高中数学常用公式及结论 高中数学常用二级结论

1元素与集合的关系:  ,  .

2集合  的子集个数共有  个;真子集有  个;非空子集有  个;非空的真子集有  个.

3二次函数的解析式的三种形式:

(1)一般式  ;

(2)顶点式  ;(当已知抛物线的顶点坐标  时,设为此式)

(3)零点式  ;(当已知抛物线与  轴的交点坐标为  时,设为此式)

(4)切线式:  。(当已知抛物线与直线  相切且切点的横坐标为  时,设为此式)

4真值表:同真且真,同假或假

5常见结论的否定形式;

原结论

反设词

原结论

反设词



不是

至少有一个

一个也没有

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

大于

不大于

至少有  个

至多有(  )个

小于

不小于

至多有  个

至少有(  )个

对所有  ,成立

存在某  ,不成立

  或

  且

对任何  ,不成立

存在某  ,成立

  且

  或

6四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)

          

原命题       互逆       逆命题

          若p则q               若q则p

    互       互

互        为   为        互

否                     否

逆   逆

            否      否

否命题               逆否命题

  若非p则非q    互逆      若非q则非p

    

充要条件:(1)、  ,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;

(2)、  ,且q≠>p,则P是q的充分不必要条件;

(3)、p≠>p,且  ,则P是q的必要不充分条件;

4、p≠>p,且q≠>p,则P是q的既不充分又不必要条件。

7函数单调性:

增函数:(1)、文字描述是:y随x的增大而增大。

(2)、数学符号表述是:设f(x)在x  D上有定义,若对任意的  ,都有

  成立,则就叫f(x)在x  D上是增函数。D则就是f(x)的递增区间。

减函数:(1)、文字描述是:y随x的增大而减小。

(2)、数学符号表述是:设f(x)在x  D上有定义,若对任意的  ,都有

  成立,则就叫f(x)在x  D上是减函数。D则就是f(x)的递减区间。

单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数;

(3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;

注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性:

函数单调

单调性

内层函数









外层函数









复合函数









等价关系:

(1)设  那么

      上是增函数;

    上是减函数.

(2)设函数  在某个区间内可导,如果  ,则  为增函数;如果  ,则  为减函数.

8函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称)

奇函数:

定义:在前提条件下,若有  ,

则f(x)就是奇函数。

性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称;

(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;

(3)、定义在R上的奇函数,有f(0)=0.

偶函数:

定义:在前提条件下,若有  ,则f(x)就是偶函数。

性质:(1)、偶函数的图象关于y轴对称;

(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间;

奇偶函数间的关系:

(1)、奇函数·偶函数=奇函数;(2)、奇函数·奇函数=偶函数;

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数;(4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)

(5)、偶函数±偶函数=偶函数;(6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.

9函数的周期性:

定义:对函数f(x),若存在T  0,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,其中,T是f(x)的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式:

(1)、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T;

(2)、f(x+m)=f(x+n),此时周期为2  ;

(3)、  ,此时周期为2m。

10常见函数的图像:

      

11对于函数  (  ),  恒成立,则函数  的对称轴是  ;两个函数  与  的图象关于直线  对称.

12分数指数幂与根式的性质:

(1)  (  ,且  ).

(2)  (  ,且  ).

(3)  .

(4)当  为奇数时,  ;当  为偶数时,  .

13指数式与对数式的互化式:    .

指数性质:

(1)1、  ;(2)、  (  );(3)、

(4)、  ;(5)、  ;

指数函数:

(1)、  在定义域内是单调递增函数;

(2)、  在定义域内是单调递减函数。注:指数函数图象都恒过点(0,1)

对数性质:

(1)、  ;(2)、  ;

(3)、  ;(4)、  ;(5)、

(6)、  ;(7)、

对数函数:

(1)、  在定义域内是单调递增函数;

(2)、  在定义域内是单调递减函数;注:对数函数图象都恒过点(1,0)

(3)、

(4)、  或

14对数的换底公式:  (  ,且  ,  ,且  ,  ).

