爱华网历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。乍一看牛顿问题，好像是归一问题，其实不然，归一问题的总量是不变的，而牛顿问题的关键之处是牧场上的草在不断地生长着，草的总量在变化。
主要类型：
1、求时间 2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。
基本思路：
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶
(1)草的生长速度
对应的牛头数×吃的多天数-相应的牛头数×吃的少天数÷(吃的多天数-吃的少天数);
(2)原有草量
牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
(3)吃的天数
原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数
原有草量÷吃的天数+草的生长速度
第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。”
一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
(3)1天新长的草为：(207-162)÷(9-6)=15
(4)牧场上原有的草为：27×6-15×6=72
(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：
72÷(21-15)=72÷6=12(天)
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种：公式解法
有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草? (2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛?
解答：
1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
原有草量：21×8-12×8=72(份)
16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
所以最多只能放12头牛。
有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
1.因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
2.因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
所以45－30＝15天，每亩面积长：84－60＝24份
所以，每亩面积每天长：24÷15＝1.6份
所以，根据1：每亩原有草量：60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长：1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
解法一：
设每头牛每天的吃草量为1，
则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；
每亩45天的总草量为：28*45/15=84；
那么每亩每天的新生 长草量为(84-60)/(45-30)=1.6
每亩原有草量为60-1.6*30=12，
那么24亩原有草量为12*24=288，
24亩80天新长草 量为24*1.6*80=3072，
24亩80天共有草量3072+288=3360，
所有3360/80=42(头)
解法二：
10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，
根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量
(28*45-30*30)/(45-30)=24；
15亩原有草量：1260-24*45=180；
15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩
需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头
牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.
牛吃草问题和行程问题中的追及问题类似。下面再给出几例牛吃草及其相关问题．
例1、牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？
【分析】解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：
（1）某个时间期限前草场上原有的草量；
（2）这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。
因此，必须设法找出这两个量来。
23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量。这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草量。
需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？
用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量即为牧场原有的草量。
所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量。
牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？
解决这个问题相当于把21头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21－15=6头牛去吃原有的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。
方法二：解决此类问题列方程会比较简单。用到一个公式：
草场草量＝（牛数－每天长草量）×天数。
以此题为例：
设每头牛每周的吃草量为“1”，草的生长速度为x，则：
（27-x）×6=（23-x）×9，解得：x=15。
草场上原有草：
（23-15）×9=72.
可供21头牛吃；72÷（21-15）=12周。
例2、例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
【分析】虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”
进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，
则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），
3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。
两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，
所以每分钟的进水量是(16-15)/3=1/3(份)
假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:
(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份)
解:设出水管每分钟排出得水为1份,
每分钟进水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份)
进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)
答：出水管比进水管晚开40分钟。
【附加题】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【分析】总水量随漏水的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的。船内原有的水量也是不变的量。如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30。船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。
每小时的漏水量为（40－30）÷（8－3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。
船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量－3小时漏进水量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。
所以船内原有水量为30－2×3=24。如果这些水要2小时淘完，则需24÷2=12人。
但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋2=14人。
例3、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
【分析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，则：
（10×20-15×10）÷（20-10）=x，
解得：x=5， 原有草：（10-5）×20=100.
可供100÷4+5=30头牛吃4天。
【附】
1.有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完；21头牛8天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？
解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天生长出(21×8-24×6)÷（8-6)=12份，
如果放牧12头牛正好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧12头牛。
2. 一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？
解析：出水口每小时漏水为(8×15-5×20)÷（20-15)=4份水，
原来有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小时漏完。
例4、12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生长草量相等）？
【分析】12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供12×28÷10=33.6头牛吃一天。21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原有的草加上63天新生长的草可供63×21÷30=44.1头牛吃一天。
1公亩一天新生长的牧草可供(44.1－33.6)÷(63－28) = 0.3头牛吃一天，
1公亩原有的牧草可供33.6－0.3×28=25.2头牛吃一天，
72公亩原有牧草可供72×25.2÷126=14.4头牛吃126天，
72公亩每天新生长的草量可供72×0.3=21.6头牛吃一天，
所以72公亩牧场上的牧草可供14.4＋21.6=36头牛吃126天.
例5、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
【分析】例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。
求出最小公倍数［5，6，8］＝120。 （5=5，6=2*3, 8=2*4, 6和8有一个公约数2，写成相乘的形式只出现一次即5*2*3*4=120，所以最小公倍数为120。）
因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。
因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。
120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”
这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有
（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。
草地原有草（264—180）×10＝840（份）。
可供285头牛吃840÷（285—180）＝8天。
例6、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
【分析】与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为“1”。
20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），
说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。
由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，
所以牧场原有草（20＋10）×5＝150（份）。
由 150÷10＝15，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，
所以，可供5头牛吃10天。
【变化题】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？
解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天减少
(20×5-16×6)÷（6-5)=4份草，
原来牧场上有20×5+5×4=120份草，
故可供11头牛吃120÷（11+4)=8天。
例7、一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
【分析】
由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，
故60只羊每天的吃草量和15头牛每天的吃草量相等，
80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。
草地原有草量与20天新生长草量可供16×20=320头牛吃一天，
80只羊12天的吃草量可供80÷4×12=240头牛吃一天，
每天新生长的草量够（320－240）÷（20－12）=10头牛吃一天，
原有草量可够320－20×10=120头牛吃一天，
原有草量可供10头牛与60只羊吃
120÷（60÷4＋10－10）=8天。
例8、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
【分析】总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。
男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），
女孩6分钟走了15×6＝90（级），
女孩比男孩少走了100－90＝10（级），
多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。
由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
解：自动扶梯每分钟走
（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），
自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
答：扶梯共有150级。
例9、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？
【分析】此题类似行程问题里的流水行船问题，
扶梯的级数为100-x
在此时间内扶梯走的级数50+x，
因此扶梯的级数为（100+50）÷2=75级。
例10、例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
【分析】等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票口1分钟检票的人数为1份。
因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，
5个检票口20分钟通过（5×20）份，
说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，
所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
