爱华网1 数学的本质与数学学科分类
数学是研究数量关系、位置关系以及组合关系的规律的体系的这么一门科学。数学的本质就是研究这些抽象的概念之间的关系。数学的本质就是抽现概念之间的关系，这就是数学的本质。数学不是现实世界自身。这就是对这个问题进行简单回答。
数学大约包含多少个学科呢？这个不是很好说，因为现在分类都很不规范，但是我们可以大概说一说。数学都由哪些东西构成？你比如说：代数学、几何学、分析学。分析学指的是什么呢？比如说像微积分、泛函分析等等这些东西。我们还包含博弈论、微分方程、拓扑学等等。如果要进一步分，还有很多，比如说几何还分很多：代数几何、几何代数、反射几何、巴罗切夫斯基几何、黎曼几何等等。微分方程可以分为常微分方程、偏微分方程，还可以分为微分方程的定性研究等等等等。数学分类可以说是非常多。
从数学的确定性与可能性角度讲，还可以分为确定性数学和可能性数学。我们现在看到的可能性数学是概率论。概率论之外的数学都称之为确定性数学。现在我们知道还有模糊数学，模糊数学究竟应该怎么看他，这个在学术界是争论的。总而言之数学的分支很多。
我们通过这些东西，我们发现人类要研究的东西不少。比如说研究数量关系。研究数量关系最简单的就是我们通常见到的函数，一个自变量或者多个自变量及其函数到底有什么关系。比如说研究位置关系，通常我们见的是欧几里得平面几何学，他不是研究位置关系的吗？我们还有一种数学叫拓扑学，拓扑学也是研究位置关系的，但是他这个位置关系跟我们通常的几何学又不一样。我们通常（把它）称之曰“不量尺寸的几何学”。比如说，我们通常的一种描述，就构成一个拓扑。比如说，在一片树林下，有200名学生在上课，这就构成一个拓扑。他只是说在树林下有200名学生在上课。只要是有200名就可以了，至于这200名分布在哪里，怎么分布，以什么姿态分布等等，这些都不做研究内容。如果我们要是从几何学角度来讲呢，就不是这样了，说***同学处在哪个位置呢？我们可以做一个坐标，假如说以我为坐标原点——以我的这只脚为坐标原点——然后我们建立一个三维坐标轴，这样来确定***同学在哪里。你看这几何关系就是确定的几何关系，而我们说拓扑学他不研究这种确定性的几何关系，他只是说一种存在性，至于这种存在性以一种什么样的具体关系存在，那不管，只要是满足这种存在关系，我们就把他称之曰一个拓扑。微分方程也可以说称为方程类的东西——我们初中学的方程解出来是个数值，而微分方程的不同（就是）解出来是个规律。微分方程这个学科的奠定以及建立对人人类研究数量关系、几何关系以及组合关系那是具有特别重要的意义的。说到组合关系我们还可以谈几个：一个是你们在中学所学的那个组合。你们不是学排列和组合吗？还有就是我们所讲的博弈论，博弈论讲的也是一种组合关系。按照不同的关系去组合，会有不同的结果。
2 数学演化历史
我们说，人类从远古走来，最开始是猿，从猿进化到人，这个时候就产生了基本的数量需求和位置需求。产生了这些东西之后就希望有一种描述，于是数学从这个时候开始产生，但是非常的初浅。比如说，一个原始社会的这么一个群落或者这么一个山洞，这个山洞里面我们到底有多少个人呢、我们打死了几只猴子啊、几只野猪啊等等这些东西需要计量。那么再比如，我们还需要研究位置关系：我们所居住的山洞跟某一个河流构成了怎样的位置关系，跟某一个岔路口构成怎样的位置关系，当时这些问题都前人都需要来解决。同时呢，你不如说我们还要解决场所的大小问题。比如说，我们这个山洞它究竟有多大啊，它究竟能够容纳多少人啊等等，这都是问题。这些问题发生了，于是人类开始产生最基本的东西。比如说，最开始需要计量，就产生了1、2、3、4等等自然数。为什么称之为自然数呢？因为他是自然发生的。我们最开始就产生自然数，利用这个东西来计量。我们想想人类最开始有数学需求的时候，那个时候又没有这些数字，于是那个时候只能弄一个小绳儿。比如说，我打死一只狍子，我在这个小绳上系个扣，我打死第二只再系第二个扣……等回来之后酋长问我：你今天战果如何啊？我把那个小绳往外一掏，给你看这么多个扣。问我战果怎么样？你看有多少个小疙瘩，那么战果就有多少。所以大家想想那个时候人类生活是很不方便的，你想想，你只能通过那些小疙瘩来计数。而后来，你想发明了数，虽然这事对我们今天来讲是很简单一件事，在那个时候来讲它不简单。数，你看，1、2、3、4……我把它排成顺序，排成顺序之后，后来我只要记其中一个就行，我根本不必要重复。比如说，打死了八只狍子，1、2、3、4、5、6、7、8，我只要能说出“8”，大家就能明白什么意思。这就是最开始产生“数”。你比如说最开始，我们也要产生面积的概念。大家想想，比如说我们现在有个场地，这场地多大？对今天来讲，你张嘴就用面积来说话，说多少多少平米啊，多少多少平方丈啊，多少多少平方尺啊，你张嘴就可以这么讲。但大家想想，在古代，那个时候还没有面积的概念，但是人们还要描述大小，你们说怎么办？我们现在就模仿一下古人。那么DINGD你想想啊，就假如说我们现在没有面积的概念，也没有尺寸的概念，在这里面呢，你比如说，你要给我描述一下这块石板有多大（顺手指了身边一块大石板——编者注），你怎么告诉我？最开始肯定用手臂比划一下，但，如果在遇到两个情况你就不好办了：一个情况是，这个石板远远比我的两个手臂宽，怎么办？长和宽都要超过手臂能比划的范围，怎么办？这是一种情况。另一种情况是什么样呢，你在五里以外，发现这么一块石板，你又不能见我的面，你要通过一个小孩，来转达我，怎么办？你可以想象很多种情况。在这个时侯就遇到困难。不要单说这么大的石头，还有的情况是：非常小，小的像一个小米粒那么大，然后你跟我“恩恩恩”，以手做比划，我这么比划了半天，尤其是远的同学，你也没看明白什么意思，是吧？我在这里边，说，有一种黄色的米，你啥也看不到，就是说，太小了你看不出来，超过你双臂能比划的范围你也看不出来。于是在这个时侯，人类就想，我怎么描述它呢？那么于是有这么一天，究竟是谁，我们也不得而知，就是他终于想出来，用长和宽的关系来描述面积，用长宽高的关系来描述体积。所以大家想，这个世界，我们今天所描述的东西，都不是凭空而来的。
