为什么说圆周率是无限不循环小数? 无限循环小数是分数吗

π是无理数。不能通过测量的方法来证明的方法得出,一是测量的结果总是近似的,测量的读数只可能是有理数,两个有理数的比肯定是有理数。计算π的值的方法要用级数,需要学习了“数学分析”。《初等数论》(闵、严版)P167-169
为什么说圆周率是无限不循环小数? 无限循环小数是分数吗
下面是证明:
假设π是有理数,则π=a/b,(a,b为自然数)
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得:
0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时,,在[0,π]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx<[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1…………(1)
又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式,且各项的次数都不小于n,故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数,因此,F(x)和F(π)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有:
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此处上限为∏,下限为0)
=F(π)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]区间上的积分为整数,这与(1)式矛盾。所以π不是有理数,又它是实数,故π是无理数

  

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