爱华网余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。
基本信息
中文名称
余弦定理
外文名称
cos
目录
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1 基本简介
2 数学应用
2.1 求边
2.2 求角
3 定理证明
3.1 平面向量证法
3.2 平面几何证法
4 相关应用
1 基本简介
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。高中阶段，余弦定理是比较重要的数学公式。
余弦定理
如图所示，△ABC，余弦定理可表示为：
a^2=b^2+c^2--2bc cos A,
同理，也可描述为：
b^2=a^2+c^2--2ac cos B,
c^2=a^2+b^2--2ab cos C
变式：
2a=2b+2c-2bc cos A==>2a=2(b+c-bc cos A)——a=b+c-bc co sA
其他同理。
cos A=b^2+c^2-a^2/2bc
其他同理。
2 数学应用
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
2.1 求边
余弦定理公式可变换为以下形式：
如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
2.2 求角
余弦定理公式可变换为以下形式：
因为余弦函数在 上的单调性，可以得到：
因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3 定理证明
3.1 平面向量证法
∵如图，有 a+ b= c (平行四边形定则：两个邻边之间的 对角线代表两个邻边大小）∴ c· c=(a+ b)·( a+ b)
∴ c^2= a· a+2 a· b+ b· b∴ c^2= a^2+ b^2+2| a|| b| Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）
又∵c os(π-θ)=-Cosθ
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|c osθ（注意：这里用到了 三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b* CosC
即 c osC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的c osC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是将c osC移到左边表示一下。
3.2 平面几何证法
在任意△ABC中 余弦定理
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据 勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2
b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2
b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB
begin{displaymath} cosB=(c2+a2b2)～2*a*c end{displaymath}
()
4 相关应用
在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话：“向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。” “当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。 ”同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。
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