爱华网【资料】印度数学家拉马努金（一）（待校
对，公式图片未上传，待编辑）
2014-02-12 19:32 http://www.guokr.com/post/562976/?_block=post_quality&_pos=0
印度数学家拉马努金（这篇文章出自《数学家思想文库一个数学家的辩白》，我做了一些校对和修正。）
本文系哈代于1936年8月31日在哈佛文学和科学三百年纪念大会上发表的演讲。详见本文末的注释。
在这些演讲中我赋予自己一项真正困难的使命，如果我决意一开始就提出种种失败的借口，那就几乎不可能来做这些演讲了。我必须自己，并且试图帮助你们对近代数学史上这位最浪漫的人物进行某种理智的评价，而我以前从没有真正形成这种评价。这个人的数学生涯看起来充满了矛盾和争议，他向几乎所有我们习惯的评价原则挑战，我们所有的人对于他的评价大概只有一点意见是一致的，那就是在某种意义上他是一位非常伟大的数学家。
评价拉马努金的困难显而易见而且难以克服。拉马努金是一个印度人，我认为一个英国人和一个印度人要彻底相互理解往往并不容易。他充其量只是一个半受教育的印度人，他从未在接受正统的印度教育方面胜人一筹，null何况这种教育原不足称道。他从没能通过一所印度大学中的“优等文科考试”，甚至也从未能凑合着成为一名“不及格的文学士”。他一生中大部分时间都在对现代欧洲数学完全无知的情况下工作，他30岁出头就去世了，这时，在许多数学方面，他几乎还没受过教育。他发表的作品很丰富——他发表的论文集结成近400页的一大卷——但还有大量未发表的工作，直到近几年才被彻底地分析。这些工作包含许多新东西，但更多的是再发现，而且通常是不完善的再发现。有时候仍然不可能区分哪些是他再发现的，哪些是他设法学习到的。甚至现在，我也想象不出有人能满怀信心地断言，他是一个多么伟大的数学家，更不必说他可能会成为多么伟大的数学家。
这些都是名副其实的困难，但是我想我们会发现其中有些比它们看起来要容易解决，而且我的最大困难与拉马努金数学生涯的明显矛盾没有关系。我的真正困难在于，从某种意义上说，拉马努金是我的发现。我并没有发明他——像其他伟人一样，他发明了自己——但在有幸看到他的某些工作的人中，我是第一个真的能理解它们的人。我依然满意地记得我当时能够立刻确认我发现了一块怎样的瑰宝。我想我比所有人都更了解拉马努金，我依然是拉马努金这个特殊课题的首要权威。对于拉马努金的某部分工作，英国还有其他人比我了解的更清楚，尤其是沃森(Watson)教授，还有莫德尔(Mordell)教授，但无论沃森还是莫德尔都不像我那样熟悉拉马努金本人。有几年时间我几乎每天都见到他，同他交谈，最重要的是，我切实地同他合作过。在这个世界上，除一个人①之外，我得益于他胜过得益于世上其他任何人，同他的交往是我生活中的一段浪漫的插曲。难处不在于我对他了解不够，而在于我了解和感受得太多了，以至于我无法做到不偏不倚。
关于拉马努金生平的一些事实，我引用艾亚尔和拉奥，他们写的拉马努金传记连同我写的，发表在拉马努金的《论文集》中。拉马努金1887年出生于马德拉斯管区坦焦尔(Tanjore)县的一个中型镇——贡伯戈纳姆附近埃罗德的一个婆罗门家庭。他父亲是贡伯戈纳姆一家零售布店的店员，他所有的亲戚尽管种姓很高，但都很贫穷。①指J．E．利特尔伍德。——一译注
7岁时他被送到贡伯戈纳姆中学，在那儿读了9年。在10岁之前他的特殊才能就已使他脱颖而出，到12或13岁时，他被看成一个天赋异禀的孩子。他的传记作者讲述了他早年的一些令人惊异的故事。例如，他们说，他开始学习三角学后不久就独立发现了“欧拉正弦和余弦定理”(通过它我理解了圆函数和指数函数之间的关系)，当他后来从龙内的《三角学》第二卷中发现这是一个已知结果时失望之极。直到16岁，他从未见过高层次的数学书。那时惠特克(Whittaker)的《现代分析》还没有流传到那么远的地方，布拉米奇的《无穷级数》还没出版。毫无疑问，如果得到这两本书中的任何一本都将大大改变他的人生之路。然而另一本完全不同类型的书，卡尔的《概要》，最先激发了拉马努金的全部能力。
