＜1(不包含-1)。
技巧二：
不管是定点小数、定点整数，在求各种编码时，都可遵循以下原则：正数的原码、反码、补码的符号位均为0，原码、反码、补码数值位均为数值本身；负数的原码、反码、补码的符号位均为1，原码的数值位为数值本身，反码的数值位为数值本身（即原码数值位）各位取反，而补码的数值位是在反码数值位的基础加1，若数值最高位有进位则丢弃（不向符号位进位）。
例如，当编码总位数为8时有：
+127的原码、反码、补码都为：0 1111111。
-127的原码、反码、补码依次为：1 1111111、10000000、10000001。
+0、-0的原码分别为：0 0000000、10000000，均对应真值0。
由于“编码总位数为8”的限制，真值-128无法用原码、反码来表示，似乎不能用上述规则来求解补码，但实际上是可行的——只要不管它的最高位即可，操作办法如下：
将128化为二进制为：10000000，最高位为1，可以只对舍去最高位后剩余的7位进行处理即可，首先取反得：1111111，加1得：10000000，最高位有进位需丢弃，即得：0000000，加上符号位就得补码：1 0000000。
又如，当编码总位数为4时，真值X=+0.101的原码、反码、补码均为：0 101。
真值X=-0.101的原码、反码、补码依次为：1 101、1010、1011。
同理，特例，-1的补码为：1000。
在定点小数中，小数点隐含在第一位编码和第二位编码之间。
