大数定律是必然的吗? 什么是大数定律

【孙志超的回答(52票)】:

哲学和数学一样是门严谨的学科,无论在哪个层面下,大数定律都是经过推演和论证的,根本不存在“是不是必然”这种说法,当然是必然的,除非加个神学的标签……所以可以探讨的只是大数定律应用于实践是不是必然的?而对多数人而言,容易迷惑的正是这两者的混淆,即“不确定”的并不是大数定律本身,而是“经验”与“大数定律”的混为一谈。

假设A和B以硬币试验打赌,用一元的硬币向上抛出一次,A猜“字”,B猜“花”,那么两者赢取的几率各占50%,如果A赢了,这属于(小概率,偶然)事件。好友A和B继续以硬币试验打赌,用我国一元的硬币向上抛出10000次,A猜“字”5000次、猜“花”5000次,B猜“字”3000次、猜“花”7000次,如果事实上A赢了,这属于(小概率,必然)事件。

好友A和B再次以硬币试验打赌,用我国、日本、韩国、美国、英国、法国等100个国家或地区的硬币同时向上抛出1次,假使每个国家或地区的硬币均是“一面字,一面花”,A猜“字”向上的50枚、猜“花”向上的50枚,B猜“字”向上的70枚、猜“花”向上的30枚,如果事实上A赢了,这属于(大数定律,偶然)事件。

好友A和B第四次以硬币试验打赌,用我国、日本、韩国、美国、英国、法国等100个国家或地区的硬币同时向上抛出100次,假使每个国家或地区的硬币均是“一面字,一面花”,A猜“字”向上的累计5000枚、猜“花”向上累计的5000枚,B猜“字”向上的累计6000枚、猜“花”向上累计的4000枚,如果事实上A赢了,这属于(大数定律,必然)事件。

在上面的连续硬币试验中,A都是赢家,但是每次赢取的原因却是不同的。在第一次中,用“我国一元的硬币向上抛出一次”也就是“一个样本,一次实践”,A的赢取只是偶然事件。在第二次中,由于用同一国家的硬币上抛,且A猜测“子和花各占5000次”,即根据贝努里大数定律“当n足够大时,某一事件出现的频率将几乎接近于其发生的概率,即频率的稳定性。”推测“子”和“花”各占500,于是作出上述猜测结论。A的赢取属于“必然”。在第三次中,用不同国家或地区的硬币同时向上抛出1次,样本很多,显然其符合切贝雪夫大数定理“随着样本容量n的增加,样本平均数将接近于总体平均数”,但是实践只有一次,得来的结果虽属偶然事件,但A的赢取依然较B的赢取概率大。在第四次中,由于在第三次基础上进行了大量实践,其选择了“猜‘字’向上的累计5000枚、猜‘花’向上累计的5000枚,”我们说其成为赢家是必然。

由此可见,在第二次和第四次中,A的赢取都是“必然”,分析二者的相似之处,我们可以得知,虽然样本数量不一致,但二者都进行了大量的实践,也就是说“实践”是得出“必然”的前提,但二者的差异又在哪里呢?那就是样本。而第三次硬币试验,恰恰是有大量样本,A依旧获胜,其符合大数定律。无论“实践”的增多,还是“样本”的增大,都带来经验的累积,都可以无限接近大数定律曲线。即“样本”和“实践”无穷大时经验曲线与大数定律曲线全面趋向融合,带来的是真理的逐渐呈现。

【知乎用户的回答(7票)】:

一切的讨论的前提是弄明白什么是“大数定律(law of large numbers)”。大数定律是数学领域概率论分之里的一系列定理,包括强大数定律(strong law of large numbers),弱大数定律(weak law of large numbers),以及一致大数定律(uniform law of large numbers),等等。我们通常说的大数定律一般指的是“强大数定律”,它是一个由伟大的前苏联数学家,概率论先驱,科尔莫哥洛夫(Kolmogorov)首先给出严密证明的数学定理,又称“科尔莫哥洛夫强大数定律”。

在我们讨论该定律的技术细节之前,有必要要弄明白什么是“数学定理”。简单的说,一个数学定理包含一个假设前提A以及结论B,并断言由A通过逻辑(矛盾律,排中律)一定可以推导出B。下面是几个简单的数学定理的例子:

定理1(等腰三角形): 如果一个三角形两条边相等,那么这两条边所对的角也相等。

定理2(圆的面积): 一个半径为r的圆的面积为





一个和楼主问题相关的问题是,数学定理是必然的吗?如果你相信逻辑法则,那么数学定理是必然的(必然为真的),至少在数学上是的。如果一个三角形两条边相等,那么这两条边所对的角也一定相等;如果一个圆半径为r,那么它的面积一定是



。然而微妙之处在于,数学的世界是一个高度抽象,高度理想化的晶莹剔透的世界,它和我们客观存在的物理世界不是一回事。在我们真实的物理世界里,不存在数学上完美的直线,完美的三角形,或者完美的圆。我们所能观察到的一切几何对象,从数学的角度上讲,都是粗造的:我们的世界里只可能存在是近似的直线,近似的三角形,以及近似的圆。因此,严格的说,一切数学定理的前提条件在真实的世界里都不可能完美的满足,从而导致的后果是,数学定理断言的结论在真实的世界里也不可能完美的成立。

假设我用圆规在纸上画了一个半径10cm的圆,现问该圆的面积是多少。如果这是一道中学数学题,那么我们可以这样回答:应用定理2,我们可以算出该圆的面积为



。然而真实的情况是,我画的这个圆不会是个完美的圆,我用的纸张也不可能绝对的平整。因此如果用精密的仪器测量它的面积(假设“面积”这个概念仍然有意义),我们可以发现测量的结果不精确等于





这个例子想说明的道理无非是,尽管数学定理在数学上是必然为真的,然而由于在真实世界中不存在完美的符合数学定理要求的前提条件,因此我们也不可能完美的得到数学定理预言的结论。一切数学理论在真实的世界里的应用都只能是近似的。重要的是,近似仍然是有用的;因而数学理论是有意义的。

下面回到大数定律。强大数定律是这样陈述的(其它版本大数定律的描述略有不同,然而直观意义都是相似的):

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是一列独立同分布且L1可积的随机变量。则当n趋近于无穷大时,样本均值



依概率1收敛于X1的数学期望。------------------------------------------

其中定理的结论[则当n趋近于无穷大时Sn依概率1收敛于X1的数学期望]可以直观的理解为:当n非常大的时候,Sn有非常非常大的概率几乎和X1的数学期望相等。

大数定律在数学的世界里是必然的,一定成立的。然而把大数定律应用到真实的世界里,情况当然有所不同,这主要缘于大数定律要求的前提在真实世界里不可能完美的满足。有时我们提供的条件离大数定律要求的前提差得很远,这时应用大数定律只能得出荒谬的结果;有时我们提供得条件离大数定律得前提非常接近(以至于我们认为其中差别可以忽略不计),这时大数定律断言得结论对我们就是有意义的了。就以抛硬币为例:尽管硬币可能正反面不时完美的均匀,尽管每次抛硬币的行为(不管是用人还是用机器完成)并不可能做到真正的相互独立,尽管每做一次抛硬币试验之后硬币可能会有细微的磨损,尽管试验的环境如温度,空气的流动随着试验的进行可能有微小的变化,等等,但是我们可以有理由认为,大数定律的前提条件非常好的得到了满足:每次抛硬币都是一个数学上的随机试验;硬币是均匀的,每次抛硬币获得正面和反面的几率都是50%;每次抛硬币的结果是独立同分布的随机变量。这时我们就可以相信大数定律的结论:抛很多很多次硬币以后统计下来,我们有非常大的几率得到大约50%正面以及50%反面。

注意:大数定律并不排除“抛10000次硬币结果都是正面”这样的事件。它仍然有可能发生,只是发生的可能性微乎其微以至于没有多少现实意义罢了。

下面是对问题的正面回答:

1,为什么实验次数越多,事件出现的频率将会趋近期望值?

数学证明告诉你为什么。

2,但我想问的是,为什么一定会“接近一个值”?

不是“一定会”接近一个值,只是有非常大的可能性会如此。

3,即“偶然中包含必然”这句话是否是必然的?

在大数定律前提条件满足的情形下,是必然的。

3,这是由这个世界本身的性质决定的吗?