对数恒等式:  (  ,且  ,  ).

推论  (  ,且  ,  ).

15对数的四则运算法则:若a>0,a≠1,M>0,N>0,则

(1)  ;(2)  ;

(3)  ;(4)  。

16平均增长率的问题(负增长时  ):

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为  ,则对于时间  的总产值  ,有  .

17等差数列:

通项公式:(1)  ,其中  为首项,d为公差,n为项数,  为末项。

(2)推广:

(3)  (注:该公式对任意数列都适用)

前n项和:(1)  ;其中  为首项,n为项数,  为末项。

(2)

(3)  (注:该公式对任意数列都适用)

(4)  (注:该公式对任意数列都适用)

常用性质:(1)、若m+n=p+q,则有  ;

注:若  的等差中项,则有2  n、m、p成等差。

(2)、若  、  为等差数列,则  为等差数列。

(3)、  为等差数列,  为其前n项和,则  也成等差数列。

(4)、  ;

(5)1+2+3+…+n=

等比数列:

通项公式:(1)  ,其中  为首项,n为项数,q为公比。

(2)推广:

(3)  (注:该公式对任意数列都适用)

前n项和:(1)  (注:该公式对任意数列都适用)

(2)  (注:该公式对任意数列都适用)

(3)

常用性质:(1)、若m+n=p+q,则有  ;

注:若  的等比中项,则有  n、m、p成等比。

(2)、若  、  为等比数列,则  为等比数列。

18分期付款(按揭贷款):每次还款  元(贷款  元,  次还清,每期利率为  ).

19三角不等式:

(1)若  ,则  .

(2)若  ,则  .

(3)  .

20同角三角函数的基本关系式:  ,  =  ,

21正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

22和角与差角公式

  ;  ;

  .

  =

(辅助角  所在象限由点  的象限决定,  ).

23二倍角公式及降幂公式

    .

    .

  .



24三角函数的周期公式

函数  ,x∈R及函数  ,x∈R(A,ω,  为常数,且A≠0)的周期  ;函数  ,  (A,ω,  为常数,且A≠0)的周期  .

三角函数的图像:

  

25正弦定理:  (R为  外接圆的半径).

  

26余弦定理:

  ;  ;  .

27面积定理:

(1)  (  分别表示a、b、c边上的高).

(2)  .

    (3)  .

  

28三角形内角和定理:

在△ABC中,有

    .

29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么:

(1)结合律:λ(μ  )=(λμ)  ;

(2)第一分配律:(λ+μ)  =λ  +μ  ;

(3)第二分配律:λ(  +  )=λ  +λ  .

30  与  的数量积(或内积):  ·  =|  ||  |  。

31平面向量的坐标运算:

(1)设  =  ,  =  ,则  +  =  .

(2)设  =  ,  =  ,则  -  =  .

(3)设A  ,B  ,则  .

(4)设  =  ,则    =  .

(5)设  =  ,  =  ,则  ·  =  .

32两向量的夹角公式:

  (  =  ,  =  ).

33平面两点间的距离公式:

  =    (A  ,B  ).

34向量的平行与垂直:设  =  ,  =  ,且      ,则:

  ||      =λ    .(交叉相乘差为零)

      (      )    ·  =0  .(对应相乘和为零)

35线段的定比分公式:设  ,  ,  是线段  的分点,  是实数,且  ,则    

    (  ).

36三角形的重心坐标公式:△ABC三个顶点的坐标分别为  、  、  ,则△ABC的重心的坐标是  .

37三角形五“心”向量形式的充要条件:

设  为  所在平面上一点,角  所对边长分别为  ,则

(1)  为  的外心  .

(2)  为  的重心  .

(3)  为  的垂心  .

(4)  为  的内心  .

(5)  为  的  的旁心  .

38常用不等式:

(1)      (当且仅当a=b时取“=”号).

