爱华网 早在上学期学有限元的时候，就接触到高斯积分点和高斯积分精度的问题。当时就不明白那些积分点坐标是怎么来的；所谓的多少多少阶精度，然后高斯积分又有比插值函数高一阶的精度……不过反正讲课的重点也不在这里，讲的时候装出一副“这是很基本的道理”的样子，也就糊弄过去了。
事隔半年，终于得到了一个可以理解的解释，与各位《数值分析》的学人共勉。
我们知道，精确积分的方法是将函数曲线下方的空间划分成一个个小的曲边梯形，用直边梯形的面积近似代替曲边梯形。当各梯形的高趋于无穷小的时候，就得到了曲线下方的面积，也即要求的积分值。
而数值积分就不是这么回事了。虽然看上去也是将下方区域划分成一段一段，但划分完之后不是求各梯形的面积，而是只用各节点上的函数值。每一个节点函数值乘上一个系数，最后全部加起来，就是所得的数值积分值。
精确积分和数值积分的关系可以用下式来表示。
数值积分所要研究的内容，就是如何取A和x的值，使两者的值精确相等。
（下面注意了，积分精度的概念马上就要出来了！！）
积分精度的定义：若积分的数值积分公式
对于任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立，而存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m。
举一个例子，很容易说明。
设有积分公式：
求该积分公式的代数精确度。这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。
解:(1)取f(x)=1，定积分，而数值积分，两端相等；
(2)取f(x)=x，定积分，而数值积分，两端相等；
(3)取，定积分，而数值积分，两端不相等；
只要取f(x)=1，f(x)=x验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。
再举一个例子：在如下求积公式中，求积分节点和相应的求积系数使其代数精确度尽可能高。
解：(1).f(x)=1，，而数值积分为；得到方程
(2).f(x)=x，，而数值积分为；于是得到方程
(3).，而数值积分为；于是得到方程
(4).，而数值积分为；于是得到方程；
综合上述方程：
解这个方程组，得到：
于是我们得到积分公式：
这，就是数值积分点坐标和积分系数的由来。
而这个式子，又是显然带有明显的局限性的，即只能保证对给定次数的多项式有效。这，就是所谓的积分精度
再取，有，而数值积分为，两式不相等，求积公式不精确成立了。所以，该积分公式的代数精确度为3。