一部分是由逻辑决定的(概率的数学理论),一部分是由世界本身的性质决定的(客观世界里可以很好的满足大数定律的所需要的前提条件)。

【NiYun的回答(3票)】:

何谓趋近?推荐题主研究一下以下3个概念:

几乎处处收敛,依概率收敛,依分布收敛

大数定律是必然的吗? 什么是大数定律
【王汐的回答(2票)】:

理论上是对的。

用在现实有问题,叫黑天鹅事件。

【LI二MAO的回答(0票)】:

如果想问定理的证明过程,维基百科就有,更加详细一点的讨论可以找一本测度论的概率教材来看。

至于考虑世界观的问题,我觉得,你可以认为它不一定收敛。现实世界复杂且不完美,你也可以认为概率空间在现实世界并不存在。

【王嘿嘿的回答(0票)】:

不是必然。。。只有不信的人多了,能继续研究下去的人才能赚到更多钱

【涅沙Chaos的回答(0票)】:

前提是样本数量达到一定程度。那么趋近于期望是必然。对于每一次实践,趋近于期望还不是很强,这可以说是偶然。但是当样本数量达到一定了,趋近于期望就是必然。就像哲学里说的,无数的偶然早就了必然。

【张明栋的回答(0票)】:

统计上的必然,个体事件上是偶然的。必然性必须通过偶然性来表现,偶然性又喻于必然性中。

就像任何一个有界无穷集合都存在一单调收敛子集,当实验结果趋于无穷大时,必定存在一收敛概率。(讲得不是很专业,有兴趣的话参考大数定理证明吧)

数学和哲学不同,数学追求确切的知识,哲学考虑认识所能到达的极限。数学命题具有真假性,哲学更多的是具有启发性,还是别混在一起好。

【刘兴谷的回答(0票)】:

上面 魏天闻,Robert Wang 的回答已经对大数定律相关的定理做了很好的介绍。我来做一点点补充。

题主一共问了2个问题:

1.[为什么实验次数越多,事件出现的频率将会趋近期望值?这是由“期望值”的定义决定的,但我想问的是,为什么一定会“接近一个值”?]

--> 如果重复N次所做的实验条件完全一样的话,那么每一次的实验产生某个结果的概率可以认为是一样的。这个陈述没有办法证明,这个来源于我们对这个世界的经验认识。

如果上述成立的话,并且探讨的随机变量的平均值不是无穷大,那么这个N次实验就构成了大数定律的前提条件:N次相同概率分布的实验,且平均值存在。

大数定律通俗的说:N趋于无穷大的时候,样本平均值接近概率。这个是必然的,因为从数学上有人证明了。(从Bernoulli,到Kolmogorov历经2百年左右)

当然了,如果对证明有质疑的话,那么只有去看证明过程了,当然了,质疑的前提是看懂证明过程的每一个环节。

2.[即“偶然中包含必然”这句话是否是必然的?这是由这个世界本身的性质决定的吗?]

--> 这个问题不是很明白具体问的是什么。“偶然中包含必然”这句话貌似只是一句口头禅而已。

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我来举个例子吧,但愿有所帮助。

* 假如我给你1个口袋,告诉你里面有100个球,其中有10个红球,假定每次抽取1个球这一过程可被认为是随机的(譬如滚动混淆多次后拿出1个),那么你认为你抽取1次的获得红球的概率是多少呢?

- 我想所有人应该都能认同概率为 0.1。这个陈述我想没有人可以去证明它。

* 如果我准备了这样的袋子一模一样有100亿个。然后你挨个的每个口袋抽1次,一共抽了100亿个口袋,是不是你会认为你总共抽到红球的个数应该是接近10亿个红球?

-- 我想即使没有看过大数定律的严格证明,大部分人也会认同自己应该抽到红球的总数是接近10亿个。在没有数学证明之前,只是经验和直觉。

* 在你完成了抽取100亿次以后,发现你竟然只抽取到了1亿个红球,这种可能性存在吗?

-- 存在的,只是可能性很小而已。但是这个时候,其实你一定是深深的怀疑我是不是欺骗了你。

* 是的,我骗你的,实际上我放球的时候,每个口袋只放了1个红球。当我告诉你这个事情的时候,你所认为的单次抽中的概率就变成了0.01。

-- 所有已经发生的事情,都只是观测到的样本,平均值作为一种对概率的估测值,所以叫“期望(Expectation)”真的是很直观。

我喜欢这样描述概率论,用已知的信息,去估测未知的信息。获得的是估测值而非客观事实,因为客观事实除非像上面例子里的袋子一样可以直接打开看一看,否则只有天知道客观事实是什么。

【张移的回答(4票)】:

在这个问题项下,出现了某种不可忍受的混乱,所以试着来澄清一下。当我们说“大数定律”的时候,我们究竟在说什么。

第一种解释:数学上的一个定理。

第二种解释:现实中的一个规律。

作为定理,目前排名第二的匿名用户已经用数学式表达了,搞不懂这有啥好匿名的。

所谓大数定律是,



是一列独立同分布(i.i.d)的可积随机变量,







,则



最后收敛的方式是依概率收敛的话称作弱大数定律,几乎处处收敛的话称作强大数定律。

排名第一的 @孙志超似乎想以例子来解释上述公式,就有了一大段描述。大家有兴趣可以自己去看。按照他的说法,扔一元人民币无数次的情形不适用大数定律,必须要“我国、日本、韩国、美国、英国、法国等100个国家或地区的硬币”一起扔的结果才叫大数定律。在他的理解里,每一个X都必须要对应一种硬币,然后所有的硬币一起扔就是大数定律了。不过按照我的理解,哪怕只是用同一个硬币,每一次扔出的结果依然是“独立同分布”,没必要大费周章的收集100个国家的硬币啦。

但是我又手贱搜索了一下百度百科,发现

常用的大数定律有:伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。我不由得凌乱了,这还让不让人活了。

(注:伯努利大数定律即弱大数定律,当数学家直接说“大数定律”的时候似乎是指的这东东。)

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那么当没有经过高等数学和概率论训练的普通人说大数定律的时候,我们脑子里浮现出来的是什么哪?那就是我们在中学时候学过的,扔足够多次硬币之后,就会越来越接近50%正面,50%反面。这就是所谓的“现实中的规律”。

我想说的是,如果是数学上的定理,必然是被严格证明过的,在数学自有的体系中可以被称为是“必然”的。如果题主问的是一个数学问题,那么这显然不是一个好问题。我理解,题主的问题其实是问大数定律是否必然和经验相符?按照题主自己的表达是,为什么一定会接近一个值?偶然中包含必然是必然的?所以我的回答是:

扔一万次分币每次都是正面的概率存在吗?存在。

扔十亿次分币每次都是正面的概率存在吗?存在。

所以并不是必然可以通过实验来证实大数定律的。但这并不是说明数学错了。在数学的视角下,频率必然是向概率收敛的。如果我们的现实世界出现了十亿次分币每次都正面的情况,那么必然在另一个可能世界出现了十亿次都反面的情况。

当然,我们的现实落入无穷次都是正面的概率趋近于0。现实中完全不需要考虑,也几乎完全不会遇见。

不过我们确实遇到了一个特例:产生生命的概率何等之低,不过我们落入了这个小概率事件。

说必然性包含在偶然性中间,不如说一切偶然皆是必然。就好像在无数的可能世界中,必然存在着一个十亿次都扔出正面的世界哪。问题只在于,我们的世界会是这一个吗?

【夏澈丹的回答(0票)】:

@王晋民的答案作为概率论科普向,已经相当不错了。但答主目测是想多问一个为什么。我就从直觉的角度来说。

首先你要理解什么是序列,就是一串数字,这里你就可以理解为,每次试验之后算出来的样本平均数。那么你一直做试验,每次试验出来的结果就形成了一个数列。那么在数学上,我们试图描述在无穷多次试验时的情况,我们就提出了一个趋近的概念。这里比如说趋近于总体平均数。大数定理就是一种对于趋近的描述。如果你看的是中文维基百科,那个写不好,弱大数那里还是我加上去的。强弱大数定律实际上描述的就是趋近速度的快慢。由于趋近,和快慢在数学上都有严格描述,所以我们可以通过数学来证明这个定理。所以是对的。。。

至于你说的“世界的本质”,我以前也想问为什么有热力学第一定律,永动机多好啊,为什么有热力学第二定律。但这就是世界的本质,我们更多是来描述这个世界,你要多问一步,就可能走向了神学和宗教。

不过从民科的角度来说也不是完全没有答案,霍金曾经认为这个世界的随机性来源于存在的微型黑洞,这些黑洞吞噬了我们世界的确定性。虽然这个非常类似民科的言论我也不知道说的是什么,但您可以从中理解,随机性的来源,二大数定律描述的是随机性的一种趋势,这或许就是黑洞本身的性质吧。也许黑洞是对称的,所以偏差都被抵消了。

上面脑洞开大了。最后说句正经的,题主要么去找宗教,要么最好不要问这种问题。徒增烦恼。

【知乎用户的回答(0票)】:

题目和描述关系怎么感觉略没想象中的大呢?