(2)      (当且仅当a=b时取“=”号).

(3)

(4)  .

(5)  (当且仅当a=b时取“=”号)。

39极值定理:已知  都是正数,则有

(1)若积  是定值  ,则当  时和  有最小值  ;

(2)若和  是定值  ,则当  时积  有最大值  .

(3)已知  ,若  则有

  。

(4)已知  ,若  则有



40一元二次不等式    ,如果  与  同号,则其解集在两根之外;如果  与  异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.即:

  ;

  .

41含有绝对值的不等式:当a>0时,有

  .

  或  .

42斜率公式:

  (  、  ).

43直线的五种方程:

(1)点斜式  (直线  过点  ,且斜率为  ).

(2)斜截式  (b为直线  在y轴上的截距).

(3)两点式  (  )(  、  (  )).

两点式的推广:  (无任何限制条件!)

(4)截距式  (  分别为直线的横、纵截距,  )

(5)一般式  (其中A、B不同时为0).

直线  的法向量:  ,方向向量:

44夹角公式:

(1)  . (  ,  ,  )

(2)  .(  ,  ,  ).

直线  时,直线l1与l2的夹角是  .

45  到  的角公式:

(1)  .(  ,  ,  )

(2)  .(  ,  ,  ).

直线  时,直线l1到l2的角是  .

46点到直线的距离:  (点  ,直线  :  ).

47圆的四种方程:

(1)圆的标准方程  .

(2)圆的一般方程  (  >0).

(3)圆的参数方程  .

(4)圆的直径式方程  (圆的直径的端点是  、  ).

48点与圆的位置关系:点  与圆  的位置关系有三种:

若  ,则  点  在圆外;

  点  在圆上;  点  在圆内.

49直线与圆的位置关系:直线  与圆  的位置关系有三种(  ):

  ;  ;  .

50两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,  ,则:

  ;

  ;

    ;

  ;

  .

51椭圆  的参数方程是  . 离心率  ,

准线到中心的距离为  ,焦点到对应准线的距离(焦准距)  。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:  .

52椭圆  焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

  ,  ;  。

53椭圆的的内外部:

(1)点  在椭圆  的内部  .

(2)点  在椭圆  的外部  .

54椭圆的切线方程:

(1)椭圆  上一点  处的切线方程是  .

(2)过椭圆  外一点  所引两条切线的切点弦方程是  .

(3)椭圆  与直线  相切的条件是  .

55双曲线  的离心率  ,准线到中心的距离为  ,焦点到对应准线的距离(焦准距)  。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:  .

焦半径公式  ,  ,

两焦半径与焦距构成三角形的面积  。

56双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1)若双曲线方程为    渐近线方程:    .

(2)若渐近线方程为        双曲线可设为  .

(3)若双曲线与  有公共渐近线,可设为

(  ,焦点在x轴上,  ,焦点在y轴上).

(4)焦点到渐近线的距离总是  。

57双曲线的切线方程:

(1)双曲线  上一点  处的切线方程是  .

(2)过双曲线  外一点  所引两条切线的切点弦方程是  .

(3)双曲线  与直线  相切的条件是  .

58抛物线  的焦半径公式:

抛物线  焦半径  .

过焦点弦长  .

59二次函数    的图象是抛物线:

(1)顶点坐标为  ;(2)焦点的坐标为  ;

(3)准线方程是  .

60直线与圆锥曲线相交的弦长公式



(弦端点A  ,由方程  消去y得到

  ,  为直线  的倾斜角,  为直线的斜率,  .

61证明直线与平面的平行的思考途径:

(1)转化为直线与平面无公共点;

(2)转化为线线平行;

(3)转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径:

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。

63证明平面与平面的垂直的思考途径:

(1)转化为判断二面角是直二面角;

(2)转化为线面垂直;

(3)转化为两平面的法向量平行。

64向量的直角坐标运算:

设  =  ,  =  则:

(1)  +  =  ;

(2)  -  =  ;

(3)λ  =  (λ∈R);

(4)  ·  =  ;

65夹角公式:

设  =  ,  =  ,则  .