很多数学基本概念的定义确定了数学未来发展的形式
（以面积为例谈）
其实呢，最开始借助的都是长乘宽。用长和宽相乘，用方的东西，不管是正方的，还是长方的，用一个方的东西来给你定义了面积。但是以后即使不是方的，我也借助于方的来表达。所以，大家想，很多东西不是从来就是这样的。在这里边，如果我们善于从哲学角度想问题的话，你将会发现，在这里不自觉的有这样一个坐标关系。这是Y轴X轴，这是原点。不自觉的，你借助于一个直角坐标关系。那就是说，说明这个角是直角。你这么定义面积。大家再想想，人类还可以换多种方式定义面积。比如说，假如说，我现在搞的坐标轴都是这样的一个角度的坐标轴，我不是90°，我是60°，我要搞60°的坐标的话，我仍然可以建立坐标，那么我仍然可以用60°的坐标这种关系建立面积的概念。如果人类最开始定义面积，用这种60°角（的坐标）来定义面积，那么你们可以想象，我们今天的数学就不是今天这个样子，就不是现在这个样子。所以你看，数学他最后形成的形式，跟你最开始的定义方式，它都是密切相连的。我们到了大学，我们的同学都知道，说，让我们做这样一个不定积分，（sinx/x）的不定积分，就觉得哎呀无奈，说这个东西太难了，说这个不定积分可怎么做呢，太难了。那么这个不定积分原函数我们在数学上怎么回答？原函数是存在的，但是我们不知道他如何表达，因此我们就说这个不定积分现在没有。事实上，我们后来真的学了积分之后，我们发现要描述它非常容易。为什么呢？因为我们只要在一个很小的范围内，我们把sinx展开，我们进行泰勒展开呢，发现呢，它就是这么一个关系，你只要把x跟它每一个除一下，它就变成了1减去3的阶乘x的平方加上5的阶乘x的四次方减去等等等等，这么写。我们发现呢，如果说把这个原函数找到，并且算一下，我们发现一点都不难。你想想我们只要找到了它，对它进行积分，就是一个幂函数积分，积出来还是个积出来还是个级数，非常简单，相加就完了。你们发现这里这个问题没有那么复杂，并不是计算起来有多复杂。一个用积分表达，计算起来也并不复杂的东西，为什么我们通常表述就那么难呢？这就说明我们今天的数学是沿着一特定的思路来定义下来的，来演绎下来的。所以，它有它特定的形式。假如说现在我们定义面积，我们是按60°定义或者按30°来定义而不是按90°来定义的话，这个时侯，你重新算sinx比x这个积分的时候，可能一下子积出来，这是个非常简单的东西。而现在我们非常简单的东西，那个时候就有可能变得非常复杂的东西。我们说，我们今天搞数学的很多教授，水平并不是很高，包括那些在数学上取得非常多的成就的人，说穿了呢，还是处在一个小家的水平。我们不是平常说“小家子气、小家子气”嘛，还处在一个“小家”的水平。他们并不能够用开阔的思想来思考数学，他们不知道数学为什么是这个形式，他们不知道数学未来将会是什么形式，他们不知道数学未来将怎样发生革命等等等等，这些东西他们都不懂。那么从这个角度说呢，我们说研究数学做到这个程度这是一种遗憾。
那么大家再想想，我们由于最开始数量的需要，我们产生了数字。那么，后来由于要解决位置的问题，就产生了欧几里得平面几何。虽然中国人在古代并不知道有个欧几里得，但是中国人和希腊人和其他国家的人一样他们都需要解决这些实际问题。一旦这些实际问题解决，对于我们现实生活、生产十分有好处。那么大家想想，数字——自然数——产生之后，诸如像1啊、2啊、3啊等等，我们想描述现实的情况变得有可能了。比如说，在我们这样一个小区域内有多少个杨树呢，我们只要查一下，有27棵杨树。在这么一个小区域内有27棵杨树，我只要写这样一个数字就行了。注意，那个时候中国可没有这样一个数字，这是阿拉伯人发明的，阿伯人用这样一个方式来描述，我们中国人不用这个方式，中国人用一横两横来描述。顺便讲一下，你看，阿拉伯人他用这个东西来描述（黑板上写“1、2、3、4、5……”），而罗马人用这个东西来描述（黑板上写“ⅠⅡ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……”），而中国人用什么来描述呢？中国人用这个（黑板上写“一、二、三、四、五……”）不同的民族有不同的描述方式，但是你别看这个描述方式看起来很简单，这里问题一下子就大了。那么我们想想为什么数学在西方比较发达？比如说像古希腊呀，罗马呀，后来的法国、英国、德国等等，为什么在这些国家，在西方率先发展起来了？为什么中国古代曾经有辉煌灿烂的数学，为什么近代没有发展起来呢？其中这就是原因。古罗马发展也受限制。在这里边，我们数字如果用这个东西表述太难了（并写“一千五百二十一”、“1521+1525”[竖式]。）你说我们这玩意这可怎么加呀？（指黑板上一千五百二十一）究竟什么叫数学？你们把我说的东西搞懂了，你们就真正懂数学了。你原来学数学很费力气，你现在发现很简单一件事，挺好玩。注意，我还再次重复，为什么有些人有大智慧，有的人是个笨蛋？所谓大智慧，你学习如果像我这样学，一直像我这样理解，你可以大大的事半功倍。什么叫大大的事半功倍？因为我们从来没有个词汇说“事0.1功100万”，我们也没这个啰嗦词汇，我们也还用事半功倍这个词汇说。是有的人他用有限的时间，他可以学很多很多东西而且学的比别人深刻，用起来得心应手。而有的人学了很多年，最后啥成绩也没有，最后就玩文字游戏当个骗子，写一些狗屁不通的论文，你懵我我懵你。在中国的今天，中国的知识分子90%以上是一个非常恶心的，有关这些话你们还不理解，慢慢理解。