大数定律是必然的么? 是必然的。这是数学,证明前人有写,比如 王 的答案

至于描述



为什么实验次数越多,事件出现的频率将会趋近期望值?这是由“期望值”的定义决定的,但我想问的是,为什么一定会“接近一个值”?即“偶然中包含必然”这句话是否是必然的?这是由这个世界本身的性质决定的吗



不,在现实中,首先是“接近一个值”,人们再说那个值是“期望值”的。

人们看到一个骰子100次中有70次是6,会说“期望值不平均,这应该是一个作弊骰子”的。

实验中不一定会“接近一个值”。不接近一个值的例子也有几个(我就不提随机误差了),比如拿同样的东西在赤道和南北极称重是不一样的。这件事很容易被科学中的分离变量法发现并提出了解决方法。

“即“偶然中包含必然”这句话是否是必然的” 这句话过于抽象请恕在下无能不能给出简单且正确的答案。后面关于世界的也是爱莫能助。

不知道以下的案例能不能帮你。

我当年差点问老师“问什么这个宇宙还有统计规律”,自己想了十秒中后发现统计必能总结出带有概率的规律,于是没问了。

【毛慧子的回答(0票)】:

大数定律不是“定律”!

任何一本数学系本科的概率论都会提到的。大数定律是用来描述一类随机变量的“性质”

【陆士霄的回答(0票)】:

扔硬币 如果手法、力度、角度以及其他影响因素都保持不变,那么结果是不是确定的呢?

【RobertWang的回答(1票)】:

会问这种问题得怪中国教育的缺点:只给公式推导,只求考试高分会解题,不求理解。

给你列几个例子你就明白了:

1.人们在长期的实践中总结得到实际推断原理:小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的。

2.公理,是指依据人类理性的不证自明的基本事实,经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的基本命题。是依据人类理性和愿望发展起来而共同遵从的道理。在一个系统中已为实践所反复证明而被认为无须再证明的真理。如“等量加等量其和相等”,就是公理。

公理系统(axiomatic system)就是把一个科学理论公理化,用公理方法研究它,每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。公理化的实现就是:①从其诸多概念中挑选出一组初始概念,该理论中的其余概念,都由初始概念通过定义引入,称为导出概念;②从其一系列命题中挑选出一组公理,而其余的命题,都应用逻辑规则从公理推演出来,称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明,每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系,称为公理系统。初始概念和公理是公理系统的出发点。

例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设(以现代观点来看,公设也是公理),平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。

长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用。也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设。我们知道,这其实就是数学中的反证法。但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论:第一,第五公设不能被证明。第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中,可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论:逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼(球面)几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。宏观低速的牛顿物理学中,也就是在我们的日常生活中,我们所处的空间可以近似看成欧式空间;在涉及到广义相对论效应时,时空要用黎曼几何刻画。

3.伽利略认为经验是知识的唯一源泉,主张用实验—数学方法研究自然规律,反对经院哲学的神秘思辨。深信自然之书是用数学语言写的,只有能归结为数量特征的形状、大小和速度才是物体的客观性质。他是利用望远镜观察天体取得大量成果的第一人。伽利略对17世纪的自然科学和世界观的发展起了重大作用[1]。从伽利略、牛顿开始的实验科学,是近代自然科学的开始。他以系统的实验和观察推翻了纯属思辨传统的自然观,开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系的近代科学。因此被誉为“近代力学之父”、“现代科学之父”。

所以,同志啊!实践出真知啊。。。实践是检验真理的唯一准则。。。所以你就不要多想了,抓紧时间去实践吧!我们好不容易从妄想臆测的思辨进化到实验证明,就不要再倒退回去了!!!

【陈无左的回答(0票)】:

大数定律(LAW OF LARGE NUMBERS)指样本均值几乎必然收敛到总体均值。这个定律可以叫统计学基本定理。初中物理第零章告诉我们测量要反复多次,然后取平均数。这背后的原理就是大数定律。所以所有人对它都是熟悉的。

对于问题,这要么是在挑战大数定律的数学证明,要么是在怀疑其前提条件的宽松度。对数学证明的怀疑可以非常深,比如一直钻到哥德尔的公理系统不完备性。对前提条件宽松度的怀疑则比较主观。合理的做法是去符合从而利用,而非去剥削从而滥用。

原文地址:知乎

  

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原文地址:悟道命理:人的命运真的是由出生日期决定的吗?作者:悟道易经文/悟道老师最近看到过一篇文章,说是人的命运是由出生时间决定的,并且还列出了从初一到三十的不同日期出生的性格和命运走势,无独有偶,悟道还在一位港台注明命理师出版的

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