66异面直线间的距离:

  (  是两异面直线,其公垂向量为  ,  是  上任一点,  为  间的距离).

67点  到平面  的距离:

  (  为平面  的法向量,  ,  是  的一条斜线段).

68球的半径是R,则其体积  ,其表面积  .

69球的组合体:

(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体:棱长为  的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高  的  ),外接球的半径为  (正四面体高  的  ).

70分类计数原理(加法原理):  .

分步计数原理(乘法原理):  .

71排列数公式:  =  =  .(  ,  ∈N*,且  ).规定  .

72组合数公式:  =  =  =  (  ∈N*,  ,且  ).

组合数的两个性质:(1)  =  ;(2)  +  =  .规定  .

73二项式定理  ;

二项展开式的通项公式    .

  的展开式的系数关系:

  ;  ;  。

74互斥事件A,B分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).

  个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

75独立事件A,B同时发生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B).

n个独立事件同时发生的概率:P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).

76n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率:

77数学期望:

数学期望的性质

(1)  .(2)若  ~  ,则  .

(3)若  服从几何分布,且  ,则  .

78方差:

标准差:  =  .

方差的性质:

(1)  ;

(2)若  ~  ,则  .

(3)若  服从几何分布,且  ,则  .

方差与期望的关系:  .

79正态分布密度函数:  ,

式中的实数μ,  (  >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.

对于  ,取值小于x的概率:  .



80  在  处的导数(或变化率):

  .

瞬时速度:  .

瞬时加速度:  .

81函数  在点  处的导数的几何意义:

函数  在点  处的导数是曲线  在  处的切线的斜率  ,相应的切线方程是  .

82几种常见函数的导数:

(1)  (C为常数).(2)  .(3)  .

(4)  . (5)  ;  .

(6)  ;  .

83导数的运算法则:

(1)  .(2)  .(3)  .

84判别  是极大(小)值的方法:

当函数  在点  处连续时,

(1)如果在  附近的左侧  ,右侧  ,则  是极大值;

(2)如果在  附近的左侧  ,右侧  ,则  是极小值.

85复数的相等:  .(  )

86复数  的模(或绝对值)  =  =  .

87复平面上的两点间的距离公式:

  (  ,  ).

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程  ,

①若  ,则  ;

②若  ,则  ;

③若  ,它在实数集  内没有实数根;在复数集  内有且仅有两个共轭复数根  .

高中数学公式提升

一、集合、简易逻辑、函数

1.研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,|x|,y},且A=B,则x+y=

2.研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈R},求M∩N;与集合M={(x,y)|y=x2,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}求M∩N的区别。

3.集合A、B,  时,你是否注意到“极端”情况:  或  ;求集合的子集  时是否忘记  .例如:  对一切  恒成立,求a的取植范围,你讨论了a=2的情况了吗?

4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为        如满足条件  的集合M共有多少个

5.解集合问题的基本工具是韦恩图;某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人,表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法?

6.两集合之间的关系。

7.(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B);    ;

8、可以判断真假的语句叫做命题.

逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.

p、q形式的复合命题的真值表:(真且真,同假或假)

p

q

P且q

P或q

































9、命题的四种形式及其相互关系  :

互    逆

互   互

互         为        互

否       逆   逆      否

否       否

否                否

否  互     逆

原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.

10、你对映射的概念了解了吗?映射f:A→B中,A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性,哪几种对应能够成映射?

11、函数的几个重要性质:

①如果函数  对于一切  ,都有  或f(2a-x)=f(x),那么函数  的图象关于直线  对称.

②函数  与函数  的图象关于直线  对称;

函数  与函数  的图象关于直线  对称;

函数  与函数  的图象关于坐标原点对称.