运算关系的产生历史
不同的民族都要有数字，要用数字来表达，实际上在这里面，罗马人也一样，罗马数字表达起来也很麻烦，只有阿拉伯数字表述很容易。人们要想表述“这个区域有27棵树”，那么写一个“27”就可以了。中国人也就写这么个东西就可以了（黑板上写“二十七”）。可是现实当中涉及他们之间的数量关系，比如说，我现在有一个营的兵力，然后乡亲们参军，又增加一个营零一个连的兵力，那么我们有多少兵力呢？我们就需要把这些兵力加到一起。有的时候呢我有一个很大的数字，假如说我有三个营的兵力，那么现在要分出去两个营给别人，我也要描述这种关系，于是现实当中就产生了加法和减法，加法和减法就这么产生的。DINGD听明白了吗？加法和减法怎样产生的，现实当中又怎样的需求产生了加法和减法？现实当中，涉及把一些东西和到一起，测量总数的时候就产生了加法。那么从一个总的数字当中要分一些东西出去，这就产生了减法。就是各种各样的运算在现实当中，因为有这样的需求他才产生的。人类从根本上说，人类是不干傻事的。比如说现在我们很多教授写一些论文，那都是胡扯，对人类没什么用。对人类没什么用那怎么产生了呢？跟你说的相反？但对他个人，对他那个小群体有用，因为他可以用它骗人。
现实生活中为什么要产生乘法呢？乘法是怎样的需求要产生乘法呢？
这个说的很对，但是不全面。大家想想，我们现实当中，有些东西要合到一处，你要把它加起来，这样就制定规则。我们说这么多个（黑板写“3”）加上这么多个（黑板写“+”）它就等于这么多个（黑板写“5”）。这么多个去们给他取个名字叫“三”（指黑板上的“3”），这么多个去们给他取个名字叫“二”（指黑板上的“2”），这么多个去们给他取个名字叫“五”（指黑板上的“5”），于是就是这么个意思。是吧，你看我们把一些东西合起来。同时还要把一些东西分出去，所以这就是减的问题。那么现实当中还要遇到这个问题：（在黑板上写“3+3+3+3=12”），三个加上三个加上三个再加上三个。在这个里面呢，你要用加法加到一起也可以，加完了之后也能得出相应的数字。人们为了简化起见，说穿了，就是四个相同的数相加，那就干脆把它变成它（在黑板上写“3＊4=12”）。明白乘法是什么意思了吧？就是相同的数相加我怕他乘起来麻烦，我就干脆用一种新的方式来表达它。可能你们小的时候也要背（加法）口诀，什么一二得三，一三得四，二三得五等等，这叫口诀。为什么？在现实中那么多和那么多放到一起就等于那么多，这个关系是确定的。你也没有什么为什么好说的，这个世界就是这个样子，有什么好为什么的？你说三加二等于五，这是用语言表达，现实中就是这么多加上这么多它就等于这么多。那你说为什么，没有什么为什么，这个世界从来如此，没有不如此的东西，不信你试试你只要把这么多加这么多它一定等于这么多，它不等于这么多见鬼了，没什么好为什么的。既然是这样，我们就把这些东西给它概括总结出来，然后背下来就完了。后来人们对于相同的东西相加也觉得它麻烦，那么也用这样一种符号来表示（黑板上写“＊”），表示完了之后也给它搞成口诀，一一得一、一二得二、七八五十六、六九五十四这样的口诀。因为只要是相同的东西相加一定遵循这样一种关系。你也不要问为什么，这个世界从来如此，没有不如此的，就这么回事。这个世界不是所有东西都可以问为什么的。那么这就是乘法的产生。
同样道理，除法的产生是什么？
就是，一个数按照相等的关系能减出来多少倍，一个数量的东西按照相等关系来减最后能完整的减除多少倍来，这就是除法。有的时候，十除（以）三等于三余一，这是告诉你：十按照三个等分这么分的话，只能分出三个等分来，最后有一个一没法再分了，就叫余一。这些东西都是小学最基本的东西，但是问题的根本在于你是不是知道它的来龙去脉——它到底怎么来的，到底什么意思。我敢这么说，在坐的算这些问题，没有一个人不会算的，但是是不是你对它的来龙去脉都搞的很清楚呢？这就未必了。这就是现实当中我们为什么会出现算数问题。
分数怎么产生的？
说到这里，我们先停到这儿，再往前进一步。我们讲数学数学，我们讲“数”，数首先学的是自然数，自然数是什么，就是“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”，反正就是往下数下去就完了。于是呢，又出现了整数的概念，整数的概念呢，“0”和那些自然数，出现了整数的概念。再后来又出现了分数的概念。甚至还出现了小数的概念。分数的概念很简单，比如说妈妈烙了一个饼，家里有三个孩子，于是把这个饼分成三份，然后分给每个孩子，这时候你就要表述：每个孩子吃了多少呢？哦！一个孩子吃了三分之一。可能开始打算这么分，后来妈妈突然不这么分了，拿了一把刀在这个饼上切了个“十字”，分成了四块，说别忘了还得给你爹留一份啊。这一块饼就变成四分了。如果自己一想，说我自己还没吃呢，就可以把这个饼分成五分。这里就涉及三分之一，四分之一，四分之二啊。如果一个家里当爸爸的比较霸道，说虽然呢咱们分成了六分，我应该吃六分之二，而其他你们吃六分之一。这里就发现，一个整体要分成若干份，这里就产生了分数的概念。就这个时候，我们发现我们原来了解的数的概念随着生产的发展，随着生活的发展，发现他逐渐不够用了。
