爱华网把六个苹果放进5个抽屉，有多少种放法？
据说这是小学四年级的奥数题。小时候参加过不同级别的奥数竞赛，现在仍然能感觉到那些题目及解答的巧思妙想。但是随着学习的深入，就会慢慢发现当初是靠“奇思”解决的问题，逐渐在数学体系面前成为普通的推理，例如利用光行最速原理解决韩信信号兵问题，学了微积分，就知道不过是简单的单约束条件的优化问题。同样这放苹果的问题，就属于数学的一个分支：这就是组合数学。英文叫做：Combinatorics。组合数学可以看作一门相对独立的学科，也可以看作离散数学（计算机科学的基础）的分支，因为它是研究离散对象的，研究一定条件的组态（集合）的构造，计数分类等相关问题。
下面我们把这个放苹果问题进行泛化（古典组合数学）。如果苹果是可以区别的，我们可以把他们想象成写着A,B,C,D,E的卡片，然后面对从左到右的5个抽屉，有多少种排列方法？组合数学的第一个思想就是元素分析，即对任何一个卡片进行分析。
对于A这个卡片，它有多少种放法？显然有5种。同样对于任何一个卡片都有5种方法，并且前一个卡片的放法不影响后面的（用概率来说就是独立的事件）。所以，有5的6次方中放法。于是我们有，对于任意的可区分的M个苹果，面对N个抽屉，都有N^M种方法。
现在如果苹果部可区分，比如是乒乓球，这时候要注意，任何相同数量的乒乓球放到同一个抽屉，都是相同效果的，或者用组合数学的语言就是，它们的排列的结构的都是相同的，这个时候就是组合。排列的标准计算是P(M，N）,是对M个元素拿N个出来进行排列有多少种排列法；组合的标准计算是C(M,N)，是从M个元素拿出N个来有多少种可能。实际应用时候根据情况来使用。
仔细想一下就会知道，这种情况下放苹果，其实不同放法之间的区别就是抽屉里面苹果数量的变化，而和到底哪些苹果放进去没有关系。所以我们用一个更一般的模型代替：
X1+X2+X3+X4+X5=6
这里X1,...X5都是大于等于0小于等于6的整数。于是我们就是要找到上述模型的整数解有多少组（这是组合数学的标准模型）。
古典组合数学的另外一个思想就是整体分割的思想，构造一个等价于原问题的整体集合，然后进行等价分割获得结果。
于是，我们构造这样一个模型，用10个元素（5+6-1）构造出一个原始集合，然后再此集合中取四个（使10-4=6），换句话说这就把10个元素分成了5个部分，然后每个部分所含元素的数量就是X1,X2,X3,X4,X5的知。显然这时候可能组数为C(10,4)。
任意取四个满足限制条件X1...X5都在0，6之间，同时我们模型的任意划分显然是X1+...+X5=6的解。而任意X1+...+X5=6的解，也显然对应我们的一个划分，于是此解是所求。
一般的，对于不可分的M个物体，放到N个抽屉，其解为C（M+N-1，N-1）。
