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秦九韶的父亲秦季槱，曾任南宋秘书少监兼国史院编修。秦九韶早年随父从官，他“性极机巧”，聪颖好学，又有机会读到国家馆藏书籍，学识大进。他爱好广泛，《畴人传》说他“星象、音律、算术以及营造等事，无不精究”，但他最爱好的还是数学。为深研数学，他不仅向太史局(主管天文历法的机构)的官员学习天文历法，据传他还去向隐士进行过学习。
宋理宗淳祐七年(1247年)，经过长期积累和苦心钻研的秦九韶，终于完成了划时代的数学名著《数书九章》(又名《数学九章》)。该书共18卷，分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易等九大类，每类用9个例题(全书共81题)来阐明各种算法。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有创造，而书中最突出的成就是“大衍求一术”和高次方程的数值解法“正负开方术”，是具有世界意义的成就。
“大衍求一术”即一次联立同余式解法。秦九韶把在他之前的中国古代历法推算上的“上元积年”算法与《孙子算经》中的“物不知其数”题的解法联系起来，进一步阐述了整数论中一次同余式问题的解法，并与《周易》中的“大衍之数”相附会，写出了“大衍求一术”。他系统地介绍了这种计算方法，即：三三数之余数乘70，五五数之余数乘21，七七数之余数乘15，三数相加，减去105的倍数，即得所求的数。后来有人把秦九韶的这个算法编成歌句：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。”秦九韶的“大衍求一术”算法系统地指出了求解一次同余组的一般计算步骤，正确而又严密。秦九韶在《数书九章》中用大量的例题，如“古历会积”、“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，广泛应用“大衍求一术”来解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题，充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧。
秦九韶的“大衍求一术”算法在数学史上有其光辉的地位。在西方，直到18世纪中叶和19世纪初，数学家欧拉(1707年～1789年)和高斯(1777年～1855年)等人才对联立一次同余式方程进行了较为深入的研究，并得到了与秦九韶的“大衍求一术”相同的结果。但这已经是五百年以后的事了。正因为如此，欧美的整数论者都十分推崇秦九韶的伟大贡献，并把他的“大衍求一术”称为“中国的剩余定理”。
北宋的贾宪曾提出增乘开方法，但他用此方法只解决了二项方程。在秦九韶以前包括贾宪在内的数学家认为“实”是已知量，当然是正数，相当于常数项在等式的右端。秦九韶经过大量的研究后，在《数书九章》中认为，“实”最好和未知数放在一起，正负相消，组成开方式，这样就可以把增乘开方的随乘随加贯彻到底，因此他规定“实常为负”。以这样的开方式去计算方程，其中的系数可正可负，可以是整数也可以是小数，有的方程高达十次。即是说，秦九韶的方法可以求解任何数学方程的正根，他自己把这种方法称为“正负开方术”。这种高程数值解法实际是对贾宪“增乘开方法”的发展，把仅能解二项方程的方法推广成为任意高程方程的数值解法。秦九韶在解题中算法的特点还是随乘随加的方法进行的减根变化，这和现代求数学方程正根的方法基本一致。所以在现代计算数学中求代数方程的数值解的时候，人们把所流行的那种极其简便的计算方法称为“秦九韶程序”。
秦九韶的“正负开方术”是中国数学史上的一大重要成就，这在世界数学史上也是最早的。在欧洲，直到19世纪初叶，才由意大利数学家鲁斐尼(1765年～1828年)于1804年、英国数学家霍纳(1786年～1837年)于1819年提出来，欧洲人将此称为“鲁斐尼---霍纳方法”。这一方法与秦九韶提出的“正负开方术”十分类似，但足足晚了六百年。正因为如此，早就有学者认为，欧洲的“鲁斐尼---霍纳方法”理应“改称‘秦九韶方法”’。
遗憾的是，秦九韶所创造的“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。明中叶以后几乎失传。一直到清代，“大衍求一术”才又重新被发掘出来，引起了如张敦仁、李锐、骆腾风、黄宗宪等许多学者的兴趣。他们对“大衍求一术”进行了解释、改进和简化，其中黄宗宪的《求一术通解》还对某些情形给出了更加简明的方法，但是时代已是晚清。
不过，当秦九韶的“大衍求一术”传到欧洲后，却引起了欧洲学者的兴趣和重视。德国著名数学家康托(1829年～1920年)高度评价了“大衍术”，称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。直到今天，“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣。1973年，美国出版的一部由比利时人力勃雷希撰写的数学史专著《十三世纪的中国数学》中，系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就，在评论秦九韶的贡献时说：“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早，考虑到这一点，我们就会看到，萨顿(美国著名科学史家)称秦九韶为‘他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一’，是毫不夸张的。”