小数是什么？
实际上这个小数，我的理解，小数是分数的一种变形的表达形式。有的时候是一种准确的表达，有的时候是一种近似的表达。比如说，当我们描述三分之一的时候，三分之一是一个非常准确的概念，而0.333333……你不管怎么3下去，它永远不准确。但不管怎么说，我们现实生活中有了它也行。你比如说，分了一块饼的三分之一，这个很准确。说我分了0.3333块饼，虽然有点近似，但是也能理解它的意思。所以小数也有小数的意义。于是我们的加减乘除各种运算，也可以把分数小数加进去。
继续讲数的产生历史
大家再想想，实际现实生活中我们要描述的东西远不止这些东西。我们现实生活中把相反的东西也想用数字来描述，于是这个时候又出现了“负数”。那么我们讲到这里，这个数的范围已经扩大到有理数了。有理数，正的整数、分数、零和有限循环小数等等，我们把这些东西说它是有理数。把什么东西称之曰无理数呢？无限不循环小数。我们发现在现实的计算当中，你比如说在除法当中，在其他的一些计算当中，我们也发现了一些问题，于是产生了无理数。数的范围在扩展。那么在计算的范围，也出现了不少新的东西。比如说，乘方开方的概念，乘方的概念从哪个地方发源的？乘方的概念发源其实就是体积。体积产生产生了乘方的概念，然后从这之后开始进一步深化。很多东西都是这样，我们开始理解起来很容易可以很具体，但到后来呢发展到不具体这个状况。比如说，一个正方形，加上一个高之后变成一个正方体，这就构成了一个相同的东西相乘。一个东西的三次方的概念。有的时候还构成四次方等等更多的概念。这个时候产生乘方的概念。同时还要产生一个相反的概念就是开方的概念。随着我们现实中需要解决的数量关系越来越复杂，这样运算关系也变得越来越丰富，数的表现方式也变得越来越丰富。其实前面我们说的这些东西我们叫实数。有理数和无理数加起来我们称之曰实数。实数有了之后，现实当中又产生了虚数的概念。虚数的概念产生起来好像很有道理，实际上也不是很有道理。虚数的概念，人们说它产生于什么，产生于负数开方。负数开偶次方产生了虚数的概念，这是人们这么讲。实际上核心问题不在这里，核心问题，我们现实生活中离不开“i”，而我们现实生活中这个“i”是交流电。不管我们是学文科的同学还是学理科的同学多少也接触了一下交流电的概念。什么叫直流电呢？就是电，它沿着一个确定的运行方向不变，我们把他称之曰直流电。那么当他的运行方向是变化的，就是说去-回、去-回有这样的变化，我们把它称之曰交流电。而我们现实发电的原理很简单，它是用若干匝线框，切割磁力线，于是就产生了交变电流。电流的方向大小按照这个关系变,于是就产生这样的交流电。我们要对交流电进行计算的时候发现这个问题已经很复杂了，我们传统的那些东西已经不好使。交流电的大小和方向在发生变化，因为发电的时候涉及一个相位问题，就是什么时候大什么时候小，而我们现实生活中遇到电流通过电容器的时候，或者电流通过电感线圈的时候，我们发现有几个特点：第一个交流电通过电感线圈以及通过电容器的时候，它都产生相应的对电流的阻止的作用。我们在相应的专业技术当中把它称之曰容抗和阻抗。电流在通过它的时候电流的相位也发生变化。而我们现实当中要想解决这些计算，要想研究，要想利用它，就必须知道它的大小、方向、相位。这个时候我们发现我们通常的数学已经不好使了，其实我们现实中有很多很多现象发生我们发现传统的东西不好使。比如说，我用力拉车，我用的这个力不仅仅涉及大小问题，还涉及方向问题。由于这些问题，现实生活中产生了很多很多的概念。在这里有很多学过工程技术的，或者学物理的。现实生活中还产生这样一个量，叫“向量”（在黑板上书写“向量”二字）。我们真正搞电流计算，搞电子学计算的时候，我们用这个“向量”（在黑板上书写“向量”二字）。高中生都学过的，这个向量，方向的向。向量也叫矢量。这个概念和我们现实生活中所讲的虚数是一样的。虚数也是用一个十字坐标，把这个称之曰虚轴，这个称之曰实轴。现实当中，实数和虚数走到一起构成了一个复数。我们往往把复数写成a+bi的形式。如果说我们描写这个复数，用d来表示吧，用什么表示都行。a有个值，b有个值，他们之间交融到一起，我们把它叫做“模”（黑板上写字）。大小长度叫做“模”。向量其实跟他很相近。因为大家学的专业不同，这些东西我不说太多。现实生活中出现很多很多很怪的量。我们要想计算，要想表达，我们要对这个量进行定义，然后加以计算。比如说，前人已经完成的哈密顿四元数。就是数学家物理学家哈密顿，他在现实中由于计算需要，他搞了一个，由一个确定的数，比如说“a+ai+bj+ck”（在黑板上书写“a+ai+bj+ck”），我是讲是三个方向向量。哈密顿还进一步构成这样的数——哈密顿四元数——现实中计算也需要它。就是说我们生在现实世界，
