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Ⅰ总体设计 一、本章知识结构框图 二、学习目标 1.理解不等式的性质及其证明。 2.掌握某些简单不等式(一元二次不等式、分式不等式和含绝对值不等式)的解法。 3.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 4.掌握用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。 5.理解不等式及其几何意义。 6.通过不等式的一些应用，使学生进一步理解在现实世界中的量之间，不等是普遍的、绝对的，相等则是局部的、相对的，从而对学生进行辩证唯物主义观点的教育。 7.恰当应用信息技术对一些重要不等式的几何背景进行探究，从图形的、解析的、数据的等多种思维形式研究不等关系，重视形象思维与抽象思维的结合，渗透数形结合思想。 三、内容编排 本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，和高一教材第一章学习了集合与命题的基础上，研究不等式的性质，一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式等一些不等式的解法并学习不等式的证明。 不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常用到不等式的知识，不等式在解决各类实际问题时也有广泛的应用。可见，不等式在中学数学里占有重要地位，是进一步学习数学的基础知识。 本章教材内容分为五部分.第一部分学习不等式的基本性质.首先通过给出比较两个实数大小的方法，在这基础上，给出了不等式的性质，一共讲了3条性质，并给出了证明。又通过例题和练习题给出了不等式的其他性质，共有8条，它们都可由这三条性质推导出来.第二部分学习介绍一元二次不等式的解法.并在此基础上介绍了其他不等式（分式不等式、含绝对值的不等式以及无理不等式和高次不等式）的解法。第三部分讲算术平均数与几何平均数.并通过几个例题，说明这两个基本不等式在解决数学问题和实际问题中的应用.第四部分是不等式的证明.通过七个例题，分别介绍了证明不等式的三种基本方法----比较法、分析法和综合法。 本章内容中，不等式的解法是重点。不等式的性质及其证明和不等式的证明是难点。不等式的证明是拓展内容，教学中要控制难度。掌握不等式的性质是学好本章的关键. 四、课时分配 本章教学时间约需20课时，具体分配如下（仅供参考）： 2.1不等式的基本性质约4课时 2.2一元二次不等式的解法约4课时 2.3其他不等式的解法约4课时 2.4基本不等式及其应用约3课时 2.5不等式的证明（拓展内容）约3课时 本章小结约2课时 五、教法建议 1.2.1不等式的基本性质这一节建议安排复习一元一次不等式和不等式组的解法，补充含字母系数的不等式解法。另外不等式的区间表示建议在复习一元一次不等式和不等式组的解法时介绍给学生。 2.2.2一元二次不等式的解法和2.3其他不等式的解法的教学，重点是一元二次不等式的解法，教学中要对一元二次不等式多辨析。如，mx2+m(m-2)x+3>0是什么不等式？学生往往误以为是二次不等式。对二次不等式的解法要突出数形结合的思想方法，让学生感悟到二次函数，二次方程和二次不等式之间的联系。对于其他不等式的解法着重让学生领悟解不等式与解方程的区别与联系，可以从命题，充分条件，必要条件等角度进行分析。 3.重视应用题的教学。数学知识充实际问题中来，而后应用于实际问题。这是本教材的一大特色。如，一元二次不等式概念的引入，不等式应用题举例和探究与实践等。 4.对于不等式的证明这部分拓展内容的教学建议还是要教的，但要控制难度，绝对不要超出课本的难度。无理不等式和高次不等式的解法也是一样的处理。 5.信息技术在不等式这部分内容的教学中可以发挥一定的辅助作用，教师应该恰当运用信息技术搞好与数学教学的整合。 Ⅱ教材分析 引言 教科书从现实世界中的不等量关系，引出了本章内容，也说明了不等式的知识可用来解决一些实际问题.然后，引言概括说明了本章的主要内容，使学生初步了解全章内容的概貌。最后，引言指出了不等式在数学学科中的地位和作用，说明了学习本章知识的重要性。 2.1不等式的基本性质 1.本节知识结构 2.目的要求 掌握比较两个实数不等关系的方法，理解不等式的基本性质，并初步理解不等式的证明方法，能应用不等式的基本性质进行正确的推理。 3.教学任务分析 1.本小节内容包括比较实数大小的方法，不等式的基本性质及其证明，和含字母系数的一元一次不等式解的讨论。 2.在讲对于任意两个实数a，b，都有 时，应指出上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质，右式反映的则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据.因此，在教学时必须高度重视. 比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要），而这又必然归结到实数运算的符号法则.因此，实数运算的符号法则是学习不等式的基础，可以根据实际情况作简要的复习. 3.性质1（传递性），学生是容易理解的.但对它们进行证明，却是比较困难的。一是学生可能认为没有必要进行证明，二是学生可能不知道如何证明。为了引起重视，养成学生用逻辑推理进行数学证明的习惯，教学时可向学生提出如下问题：“如果。a＞b,谁大？”，针对学生回答中可能出现的错误，来说明证明的必要性。然后，可以让学生回顾一下实数的运算性质与大小顺序之间的关系，以及实数运算的符号法则，最后再引导学生进行证明。