爱华网相信对任何一个喜爱钻研的学生来讲，最无法接受的事情是：被别人抛给一个公式，并被告知公式你现在尽管用，但公式的道理以你现在的水平没法跟你解释．我在学生时代就非常抵触这种做法，碰到任何之前没见过的数学结论，一定要想法设法证明它，否则总觉得这样的结论用起来不踏实．
格点多边形面积公式(Pick定理)正是这样的情况．多数小学数学课外班，总会安排一节课，让学生学会如何套用这个公式．但至于公式如何发现？怎样证明？则很少有讲得清楚明白的了，如果还要求讲得浅显易懂，则是难上加难．要么告诉孩子们，这公式就是简单的通过找规律总结出来的，没什么道理可言；要么直接告诉孩子们，等到高中吧，那个时候就能证明了．
Pick定理：如果一个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直角坐标平面上的格点，则称该多边形为格点多边形．若一个面积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝a/2＋b－1．
强迫孩子们接受无法说出道理的东西，很容易打击孩子们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨，找到一个非常浅显的办法，既能够形象的解释Pick定理的道理，又能让看清Pick定理的本质．整个解释只需用到一个很浅显的预备知识：“多边形外角和等于一个周角”．
以下图的格点多边形ABCDE为例，其边界上有a个格点，内部有b个格点．
设想在平面的每个格点放一个铁饼，满足：
(1)每个铁饼都一样大的圆（或者说是圆柱），圆心是格点；
(2)每个铁饼都恰好重1克；
(3)每个铁饼的半径都做得尽量小——不仅铁饼之间互相不重叠，而且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的内部；多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的外部．
首先，考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重．
这可以分如下两类进行计算： 第一类：其内部格点上放的铁饼．此类总重显然是b克．第二类：其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁．假设每个边界格点上放的铁饼，恰有一半落在边界以内，则总重为a/2克．但显然在每个顶点处放的铁饼，落在边界以内的铁实际不足一半，比一半还少该顶点的一个外角内所含的铁，所有这种外角内所含的铁恰好拼成一块完整的铁饼（因为多边形外角和等于一个周角）．所以后一类铁的总重是a/2－1克．
因而，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2＋b－1克．
接下来，设想将平面上所有铁饼全部熔化，打造成一张厚薄均匀的铁板盖在整个平面上．这可以看作是：将每个单位正方形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼，熔化在这个正方形内部，故熔化后每个单位正方形内的铁都是1克．进而，平面上任意图形，其面积是多少，其内部就含多少克铁．
因而，熔化并重新打造后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克．
最后，注意到这个熔化并重新打造的过程，可以看成是：每个格点处的铁饼中的铁，按(以该格点为中心)放射状的方式重新适当改动位置而已．这样的改动，不会使格点多边形ABCDE外面的铁跑到多边形内部，也不会使内部的铁跑到外部．
即熔化并重新打造的前后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的，所以S＝a/2＋b－1．
评论：按照严格数学的标准，上面的解释存在一些较为含糊、不够严谨的地方．然而这些瑕疵是容易弥补的，实际上，从这个解释所包含的想法出发，再给出严格的证明是轻而易举的事情．然而过于严谨的数学表述反而失去了上述解释的直观性和启发性，也不适合小学生去阅读，这里就不再赘述了．
去年在谢老师的鼓励下，我曾在龙校四年级学习交流群里，就同样的专题发过一篇文章，写完后谢老师还帮我在群里宣传过．今年四年级寒假，又安排有格点多边形面积公式，我就想起这篇文章，遂将它重新整理了一下．