现实世界要解决的数量关系非常复杂，数量关系越多越复杂我们需要的运算形式越多。不仅仅需要加减乘除法需要乘方开方，我们还需要更多的计算形式。由于现实当中数量出现的种类不同，那么我们还要给它做不同的定义，于是数量的表达方式也不同了。在这个过程当中，给我们一个感觉是：我们所使用的数的范围越来越大。我们还要把前人在数学上的一些争论解释一下，这就要上升到哲学高度。比如说，在复数，就是我们讲的a+bi这个形式（黑板上写“a+bi”）。a+bi这个形式产生的时候很多数学家对这个形式进行抨击，说你这搞的东西都胡扯，说这东西有什么用呢，你告诉我现实当中什么是虚数，哪有什么复数，虚数怎么回事？于是，建立复数的人就解释，说你比如说负数开偶次方你总得有个表现方式吧？我就给你表现出这个东西来，那么反诘的人就说，你表现出这个东西来，他怎么就能说明它是负数开方的意义来呢？其实这些东西都是无可无不可的东西。
重新谈数学的本质是什么
说到这里就要给你们回答一下数学的本质是什么。其实，数学你没有必要研究它这个量现实当中有没有，那个量现实当中有没有。有的量我们肯定要加以研究，你说没有的量就不能加以研究吗？我说，你所说的没有的量那是胡扯，为什么叫胡扯呢，你怎么就知道这个量没有呢？！只能说你今天认识的量当中没有这个量，但是不等于人类的认识深化之后这一种量的形式不出现，因此我们说数学的根本不在于你今天是否认识到某个量，它是否出现，你只要敢构造一种量，这种量它和这种量自身，以及这种量和其他的量之间构成什么关系。你只要把这种关系能找出来，形成个体系，迟早有用。现实生活当中，你比如说，我给你们上课的时候讲，对心理现象进行描述的时候，我们说用拓扑张量。现实当中还有张量这个概念呐？张量这个量就变得更复杂了。我们往往可以把向量看成是张量最简单的形式。那么这是我们通常从确定关系来看，那有的时候张量也表现为拓扑形式，张量也可以表现为模糊形式，张量有时候还可以表现为或然形式，比如我们讲的概率形式。注意，现实当中，量的种类是可以非常非常多的。但问题的根本在于你只要把这个量构造出来了，然后把他们之间的运算规则找出来了，这就是贡献。我们现实也可以看到叫“张量分析”，分析这个学科他可以有很多，最简单的微积分，是吧？张量分析呀，泛函分析呀，我们用分析这个概念用的很多。就是，不管怎么样，你只要构造出这种关系就行。数学就是人们要借助于这种关系来解决现实当中的数量问题、位置问题以及组合关系的问题，这就是数学自身的意义。如果有哪个人以为数学在现实当中是种精确的关系，我说那是胡扯，从来就没有这回事。你比如说，我们现在学的几何学以及以此为基础所进行的各种运算，你看我们有几何学，我们有解析几何，我们还有代数几何，还有仿射几何等等等等，还有几何代数，这学科分的很多很多。但是，总而言之，你要想解决实际问题，你总要借助于概念。比如说，借助于概念，把几何和代数连接起来，最好的东西你说解析几何也对，说是“三角”也对，就是我们讲的三角函数，说这个东西也对。那么我们要研究它，要研究它呢我们就看，现实当中我们要研究几何问题，我们总要定义点，我们总要定义线、面、体（在黑板上写“点、线、面、体”）现实当中这些概念都是要用的，而且我们发现这些东西也很有用。可是，你想想，我们在现实生活当中是没有点线面的，点是个什么东西呢？点就是一个能够标明位置，既没有长度也没有面积也没有体积的这么一种东西。同学们想，这个东西在现实当中你怎么找到呢？谁能找到点呢？说，还有线，线是什么呢？线是只有长度，没有面积也没有体积的那么一种东西，却向两方无限的延展下去，当然我们讲的是直线。有直线的概念也有曲线的概念，但是不管怎么说，哪有线呢？你说那有什么没“线”的？说我现在把这衣服抽吧抽吧“呲”抽出一根线来，说你看这不是线吗？（以手做动作从衣服上抽出一根线来）我说你这线，有长度，这肯定是确定的，它呢还有体积，它还有表面积，你不信咱算算，你看看那个线我只要弄一个精确一点的尺子，我把线的直径量出来，严格说呢，还不是圆的，它还有表面积，你不信你看线有没有表面积？线既有体积又有表面积。所以现实当中我们会发现，点线面这都纯粹的瞎扯。点线面就是我们现实当中做那么一个规定，面是什么？有着面积的大小，但没体积。咱们现在随便撕下一张纸，你看卡有没有体积。它有厚度就有体积。它怎么会没有体积呢？可见这些概念都是我们现实当中为了解决数量关系几何关系等等这些东西，我们构造了一些理想的概念。这些概念现实当中都不存在。我们说在数学当中存在这个问题，在物理学当中，在其他学科当中同样存在这些问题。比如说我们所讲的“质点”的概念，物理学当中所讲的质点的概念、刚体的概念等等，这些东西都纯纯萃萃是人为的构造的一些理想模型，现实当中都不存在。所以，数学实际上就是研究理想模型之间的关系，但这个关系也不是一般的关系，是按照人类对逻辑的理解，核心是对形式逻辑的理解，来建立的各种各样的关系。那么这个关系它本身是符合人的逻辑思维关系的，因此这些东西一旦成为公式，你只要一用，它就满足现实需求。这就是为什么我们用数学的东西算出来的东西基本上能够满足现实生活的需求，数学的本质是什么？数学的本质就是种形式关系，别以为数学是什么其他东西，其他解释那都是有错误的。
从四则运算到方程的产生
那么我们现在再回过头来，说数学要建立了，我们要解决很多运算关系，也想解决实际问题，这就是我们现实当中要解决加减乘除这些计算问题。这些东西你只要进行加减乘除甚至其他运算就可以了。可有的时候我们发现有的东西我们用大脑也能想明白，但是不大容易想明白，于是就涉及一个计算问题。