这里要使学生明确证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则，要引导学生说清每一步推理的理由和关键性步骤。 4.性质2及例1，学生也是容易理解的。在这里应该着重向学生指出： ⑴性质2是不等式移项法则的基础； ⑵例1是同向不等式相加法则的依据。它是连续两次运用性质2，然后由性质1证出的。但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论，这点可以举出反例向学生说明； ⑶例1可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向； 此外，性质2的逆命题也正确。 5.性质3有两种不同的结果，学生不易理解，使用时容易出错。讲解时，可先用具体数，让学生分析比较，得出结论后，再给予一般的证明，对于性质3还必须注意： ⑴其证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的； ⑵要强调C的符号，因为符号不同，结论也不同； ⑶其中a，b可以是实数，也可以是式子，不要在强调c的符号时，又使学生误解，从而限制a，b，缩小了定理的应用范围。 6.练习2.1（1）第3题，说明将两边都是正数的两个同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。教学时要强调指出： ⑴所有的字母都表示正数，如果仅有a＞b，c＞d（而不是a＞b＞0,c＞d＞0），就推不出ac＞bd的结论； ⑵由两个异向不等式，例如a＞b＞o，0＜c＜d，也推不出ac＞bd的结论。 这两点可以举出反例向学生说明. 练习2.1（1）第4题，说明两个都是正数，则大的倒数反而小。 7.例2是介绍比较两个实数大小的方法----作差比较法。教学时可以多补充一些例题，然后让学生归纳“作差比较法”的步骤。 例3是介绍含字母系数的一元一次不等式的解法，这里着重讲解清楚为什么要讨论，讨论的依据是什么（性质3）。 8.例4的证明主要是为了得出一般的结论（不等式乘方性质），这个结论应注意n为大于1的正整数这一条件.例如，当a＞b＞0，n＝－1时，a-1＞b-1不成立.例5的证明用的是反证法.因为＞的反面有两种情形，即＜和=，所以不能仅仅否定了＜，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”，把这两种情形都否定才能得出＞正确的结论。这也是本章难点之一，教师在讲解清楚后可以作适当的归纳总结，但不宜对反证法进行加深和补充。 9.例1和例4和例5以及练习2.1（1）的3，4两题是用不等式的性质及其推论来证明的。这可以使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础。 讲解完这些例练题后，应向学生指出：这些例练题都标以黑体字，以后就可以利用它们来证明不等式。 10.在不等式性质的教学中，还要注意将不等式的性质与等式的性质进行类比，特别要指出它们之间的区别，这样可避免解题中的一些错误。 不等式性质与等式性质的不同点主要发生在与数相乘（除）时，不等式两边所乘（除）的数的符号不同，结论是不同的。应让学生理解这些变化。 2.2一元二次不等式的解法 1.本小节是先通过实际问题----刹车距离，给出了一元二次不等式的定义。接着研究一个较简单的一元二次不等式的解。这个不等式的解，教材上给出了两种方法。实践表明，第一种方法学生是可以自己想到的，教学中可以让学生思考作答，教师不必讲太多。第二种方法学生一般是想不到的，教师可以从研究已学过的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，在学生初步了解它们之间具有内在联系的基础上，再通过利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法.这部分内容的主要基础是一元二次方程和二次函数，它作为高中数学的重要基础知识和基本基本技能，对今后大量的运算和推理将起到至关重要的作用. 2.本小节的目的要求是掌握一元二次不等式的解法.要掌握一元二次不等式的解法，主要就是要掌握利用二次函数图象寻找一元二次不等式解集的方法，而这又需先了解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.而要建立这三者之间的联系，则需要学生能利用数形结合的思想去分析和思考，这无疑将成为学生学习本节内容的最大困难.解决这一困难，一方面可在初中已初步建立起的方程与函数思想的基础上，先建立已学过的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，再建立一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；另一方面可让学生在图形计算器或计算机上直观地看到，函数图象与方程的解、不等式的解集之间的关系. 3.本小节的内容重点是围绕一元二次不等式的解法展开，突出了数形结合思想的渗透，从前面的分析可知，突破重点的关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系: 先在二次函数y＝x2－2x－3上任取一个点，并在图象上移动此点，来观察该点坐标（x，y）的变化，从而得出： 当x＝3，或x＝-1时，y＝0，即x2－2x－3＝0； 当x＜－1，或x＞3时，y＞0，即x2－2x－3＞0； 当－1＜x＜3时，y＜0，即x2－2x－3＜0. 