高中数学常用公式及结论2 高中数学竞赛常用公式

41 含有绝对值的不等式 :当a> 0时,有

  .

  或  .

42 斜率公式 :

  (  、  ).

43 直线的五种方程:

(1)点斜式  (直线  过点  ,且斜率为  ).

(2)斜截式  (b为直线  在y轴上的截距).

(3)两点式  (  )(  、  (  )).

两点式的推广:  (无任何限制条件!)

(4)截距式  (  分别为直线的横、纵截距,  )

(5)一般式  (其中A、B不同时为0).

直线  的法向量:  ,方向向量:

44 夹角公式:

(1)  . (  ,  ,  )

(2)  .(  ,  ,  ).

直线  时,直线l1与l2的夹角是  .

45  到  的角公式:

高中数学常用公式及结论2 高中数学竞赛常用公式
(1)  .(  ,  ,  )

(2)  .(  ,  ,  ).

直线  时,直线l1到l2的角是  .

46 点到直线的距离 :  (点  ,直线  :  ).

47 圆的四种方程:

(1)圆的标准方程  .

(2)圆的一般方程  (  >0).

(3)圆的参数方程  .

(4)圆的直径式方程  (圆的直径的端点是  、  ).

48点与圆的位置关系:点  与圆  的位置关系有三种:

若  ,则  点  在圆外;

  点  在圆上;  点  在圆内.

49直线与圆的位置关系:直线  与圆  的位置关系有三种(  ):

  ;  ;  .

50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,  ,则:

  ;

  ;

    ;

  ;

  .

51 椭圆  的参数方程是  . 离心率  ,

准线到中心的距离为  ,焦点到对应准线的距离(焦准距)  。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:  .

52 椭圆  焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

  ,  ;  。

53椭圆的的内外部:

(1)点  在椭圆  的内部  .

(2)点  在椭圆  的外部  .

54 椭圆的切线方程:

(1) 椭圆  上一点  处的切线方程是  .

(2)过椭圆  外一点  所引两条切线的切点弦方程是  .

(3)椭圆  与直线  相切的条件是  .

55 双曲线  的离心率  ,准线到中心的距离为  ,焦点到对应准线的距离(焦准距)  。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:  .

焦半径公式  ,  ,

两焦半径与焦距构成三角形的面积  。

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1)若双曲线方程为    渐近线方程:    .

(2)若渐近线方程为        双曲线可设为  .

(3)若双曲线与  有公共渐近线,可设为

(  ,焦点在x轴上,  ,焦点在y轴上).

(4)焦点到渐近线的距离总是  。

57双曲线的切线方程:

(1)双曲线  上一点  处的切线方程是  .

(2)过双曲线  外一点  所引两条切线的切点弦方程是  .

(3)双曲线  与直线  相切的条件是  .

58抛物线  的焦半径公式:

抛物线  焦半径  .

过焦点弦长  .

59二次函数    的图象是抛物线:

(1)顶点坐标为  ;(2)焦点的坐标为  ;

(3)准线方程是  .

60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式



(弦端点A  ,由方程  消去y得到

  ,  为直线  的倾斜角,  为直线的斜率,  .

61证明直线与平面的平行的思考途径:

(1)转化为直线与平面无公共点;

(2)转化为线线平行;

(3)转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径:

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。

63证明平面与平面的垂直的思考途径:

(1)转化为判断二面角是直二面角;

(2)转化为线面垂直;

(3) 转化为两平面的法向量平行。

64 向量的直角坐标运算:

设  =  ,  =  则:

(1)  +  =  ;

(2)  -  =  ;

(3)λ  =  (λ∈R);

(4)  ·  =  ;

65 夹角公式:

设  =  ,  =  ,则  .

66 异面直线间的距离 :

  (  是两异面直线,其公垂向量为  ,  是  上任一点,  为  间的距离).

67点  到平面  的距离:

  (  为平面  的法向量,  ,  是  的一条斜线段).

68球的半径是R,则其体积  ,其表面积  .

69球的组合体:

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为  的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高  的  ),外接球的半径为  (正四面体高  的  ).

70 分类计数原理(加法原理):  .

分步计数原理(乘法原理):  .

71排列数公式 :  =  =  .(  ,  ∈N*,且  ).规定  .

72 组合数公式:  =  =  =  (  ∈N*,  ,且  ).

组合数的两个性质:(1)  =  ;(2)  +  =  .规定  .

73 二项式定理  ;

二项展开式的通项公式    .

  的展开式的系数关系:

  ;  ;  。

74 互斥事件A,B分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).

  个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

75 独立事件A,B同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B).

n个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An).

76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率:

77 数学期望:

数学期望的性质

(1)  . (2)若  ~  ,则  .

(3) 若  服从几何分布,且  ,则  .

78方差:

标准差:  =  .

方差的性质:

(1)  ;

(2)若  ~  ,则  .

(3) 若  服从几何分布,且  ,则  .

方差与期望的关系:  .

79正态分布密度函数:  ,

式中的实数μ,  (  >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.

对于  ,取值小于x的概率:  .



80  在  处的导数(或变化率):

  .

瞬时速度:  .

瞬时加速度:  .

81 函数  在点  处的导数的几何意义:

函数  在点  处的导数是曲线  在  处的切线的斜率  ,相应的切线方程是  .

82 几种常见函数的导数:

(1)  (C为常数).(2)  .(3)  .

(4)  . (5)  ;  .

(6)  ;  .

83 导数的运算法则:

(1)  .(2)  .(3)  .

84 判别  是极大(小)值的方法:

当函数  在点  处连续时,

(1)如果在  附近的左侧  ,右侧  ,则  是极大值;

(2)如果在  附近的左侧  ,右侧  ,则  是极小值.

85 复数的相等:  .(  )

86 复数  的模(或绝对值)  =  =  .

87 复平面上的两点间的距离公式:

  (  ,  ).

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程  ,

①若  ,则  ;

②若  ,则  ;

③若  ,它在实数集  内没有实数根;在复数集  内有且仅有两个共轭复数根  .

  

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