现在我们遇到这样一个问题，说某一个班级总共有50名同学，其中有38名同学踢足球（黑板上写“踢足球：38人”），然后我们还需要23名同学打乒乓球（黑板上写“打乒乓：23人”），现在问至少有多少个同学既踢了足球又打了乒乓球？我现在要想的不是算出结果，我现在关心的是怎么算？人类数的概念有了，你要想用数的概念来解决实际问题，就得解决一个运算关系问题。要解决运算关系问题，在这个过程当中，人类就想出了一个办法：利用相等关系来计算。就是我们只要找到相等关系，按相等关系处理下去，就能把我们要解决的问题解决出来。这个问题的提出这就是我们现实生活当中所讲的方程（黑板上写字）。现实当中为什么要有方程啊？为什么要有不等式啊？（在黑板上写字）方程就是等式，所不同的这个等式还加了一个定义，说含有未知数的等式。如果这方程都是已知数就没什么意思了，它叫等式，它不叫方程。比如说3+2=1+4，这是什么？这是一个等式，但是我们不把他称之曰方程，因为它里边不含有未知数。不等式是相对于等式而言的，所以它用谁谁谁大于谁，谁谁谁小于谁这种关系来解决问题。我没让你现实生活发现用大于和等于这个关系解决问题，它只能确定范围，但是它不能确定具体的数，所以在过程中呢我们一般不用他解决具体数的问题。而具体数的问题，我们往往用含有未知数的等式来解决问题。我们这个小山坡，看见石块没有啊?这石块有这么多块，（在黑板上写字“石块159831”），其中呈薄片的有这么多块（在黑板上写字“薄片3849”），现在问形状呈不规则状态的有多少块？当然你说你摆个算式可以把它算出来，但我说的意思不在这里，当问题变得更复杂的时候，你怎么处理呢？你搞不清楚，你就可以假定，假定不规则的（在黑板上写字“不规则：X”）X块，反正不管是啥你随便假定一下，如果你要做这个假定之后，你就会清楚，就是不规则的加上呈片状的应该等于总数对不对？那么就是X+3849=159831，这是列出了一个等式，我们只要研究等式的运算规则，我们就能把这个数是多少就能给算出来。这个东西就叫方程，在现实中我们解决不知道的东西，我们往往利用相等关系来处理，这就是方程的诞生。方程的诞生呢，你这是讲数量关系，如果讲现实生活中更复杂的受力关系呀等等吧各种各样的关系，你只要能用函数建立这个关系，最后你解出来的解就是一个规律，虽然小但是现实生活中的一个规律。
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从哲学高度看小学数学（2）
（转载）
代数与算术的区别
那么现在，我再提一个问题。我们数学演进，这么一点点演进过来，从小学往上一点点演进，演进来演进去，你们会发现小学时候吧那个教材叫算术，算术主要介绍数，介绍加减乘除法，等介绍的差不多，然后开始上初中。上初中然后给你发一本书，这本书叫代数，那么什么叫代数？我们的数学要想不停留在具体问题上，你就必须解决这样一个问题（黑板上写字），必须解决通式问题！你要想解决通式问题呢，你就不能再停留在一个具体的数上，你比如说，最简单的东西，有这样一个长方形，长5米，宽2米，面积是多少呢？面积就等于5*2=10平米（在黑板上书写“5*2=10平米”），那我又有一个长方形，它是8米和2米，那么就是8*2，那么我要解决，任意一个矩形，也叫长方形，它的面积应该是什么呢，我就写成a*b，a标明长，b标明宽，就是你不管长宽是多少，都遵循这个关系，这就是个通式。人类要解决一个通式问题，而不是停留在某一个具体关系上了，于是，这个时候就开始出现代数。不是停留在具体什么东西上出现代数，你看代数呢，我们现在看，我们学代数的时候，学的顺序是什么？首先学整式，然后学分式，我们把整式和分式合起来称之曰代数式，是这样吧？在这里边我们常见到的运算，因式分解，在这里我们遇到这样一个东西，比如说，x+y2+x3+y3（在黑板上写“x+y2+x3+y3”），假如给你这样一个东西，然后你说在计算当中要对他提取公因式，然后它就变成一个因式关系了，什么叫因式？因，就是乘的意思，就变成一个相乘的关系了，原来是相加减的关系，后来变成相乘的关系了，我们现实当中常进行这种计算。进行这种计算的目的是什么呢？也是要把同类的问题，写一个同类的通式，同类问题都是这么处理。如果现实当中是3+52+33+53，代数，说穿了就是用一种未知的东西来代替任意的东西，然后我从而建立起他们之间的关系，这种关系它适合所有的同类问题。这就是为什么出现代数。我们同学讲，用方程解决问题，方程中也有若干个未知数，这个未知数呢它代表任意数，所以它也具有相通的性质，所以我们把它称之曰通式。这就是我们从小学开始，研究什么是数，然后各种各样的运算，然后到了初中开始有代数式，然后研究代数，这个里边除了加减乘除运算之外又加上乘方开方然后再加上三角函数再加上相应的什么东西，这里有方程，方程于是又出现方程组，然后又出现高次方程，其实说来说去都不过是这种基本的关系来演化，演化出更多更丰富的形式，而更多更丰富的形式无非就是为了解决实际问题。
