三角函数积化和差公式的证明 三角积化和差

首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)

因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式)

sin(α-β)

=sin[α+(-β)]

=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα

=sinαcosβ-sinβcosα

于是

sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式)

将正弦的和角、差角公式相加,得到

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一)

同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有

cos(α+β)=

sin[π/2-(α+β)]

=sin(π/2-α-β)

=sin[(π/2-α)+(-β)]

=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)

=cosαcosβ-sinαsinβ

于是

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(余弦和角公式)

那么

cos(α-β)

=cos[α+(-β)]

=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)

=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(余弦差角公式)

将余弦的和角、差角公式相减,得到

三角函数积化和差公式的证明 三角积化和差

cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ

sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2(“积化和差公式”之二)

将余弦的和角、差角公式相加,得到

cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2(“积化和差公式”之三)

这就是积化和差公式:

sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2

sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2

cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2

  

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