③若奇函数  在区间  上是递增函数,则  在区间  上也是递增函数.

④若偶函数  在区间  上是递增函数,则  在区间  上是递减函数.

⑤函数    的图象是把函数  的图象沿x轴向左平移a个单位得到的;函数  (  的图象是把函数  的图象沿x轴向右平移    个单位得到的;

函数  +a  的图象是把函数  助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数  +a  的图象是把函数  助图象沿y轴向下平移  个单位得到的.

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗?

13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?函数y=  的定义域是;

复合函数的定义域弄清了吗?函数  的定义域是[0,1],求  的定义域.函数  的定义域是[  ],  求函数  的定义域

14、一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗?在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;

15、据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值,作差,判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。

16、函数  的单调区间吗?(该函数在  和  上单调递增;在

和  上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!

17、函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论呀.

18、换底公式及它的变形,你掌握了吗?(  )

19、你还记得对数恒等式吗?(  )

20、“实系数一元二次方程  有实数解”转化为“  ”,你是否注意到必须  ;当a=0时,“方程有解”不能转化为  .若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?

二、三角、不等式

21、三角公式记住了吗?两角和与差的公式________________;二倍角公式:________________;解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,

22、在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?正切函数在整个定义域内是否为单调函数?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

23、在三角中,你知道1等于什么吗?(

  这些统称为1的代换)常数“1”的种种代换有着广泛的应用.(还有同角关系公式:商的关系,倒数关系,平方关系;

诱导公试:奇变偶不变,符号看象限)

24、在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换.(如      等)

25、你还记得三角化简题的要求是什么吗?项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子,一定要算出值来)

26、你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角,异名化同名,高次化低次);你还记得降幂公式吗?cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2

27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

(  )

28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?(  )

29、辅助角公式:  (其中  角所在的象限由a,b的符号确定,  角的值由  确定)在求最值、化简时起着重要作用.

30、三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出他们的单调区、对称轴,取最值时的x值的集合吗?(别忘了k  Z)

三角函数性质要记牢。函数y=  k的图象及性质:

振幅|A|,周期T=  ,若x=x0为此函数的对称轴,则x0是使y取到最值的点,反之亦然,使y取到最值的x的集合为,当  时函数的增区间为,减区间为;当  时要利用诱导公式将  变为大于零后再用上面的结论。

五点作图法:令  依次为  求出x与y,依点  作图

31、三角函数图像变换还记得吗?

平移公(1)如果点P(x,y)按向量  平移至P′(x′,y′),则

(2)曲线f(x,y)=0沿向量  平移后的方程为f(x-h,y-k)=0

32、有关斜三角形的几个结论:(1) 正弦定理:(2) 余弦定理:(3)面积公式

33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围及意义?

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是  .

②直线的倾斜角、  到  的角、  与  的夹角的取值范围依次是  .

34、不等式的解集的规范书写格式是什么?(一般要写成集合的表达式)

35、分式不等式  的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解因式,x的系数变为正值,奇穿偶回)

36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论)

37、利用重要不等式  以及变式  等求函数的最值时,你是否注意到a,b  (或a,b非负),且“等号成立”时的条件,积ab或和a+b其中之一应是定值?(一正二定三相等)

38、  (当且仅当  时,取等号);a、b、c  R,  (当且仅当  时,取等号);

39、在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?(特别是指数和对数的底  或  )讨论完之后,要写出:综上所述,原不等式的解集是…….

40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”

41、对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?(转化为最值问题)

三、数列

42、等差数列中的重要性质:(1)若  ,则  ;(2)  ;

(3)若三数成等差数列,则可设为a-d、a、a+d;若为四数则可设为a-  、a-  、a+  、a+  ;

(4)在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1>0,d<0,解不等式组an≥0an+1≤0可得Sn达最大值时的n的值;当a1<0,d>0,解不等式组an≤0an+1≥0可得Sn达最小值时的n的值;(5).若an,bn是等差数列,Sn,Tn分别为an,bn的前n项和,则  。.(6).若{  }是等差数列,则{  }是等比数列,若{  }是等比数列且  ,则{  }是等差数列.