所以你们想想整个从小学到初中学的这些数学，你只要把我说的这些基本关系搞明白了，再学数学就不发闷了。我们现在的教材以及老师讲课的弱点就是这样，他就是弄一个东西就让你算，然后就这么走，谁也不告诉你这是为什么，这是怎么回事，人们为什么要这么弄，啥也不知道。所以，有的孩子愿意思考呢，还把这个问题想了个大概，想明白一部分，还有一部分不明白。问题最糟糕在哪儿呢？我们的同学不进行思路开阔之外，他就不会往这些地方去想。我今天给你们随便这么讲一下，那么同学们想一想，在坐的读博士的硕士的都不少，你们平常有多少人自己想过这些问题，然后并且把这些问题想明白了，你别看这些问题很简单，其实这个世界没有什么太复杂的问题，简单的问题搞不懂的多了，放在一起就难了。我们学数学是这样的，学任何物理化学，包括文学呀，地理呀等等等，你学任何学科都是这些东西，你一定把它是怎么回事，就是它是从现实当中怎么来的，他们之间有怎么样的来龙去脉关系，一定把这些问题想明白，这些问题不想明白就是抽象对抽象，等抽象到一定程度了，你也不知道这是什么东西了，你也不知道是什么东西，还要你继续运算还要理解，就运算不下去了。为什么我们有很多人中途失学？就是积累的东西多到一定程度之后，怎么学也学不会了，烦了，说索性我就不学了，我也搞不懂索性我就不学了。把这些东西搞明白之后，你发现很多东西没那么复杂。原来不会的东西，你琢磨琢磨就能会。所以学习一定要变成以一当十，我们有很多人学哲学，学哲学，你不能把这些问题的本质搞清楚，哲学你就学不下去。其实有人说，某人是哲学脑袋，某人不是哲学脑袋，其实我觉得没什么哲学脑袋不哲学脑袋之分。只要说你小的时候再偶然的社会条件当中，你思考为什么思考多了，等到一定程度你跟同龄人相比较你对哲学问题理解快，否则就理解慢一些，甚至不理解，甚至理解歪了，这就是却别，什么哲学脑袋不哲学脑袋的。
公式与使用公式的本质是什么？
出一道一元二次方程的题目，要学生把求解步骤写清楚。学生求解后继续讲课。
我们解一元二次方程，通常说十字分解法啊，因式分解法啊，那么还有个公式法。那么既然提到公式法，我们同学就思考个问题，究竟什么叫公式？公式的本质是什么？为什么我们遇到问题一用公式，问题就能得到解决
在这个里边我们再回过头来讲方程的解法。一元二次方程的解法：因式分解法、十字相乘法还有个公式法。那么现在假定，我现在就有这样一个方程，一个通式，（黑板上写"ax2+bx+c=0")，我跟你们现在教材统一起来。ax2+bx+c=0这就是一元二次方程的通式。你只要是一元二次方程，我最后一定能给你化成这样一个标准形式。给我们这样一个方程，这样一个一元二次方程，我们现在要解它，（在黑板上推导出求根公式）
你只要给我一个一元二次方程，它的解一定是这个。拿出一个一元二次方程方程，把系数套到这里边，带到里边，就能把这个结果拿出来，这叫公式法。那么说到这里，就引出个我们所讲的公式的问题，公式，你们解释的那些东西都对。公式啊，就是公共的式子。就是同类问题都遵循这个式子这个关系的式子，这就是它的本质。你说你任意拿过来一个题，式子一带公式一带就对吗？使用公式的本质又是什么呢？使用公式的本质就是把前面的推导公式过程当中的所有的式子再重新使用一遍，或是节省了以前推导的过程而已。明白吗？就是说使用公式的过程实际就是把前面的式子重新推导一遍。你看，假如这个题我这么算也行。给我一个题，这个题是3x2-x-4=0，你给我这么个方程，我把这个方程撂在这里我没有做它，然后我就开始想：说这么个方程，于是我这个方程进行一系列配方跟前面的推导过程一样，于是呢，我就能得出这么一个东西（黑板上用公式法对3x2-x-4=0进行逐步的推导求解）。你只要愿意再推导一遍，只要不嫌麻烦，你再推导一遍没人管。再推导一遍有点傻，把公式套进去用了不就完了吗？这就告诉我们，你使用公式的过程，是推导的过程省略了，因为对所有的同类问题都遵循这个关系。公式公式，公共的式子，我只要用它直接代入进去用结果。用公式的过程实际是你在大脑里完成推导过程，在纸面上不做表达的过程，明白这个意思吧？
一旦你懂得用公式的哲学本质是什么，就是你在大脑里完成了这个问题的推导过程，直面上省略了过程，写结论就是了。那么，如果你这个题，它不适合这个公式，就是说你这个题呢就根本不可能产生这个推导过程，因此你说我省略了推导过程直接用结论，它肯定是不对的。所以你们通过这个事你们再想一想，为什么现在的教学有那么多同学初中读完之后高中就不读了？其实说不是我们的学生之过吧，可能也对，可能我们的学生懒得思考啊，这个话都对，但是如果真正遇到一个懂教育懂教学的老师把这些问题给你解释透了，那死带公式的现象呢就基本上会被克服了。不干那死带公式的傻事呢，可能物理学这一关也就过去了。
所以就记住，所有问题都是这样，你比如说我们同学学物理。
题目：现在有这么一个问题，说某开着车，过石拱桥，说这个石拱桥的半径是5米（开始在黑板上边画图边讲解）。然后开着这个吉普就上来了，上来之后呢，以每秒10米的速度，上来到跟我们水平呈60°角的时候，这个车的自重是2吨，2000千克，以每秒5米的速度通过这个半径是5米的拱桥，问这个时候，这个北京吉普对这个桥面的正压力？
我们遇到这个问题我就不仔细解了，这个问题挺简单的，首先进行一个受力分析，我们把这个车就看成是一个小木块吧，这个小木块呢地球对它有个引力，质量是m的话呢，引力就是mg，我这个桥面给它一个正的支撑力，叫做N，那么在这里面呢，水平方向还有一个摩擦力，摩擦力是使它向前的，向前推它，它在运行的过程当中呢还产生一个反向的惯性力，反向的惯性力就是往外摔，我们把这些力都分析完了之后，我们就列方程就完了，这个反向的惯性力等于什么呢？等于mv2r。在这里边，你建立一个坐标轴，把这两个方向的受力列个方程，出来了。
