很经典的静电场散度和旋度 梯度散度旋度

静电场的散度和旋度

现在,让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.

1.矢量场的散度和高斯定理 (参见教材P848)

在连续可微的矢量场A中,对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V,其闭合曲面为S,定义矢量场A通过S的净通量与△V之比
的极限
(1.7-1)

为矢量场 A在该点的散度(divergence of A)
很经典的静电场散度和旋度 梯度散度旋度
它是一个标量.显然
若 则该点散度▽·A ≠ 0,该点就是矢量场A的一个源点

若 则该点散度▽·A = 0,该点不是矢量场A的源点

若所有点上均有 ▽·A = 0,A就称为无散场.

在直角坐标系中

(1.7-2)

▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式,见教材P850.

高斯定理(Gauss, Theorem)

对任意闭合曲面S及其包围的体积V,下述积分变换成立:
(1.7-3)

即,矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量,等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.
由此可知,若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零,它就是无散场,即处处有▽ ·A = 0.这意味着,无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.

2.电场的散度方程

大家已经知道,电场的高斯定理是个积分方程

(1.7-4)
其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) ),(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分,因此有

设想体积V缩小成包含某点P(x,y,z)的无限小体积元dV,便得
(1.7-5)

这就是电场高斯定理的微分形式——电场的散度方程.它表示电荷分布点,即r ≠ 0 的点上▽ ·E ≠ 0, 这些点就是电场的源点.

3.矢量场的旋度和斯托克斯定理 (参见教材 P853)

在连续可微的矢量场 A中,我们设想将A绕着某个很小的闭合路径 L积分 ,△S=△S 是L围成的面积元矢量, 并且约定:
面积元△S 的法向,与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P(x,y,z)的无限小邻域,定义如下极限

(1.7-6)
为矢量场 A的旋度▽×A (curl of A , rotation of A )
在 方向的投影
按上述约定
若(▽×A)n为正值,则A的场线在该点周围形成右手涡旋
若(▽×A)n为负值,则A的场线在该点周围形成左手涡旋
若(▽×A)n =0,A线在该点不形成涡旋
如果在所有点上均有▽×A =0,则A场就称为无旋场
在直角坐标系中,A的旋度为
(1.7-7)
▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式,见教材 P855.

斯托克斯定理(Stokes, Theorem)

对任意闭合路径L及其围成的曲面S,下述积分变换成立:
(1.7-8)

即,矢量场A沿任意闭合路径L的环量,等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分.
由此可知,若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零——保守场,它就是无旋场,即处处有▽×A = 0.

4.静电场的旋度方程

我们知道,静电场是一个保守场,即对任意闭合路径L ,E 的环量均为零

(1.7-9)

据斯托克斯定理(1.7-8),我们可得到(1.7-9)的微分形式

▽× E = 0 (1.7-10)

这表示,静电场是无旋场.如大家所知,静电场的E 线始发于正电荷,终止于负电荷,E线无涡旋状的结构磁场线(B线)则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构. (1.7-5)和(1.7-10)是静电场两个基本的微分方程.

静电场的两个基本的微分方程

至此,我们已经得到静电场的两个基本的微分方程:

(1.7-5)

▽× E = 0(1.7-10)
(1)这两个方程分别是静电场的高斯定理

和环路定理

的微分形式
(2)这两个方程描述了静电场的有源无旋性质:
电荷分布点是电场的源点
静电场的场线无涡旋状结构


  

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