接下来，将函数y＝x2－2x－3的图象向上平移，在平移的过程中让学生观察，图象与x轴的相关位置关系在发生着变化，从二者有两个公共点，变为只有一个公共点，最后变为无公共点.在此变化过程中，函数对应的方程的解与不等式的解集也都在发生着变化.老师可引导学生，先根据函数图象与x轴的几种位置关系，学会找出对应的几个具体的方程的解和不等式的解集；然后再由特殊到一般归纳出三种情况，根据二次函数的图象和对应的一元二次方程的解，来寻找相应的一元二次不等式的解集。 在这里，教材将抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴的三种相关位置，同一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的判别式Δ＝b2－4ac（Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0＝的三种取值情况联系在一起.这样处理，由于学生对用判别式判断一元二次方程根的情况已有了一定的认知基础，在此基础上，来认识抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴的三种相关位置，进而根据二次函数的图象和对应的一元二次方程的解，来寻找相应的一元二次不等式的解集，学生的认识就容易得到逐步发展；另一方面利用计算机在函数图象向上平移的同时，将二者联系起来，是向学生渗透数形结合思想的一个有利时机。 7.因为a＜0的情况可以转化为a＞0的情况，所以教材只讨论了a＞0的情况.在教学中，老师也可以只讨论a＞0的情况，a＜0的情况，可以让学生自行分析。 8.可以结合教材中的例1～例4，指出解一元二次不等式的一般步骤.先把不等式化成ax2＋bx＋c＞0（或＜0＝（a＞0），然后作出相关函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象，再解对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0），最后，根据一元二次方程的根，结合函数图象和不等号的方向，写出不等式的解集。另外对于区间表示不等式的解建议在2.1复习一元一次不等式和不等式组时介绍。 9.本小节的主要目的是熟练掌握一元二次不等式的解法，因此教师可适当补充一些练习和习题，加强一元二次不等式解法的训练，务必使学生能熟练的求解一元二次不等式。 10.例6、例7是不等式的应用题，讲解中着重数学模型（不等式）的建立，并且要学生注意应用问题作答的一般要求。 11.例8和练习2.2（3）中的第3题都是不等式恒成立问题，这两个题由于都是一元二次不等式，因此可直接利用二次函数的图像得到。对于练习2.2（3）中的第3题教师可以追问去掉“一元二次”四个字后，k又取那些值呢？这是学生易错之处。 2.3其他不等式的解法 分式不等式的解法。教材也是通过一个实际问题来引入分式不等式，接着通过例1介绍分式不等式的两种基本解法。教学中，重点要分析清楚解分式不等式和解分式方程的相同处（化为整式）和不同点（方程对角乘直接去分母，而分式不等式是通过化一边为零然后转化为不等式组或整式不等式的）。例2是分式不等式的应用，例3说明解分式不等式时要根据条件灵活地运用性质3。 含绝对值的不等式的解法。在复习了绝对值的概念和几何意义后，直接利用绝对值的几何意义得出了｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解。通过例4、例5和例6介绍了｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型的解的应用。教学中要让学生明白，解含有绝对值得不等式的方法是利用绝对值的意义将它转化为不含绝对值得不等式，再求解。教师可补充类似｜x-1｜<｜2x-5｜这样的不等式。教材中的思考题：｜x+1｜+｜x-2｜>5让学有余力的学生思考就可以了，这个内容一般不需要加深。练习中的打*号题也一样处理。另外｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解对于a<0和a=0时其实也是成立的，教师可以让学生做一些研究。这个结论有助于求解类似｜x+1｜<x-1的不等式。 无理不等式的解法（拓展内容）。按课程标准规定，这是理科内容，因此在高一可以作为拓展向学生介绍一下。重点讲清楚无理不等式如何转化为有理不等式，它和解无理方程又有什么区别和联系。 某些高次不等式的解法（*拓展内容）。按课程标准规定，打*的拓展内容可以不教，但是我还是建议向学生介绍一下数轴表根法。从我们的教学情况看学生还是容易接受的。 2.4基本不等式及其应用 1.本节知识结构 2.目的要求 1）利用信息技术捕捉学生思维的切入点，理解两个实数的平方和不小于它们之积的两倍的几何解释及其证明。 2）熟练掌握算术几何平均数不等式在解决数学问题和实际问题中的应用。 3.通过算术几何平均数不等式探究与应用，培养学生的数学思维能力和数学意识。 4.结合数学史恰当的进行爱国主义教育。 3.教学任务分析 1）本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用. 2）在公式a2＋b2≥2ab以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点： ⑴a2＋b2≥2ab和≥成立的条件是不同的，前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数。 ⑵这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘＝’号”这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义： 当a＝b时取等号，其含义就是a＝b时，这两个不等式可以取等号；仅当a＝b时取等号，其含义就是这两个不等式取等号时，a＝b一定成立。 综合起来，其含义就是：a＝b是这两个不等式取等号的充要条件。 3）当用基本不等式证明不等式时（教材的例2，3，4），应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。 4）利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值。（教材的例1，5） 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点： ⑴函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数。 ⑵函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值. 以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意. 5）探究与实践。这个内容是本教材的一大特色，教师应利用这个内容引导学生进行探究性学习。这里的课题是----最大容积问题。教师可以让学生动动手，再借助图形计算器进行猜测，证明。通过课题的研究，并不是要学生学会三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个不等式及其应用，重点是培养学生的探究创新能力。 2.5不等式的证明（拓展内容） 1.本节知识结构 2.目的要求 1）掌握不等式的证明方法，培养学生数学思维的严谨性、灵活性、深刻性。 2）在不等式证明过程中，注意渗透等价转化、分类讨论等数学思想，提高分析问题解决问题能力。 3）对于经过证明了的不等式的几何背景通过恰当的数学实验加以验证，用以强化数形结合思想的形成 3.教学任务分析 1）这一小节内容是拓展内容，是理科内容，是本章的难点.证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明的方法也就灵活多样，具体问题具体分析是证明不等式的精髓.本小节教材通过七个例题，分别介绍了证明不等式最常用的方法----比较法、综合法、分析法。 2）教材首先指出了比较法的依据，接着通过二个例题介绍了用比较法证明不等式的具体步骤.在教学时，应强调： ⑴在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法。比较法是利用不等式两边的差是正数或负数来证明不等式，因而其应用非常广泛。在这之前，比较两个数或式子的大小，证明不等式的性质等，都用过这种方法。在证明基本不等式时也用过这种方法.因此，要求学生熟练掌握。 ⑵不等式两边的差的符号是正或负，一般必须经过变形后，才能判断。在这里，变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。至于怎样变形，教师可多做些示范，有时把差变形为一个常数（例1），有时用配方法（例2），有的用通分的方法，有的用因式分解法等。能够判断出差的符号是正或负即可. （3）图象观察法将对学生对枯燥的不等式有一个形象地认识，有益于学生兴趣的培养；数据推测将有助于学生归纳总结和预见能力的培养（例2）。 3）分析法也是证明不等式时一种常用的基本方法（例3，4，5）。当证题不知从何人手时，有时可以运用分析法而获得解决。特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效。另外对于恒等式的证明，也同样可以运用。 用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是： 为了证明命题B为真， 这只需证明命题B；为真，从而有…… 这只需证明命题B。为真，从而又有 这只需证明命题A为真. 而已知A为真，故B必真. 可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。 4）有时，我证明不等式，也可根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。这就是用综合法来证明不等式（例6，7），在2.l节中证明不等式的性质，第2.4节中证明两个正数的算术平均数与几何平均数的定理时，实际上已用过这种方法。综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。 5）一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易人手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。 证明不等式的方法，教材只介绍了三种基本方法。教学中，主要应着眼于培养学生的能力，使学生能针对具体问题进行具体分析，灵活地运用各种证法。对于这几种证明方法，只是为了教学的需要，才把它们分开来讲。在运用时，不仅可以根据实际情况灵活选择，而且必要时，可以并且应该综合运用它们去证明同一个问题。 本章小结 1.小节与复习分为三个部分：第一部分概括了本章学过的主要内容；第二部分分别给出了本章的知识结构框图；第三部分给出了二组复习题。 2.复习本章时，应与以前学过的知识（如初一学过的不等式的基本性质，解一元一次不等式与一元一次不等式组，联系起来进行，这样才能使学生对不等式有较完整的认识。 |