解这个的核心过程是什么呢？还是利用这个公式。你利用这个公式的过程，实际上就是老师在讲公式时推导的过程。因为你们学的是匀速的圆周运动，你没有学变速圆周运动，变速圆周运动在大学的理论力学部分才学这些东西。假如说这是圆点，假如说我这里有个小球在这里做圆周运动，它在这里转，它在这里的速度假如说我叫V1，那么它经过Δt这么多的时间，它现在运动到这里，它的速度是V2，而V2和V1是什么关系呢？它的大小相等，方向不同，它是方向不断改变的，方向不断改变也能产生加速度，然后利用相似关系最后导出这样一个公式来。就是你运用这个公式的过程就好像我把这个导来导去又导了一遍一样。每个题都要导一遍，因此咱也就不导了，不在纸上写了，你在你大脑里导了一遍，我就知道它已经把这个公式推导了一下。公式的本质就这个意思，没有什么更神秘的东西。
既然人类在解决这些问题的时候，应用公式已经约定俗成了，于是我们教学当中呢老师习惯于教同学带公式。于是就产生了一个新的假定来解释，叫“归一化思想”，什么意思呢，就是你我不管你给我什么样的东西，我总把你化成跟我的公式的前提一样，然后呢我再进行计算，化成一样就是归结成同一个模式，这叫归一化思想。就是你不管给我什么样的，我最后只有用这个形式，才能用公式法。
所以我们说来说去啊，不管是小学数学还是中学数学还是更高层的数学，思想都是这些最基本的东西。你把这些最基本的东西弄明白了，你的数学就能学好，相应的学科也能学好。这些东西弄不明白你就越学越糊涂，深入迷雾一样。别看有些同学解题很快，其实是把解题作为一种游戏作为一种技巧来进行，根本不知道这个演绎过程跟现实当中有什么关系。这就好像玩游戏玩熟了一样，他不知道关系是什么。所以，你看同学们现在高分低能不就这样吗？给你个一元二次方程要你算题你甚至算的比我还快，可是问到为什么在这个地方可以用到求根公式，求根公式意味着什么，答不出来，就说明你根本就不懂。我们做教育，就是既要让同学们学习课程内容，又要抓紧一切机会让同学们明白道理。如果这些道理明白不过来，你要说越学越蠢呢，这话可能夸张一些。总而言之，学了也不聪明，这倒是真的。
为什么有知识的我们没有古人的智慧？
我们都知道在中国的今天也好，世界的今天也好，我们如果想找出来若干个人，让这些人不管是在科学知识上，比如说数学、物理、化学、生物学、医学等等等等这些学科上，甚至也包括一些社会科学上，比如说伦理学、宗教学、法学等等这些学科，包括一些人文科学，比如说文学呀一些学科吧，管理学等等。你找这些方面的单科知识或者是综合知识，超过春秋时期的老子，就是李耳，老聃，超过他的人呢到处都是，可为什么这些人就写不出来像《道德经》这样的哲学著作呢？为什么我们称老子是大师，把那些人不当个东西呢？我们所说的这些知识丰富的人，甚至思想也比较丰富，这些人有这么多的能耐，为什么不能向人类贡献一部类似《道德经》的东西呢？你们谁解答一下看看。如果哪些同学认为我这个问题提的就不对，你也可以帮我更改这个问题。
好几个学生尝试回答了这个问题。
那么我现在把问题重新说一遍：老子既然能在两千五百年前把《道德经》写出来，那么说明什么呢？说明在两千五百年前，那个时候人们所掌握的知识，就已经够写《道德经》的了，是吧？从知识的角度看，你够写《道德经》的了。而那个时代有那样的知识就能够把道德经这样水平的东西写出来，那么同样道理，我们今天所掌握的知识比老子那个时代要丰富很多很多倍，那么我们不仅仅应该出现类似老子这个水平的东西，还应该出现比老子水平更高的东西。而事实上我们知识丰富的这些人老子那个水平的东西也搞不出来，我问这是为什么？
你们说的还是有道理的。到现在为止，说的有道理的比较多了，回答非常简单：今天这些人学的东西太浮！他学的东西没有贯通，因此就没有产生思想。思想，这是问题的根本。其实跟我们今天讲的东西一样，你以为我们今天讲的东西我们问那些院士们，他们就能回答的上来吗？照样回答不上来。他们能够回答上来，就能写出老子这个水平或者比老子水平还高的东西。是因为他们回答不上来。知识需要贯通，需要真懂。现在我们大量的人学东西是假懂。而在我们这个时代可怕当中还有个更可怕的东西，就是熟知非真知的东西害我们害的很厉害。什么东西吧，给你一提，都觉得很懂。事实上，真问你，你并不懂。真正的大家，就是把那些熟知非真知的东西给你解释的很深刻，那就叫真正的大家。
物理学到底是一个什么性质的学科？
你们记住，当你们学什么东西就像我们今天谈数学一样，其实我们几天谈的并不是很深刻，还要讨论呐占用了不少时间。当你学什么东西，你能学到像我们几天谈的这个程度，那就很不错了。如果你能比这个程度再深，那就更好了。达不到这个程度，那就是你有知识，最后什么用都没有。你比如说咱们再坐的，有不少都学过物理学，有的还要继续学物理学，学下去的。物理学到底是一个什么性质的学科？我们拿这个问题可以问清华北大的院士，不见得谈得深。
当今我们就不要谈什么实验物理了，即使是谈理论物理，究其本质而言，仍然是一门实验科学。你说吹了半天，就说了这么一句话呀。我说我告诉你，你要学理论物理，你要能悟出这个道理，就说明你真懂物理了。你开始有物理学思想了。否则就是那么回事。不懂物理吧，你还能做俩实验，还能算几道题，还能写几篇论文。说你懂物理吧，你又不真懂。像那个水平，你永远也写不出老子这个档次的东西来。我要通过这个东西告诉你们一个道理，学什么东西一定要做到融会贯通。否则没什么用，死记硬背肯定比不背不记要好，但是究其根本上来说还是害自己的东西。
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