爱华网太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？
解:设白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛数分别为b、B、h、H、f、F、z、Z.依题意,
b-z=h(1/2+1/3),⑴
h-z=f(1/4+1/5),⑵
f-z=b(1/6+1/7),⑶
B=(h+H)(1/3+1/4),⑷
H=(f+F)(1/4+1/5),⑸
F=(z+Z)(1/5+1/6),⑹
Z=(b+B)(1/6+1/7).⑺
这七个方程中含有8个未知数,所以这个方程组是不定方程组.由⑴⑵⑶得
f=1580z/891,h=178z/99,b=1484z/594.为了使f,h,b为整数,z应为891,99,594的公倍数:5346,10692,…当z=5346时,f=9480,h=9612,b=13356.把这些值代入⑷⑸⑹⑺就可求得
F=21411720/4567,H=29118096/4567,B=42592725/4567,Z=65771001/9134.
因这个方程组是齐次的,故要使F,H,B,Z为整数,只需把诸数扩大9134k倍.本题的通解是
z=48830364k,f=86590320k,h=87796008k,b=121993704k,
F=42823440k,H=58236192k,B=85185450k,Z=65771001k.这里k为正整数.
答:略.
