信号与系统3 :连续系统和离散系统的纽带,香农采样定理

世界上不存在绝对的离散系统,正如辩证唯物主义里面说的,连续是绝对的,离散是相对的(纯属屁话,跟没说一样)。离散的信号通常是对连续信号的采样,这里就不可避免的产生了一些问题:采样后的数字信号能够完全表征原来的连续信号吗(系统亦如此,只不过表达系统的冲击响应跟信号没有区别)?或者说,在采样的过程中信息有没有丢失?要想信息不丢失,需要什么条件?在设计离散的数字系统时跟相对应的连续系统之间是什么关系?如果采样的信号没有丢失信息,如何根据采样的离散信号恢复原来的信号?

所有这些问题,都由Shannon采样定理给出了答案。我们先从离散时间信号的傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)。离散信号的傅里叶变换不是随便定义的,它的定义与连续信号的傅里叶变换有着密切的联系,实际上,离散Fourier变换(DTFT)是从连续傅里叶变换中推导出来的。

1. 离散时间的Fourier变换

一个离散的数字信号,可以放在时间轴上,用一组位移的的冲击函数的叠加来表示,构成离散信号的连续时间表示。听起来,很绕口。其实就是用一个函数来表示这个离散的数字信号,如下图所示:



虚线表示的是被采样的连续信号,用x(t)表示,实线为采样后的离散信号,用x1(t)表示。数字信号{x(nTs)}为一系列的采样值。很显然,这组离散的数字信号可以看作是若干个“位移”的冲击函数与该位置数字信号相乘后的叠加:



上式实际上就是用连续时间来表示离散的信号,因此又称x1(t)为连续时间的离散信号(Continuous Time Discrete signal)。然后代入连续傅里叶变换定义,就可以得到离散时间的傅里叶变换(DTFT)的定义:



通常对于一组数字信号,我们可以当它的采样间隔是1,这成为归一化的频率。如果采样频率不是1,只需将w换成wTs即可,即令w'=wTs。

因此,离散信号{x(n)}的DTFT定义为:



由此可见,离散系统的傅里叶变换是从连续系统的傅里叶变换推导而来的。

那么连续系统和离散系统之间到底是什么关系?

2. 连续信号和离散信号在频域内关系

利用时域内的卷积等价于频域内的相乘,频域内的卷积等价于时域内的相乘这个特点,很容易证明出,离散信号的频谱是被采样的连续信号频谱的“周期延拓”。这个证明很简单,离散信号在时域内又可以看做是连续信号和一系列间隔为Ts的冲击序列的乘积。

根据时域内相乘等价于频域内卷积的特点,很容易证明出离散信号与连续信号的关系为:



其中,Ns=1/Ts为采样频率。离散信号的频谱与连续信号的频谱如下图所示:



图中,横坐标为角频率,数值乘以pi(归一化采样频率,如果不归一化,则在-1*pi和1*pi处则为Ns*pi)。实线是连续信号的频谱,而虚线(向两边无限周期延拓)为离散信号的频谱。可见,如果连续信号的带宽超过了[-pi, pi](归一化采样频率,如果不归一化为[-Ns*pi, Ns*pi],后面我不再罗嗦了),变为数字信号后,以2*pi为周期延拓的时候,产生了频率混叠,把原来的连续信号在重叠的频率处的信息给丢失了。因此,为了保证信息不丢失,条件是信号带限于[-Ns*pi,Ns*pi]。因此信号的最高频率fH

我们通常只关注信号采样频率大于2倍的最高频率的事实,而忽略了另一个更有用的信息:离散信号的频谱是其采样的连续信号的周期延拓。这个信息对于我们构造数字滤波器有至关重要的意义。因为我们构造数字滤波器通常先构造满足要求的连续滤波器,然后将其频谱周期延拓,就可以得到离散滤波器的频率响应。可是如何从离散滤波器的频谱得到滤波器的单位脉冲响应呢?这需要用到Poission求和公式。

Poission求和公式实际上是傅里叶级数的另外一种形式。傅里叶级数是把周期的时域信号转化为若干正弦函数的叠加:



比较一下离散信号的傅里叶变换,可见傅里叶级数和DTFT是互相对偶的关系。时域内的周期对应于频域内的离散,而时域内的离散对应于频域的周期。所以,当已知一个连续系统的冲击响应频谱时(通常是按照我们的要求设计的),将其周期延拓就得到了相应的离散系统的频谱。然后,转化为傅里叶系数即为其单位脉冲响应(俗称滤波器系数)。Poission求和公式:
信号与系统(3):连续系统和离散系统的纽带,香农采样定理



可以用一个Hilbert滤波器的例子。Hilbert变换,其实就是把信号位移了90度,幅频特性不变。其连续系统的响应:



大家思考一下,为什么在频率的负半轴为-j? 其实道理很简单,在时域内是实信号,频域内相频特性必然是斜对称的。要想得到数字滤波器,剩下的问题大家自己就能搞定了,只需将其看作是周期函数的一个周期,代入到Poission求和公式中就能得到其滤波器的响应了。但是,没有那么简单,仔细想想,其滤波器的长度是有讲究的。为什么?同学们自己思考一下。

说到这里,香农定理没有结束,香农定理作为伟大的定理,香农作为信息论的创始人,不可能那么肤浅。还有一个问题没搞定:如何回复原来的信号?回复原信号的方法是唯一的吗?由此,我们推广了采样定理,将信号分析推进到了函数空间的高度,多分辨分析就源于此,这竟然是通往小波分析的路径之一(通往小波分析的路径还有,从Gabor变换到小波;还有从Fourier级数到小波级数。殊途同归啊)。请听下回。

  

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