43、等比数列中的重要性质:(1)若  ,则  ;(2)  ,  ,  成等比数列

44、你是否注意到在应用等比数列求前n项和时,需要分类讨论.(  时,  ;  时,  )

45、等比数列的一个求和公式:设等比数列  的前n项和为  ,公比为  , 则

  .

46、等差数列的一个性质:设  是数列  的前n项和,  为等差数列的充要条件是

  (a,b为常数)其公差是2a.

47、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗?(若  ,其中  是等差数列,  是等比数列,求  的前n项的和)

48、用  求数列的通项公式时,你注意到  了吗?

49、你还记得裂项求和吗?(如  .)

四、排列组合、二项式定理

50、解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合.

51、解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法,还记得什么时候用隔板法?

52、排列数公式是:组合数公式是:排列数与组合数的关系是:

组合数性质:  =    +  =    =



二项式定理:

二项展开式的通项公式:  

五、立体几何

53、有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线//线  线//面  面//面,线⊥线  线⊥面  面⊥面,垂直常用向量来证。

54、作出二面角的平面角主要方法是什么?(定义法、三垂线法)三垂线法:一定平面,二作垂线,三作斜线,射影可见.

55、二面角的求法主要有:解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量

56、求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、等体积变换法、法向量法)

57、你记住三垂线定理及其逆定理了吗?

58、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角,常常与经度及纬度联系在一起,你还记得经度及纬度的含义吗?(经度是面面角;纬度是线面角)

59、你还记得简单多面体的欧拉公式吗?(V+F-E=2,其中V为顶点数,E是棱数,F为面数),棱的两种算法,你还记得吗?(①多面体每面为n边形,则E=  ;②多面体每个顶点出发有m条棱,则E=  )

六、解析几何

60、设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,你是否注意到直线垂直于x轴时,斜率k不存在的情况?(例如:一条直线经过点  ,且被圆  截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程。该题就要注意,不要漏掉x+3=0这一解.)

61、定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及  值可要搞清)

线段的定比分点坐标公式

设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),且  ,则

  中点坐标公式

62、若  ,则△ABC的重心G的坐标是  在利用定比分点解题时,你注意到  了吗?

63、在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

64、直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式.以及各种形式的局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线)

65、对不重合的两条直线  ,  ,有:

  ;  .

66、直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.

67、直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为  ,但不要忘记当a=0时,直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0,也是截距相等.

68、两直线  和  的距离公式d=——————————

69、直线的方向向量还记得吗?直线的方向向量与直线的斜率有何关系?当直线L的方向向量为  =(x0,y0)时,直线斜率k=———————;当直线斜率为k时,直线的方向向量  =—————

70、到角公式及夹角公式———————,何时用?

71、处理直线与圆的位置关系有两种方法:(1)点到直线的距离;(2)直线方程与圆的方程联立,判别式. 一般来说,前者更简捷.

72、处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系.

73、在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质.

74、在利用圆锥曲线统一定义解题时,你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序?两个定义常常结伴而用,有时对我们解题有很大的帮助,有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便。(焦半径公式:椭圆:|PF1|=————;|PF2|=————;双曲线:|PF1|=————;|PF2|=————(其中F1为左焦点F2为右焦点);抛物线:|PF|=|x0|+  )

75、在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零?判别式  的限制.(求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在  下进行).

76、椭圆中,a,b,c的关系为————;离心率e=————;准线方程为————;焦点到相应准线距离为————双曲线中,a,b,c的关系为————;离心率e=————;准线方程为————;焦点到相应准线距离为————

77、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.

78、你知道吗?解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化,特别是一些很不起眼的条件,有时起着关键的作用:如:点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程不要忘,有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法,要记得画图分析哟!

79、你注意到了吗?求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!

80、在解  

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