卡尔的书(《纯粹和应用数学基本结果概要》，作者G．S．卡尔以前是剑桥冈维尔和凯厄斯学院的学者，该书1880和1886年出版两卷)现在几乎找不到了。剑桥大学图书馆存有一个复制本，恰巧贡伯戈纳姆政府大学图书馆中有一本，拉马努金的一个朋友帮他借到了它。这本书在任何意义上都不是一本出色的书，但拉马努金使它著名起来，无疑这本书深刻地影响了拉马努金，而且对这本书的熟稔标志着他数学生涯的真正起点。这样的一本书定然有它自身的品质，纵使卡尔的书不是什么高级的书，但也并不是三流的教科书，而是一本以真正的学者身份和热情写成的、具有自身的风格和特点的书。卡尔本人是伦敦的一位私人教师，大约40岁时来到剑桥做学生，是1880年数学荣誉学位考试第12名(同年他出版了著作的第一卷)。现在除了拉马努金使他的名字保持活力，他已完全被遗忘了，甚至在他自己的学院里也是如此。但他定然在某种程度上是一个相当出色的人。
我猜想这本书实质上是卡尔辅导笔记的概要。如果你是卡尔的一名学生，学习了《概要》中的适当章节。该书大约包含了现在的数学荣誉学位考试A等级部分的课题(因为这些课题在1880年剑桥大学已为人所理解)，并且确实像它自称的那样是个“概要”。它包含了6165条定理的阐述，这些定理系统而十分科学地排列着，附有的证明通常只比参照其他书中定理稍详细一点儿，绝对是这本书中最无聊的部分。所有这些在拉马努金著名的笔记本(它实际上根本不包含证明)中被夸大了，学习笔记本的学生都能够看出拉马努金展示定理的方式是以卡尔为模范复制来的。
卡尔书中有些章节讨论代数，三角学，微积分和解析几何等常见的科目，但有些章节描绘的详尽程度不一样，尤其是积分的形式理论，这似乎是卡尔宠爱的专题，对它的论述非常充分而且在这方面显然很不错。而书中没有函数论，我非常怀疑拉马努金直至他生命的尽头，是否完全清楚地理解了什么是解析函数。更为令人吃惊的是，考察卡尔本人的兴趣和拉马努金稍后的工作，都没有发现椭圆函数。不管拉马努金怎样获得了他关于这一理论的非常特别的知识，它不是来自卡尔。
总之，作为对于一个具有如此不寻常天赋的孩子的鼓舞者，卡尔不算太糟，而且拉马努金的反应则是令人惊艳的。他的印度传记作者，写道：
在这个向他开启的新世界里，拉马努金兴高采烈地漫游着。正是这本书唤醒了他的天赋，他开始认真证实书中给出的公式。由于没有其他书的帮助，就他所及，每个解法都是一项研究……拉马努金常说娜玛卡(Namakkal)女神在梦中用公式向他启示。一个奇怪的事实是，他经常在起床时记下结果并迅速地证明它们，尽管通常他不能给出一个严格的证明……
①引文(除那些出自我自己关于拉马努金的回忆录外)出自艾亚尔和拉奥。——原注
我故意引用了最后几句话，并不是因为我重视它们——我同你们一样对娜玛卡女神毫无兴趣——而是因为我们正探讨拉马努金生涯中困难和悲剧性的部分，我们必须尽我们所能去试着理解他的心理状态以及早年笼罩在他周围的气氛。
我肯定拉马努金并不神秘，除在一种严格的物质意义上，宗教在他的生活中并不重要。他是正统的、高种姓的印度人，通常恪守(在住在英国的印度人中，他恪守的严厉程度极为罕见)所有他的种姓的仪式。他曾向父母许诺这样做，并在字面意义上恪守他的诺言。他是最严格的素食者——在他后来生病时，这一点使他陷入了困境——他在剑桥所有的日子里都是自己做饭，而且总是先换上教徒穿的宽松衣裤再做。
发表在《论文集》上的两篇关于拉马努金的回忆录(都是由在不同侧面对拉马努金很熟悉的人写的)在关于他的宗教信仰方面观点截然相反。艾亚尔和拉奥写道：
拉马努金有明确的宗教观，他对娜玛卡女神怀有特殊的崇敬……他相信至高神的存在以及人也能具有神性……他已树立起关于此世与彼世问题的信仰·。…．
而我写道：
……他的宗教观念不过是对仪式的谨守而非头脑清醒的信念，我清楚地记得他告诉我(很令我吃惊)在他眼里，所有的宗教都或多或少同样真实……
我们谁是对的?对我来说我根本毫无疑虑，我十分自信我是对的。
我相信古典文学学者有一个基本的校勘原则——nulldifficiliorlectio potior——越难解读的越准确——在文献批评学中。如果坎特伯雷大主教告诉一个人他信仰上帝，而告诉另一个人他不信，那么第二个阐述更可能是事实，因为否则的话就无法解释他为什么这么说，而有太多出色的理由可以解释为什么他要作第一个阐述——无论它是否是事实。类比一下，如果像拉马努金这样严格的印度教徒告诉我——他确实这么做了——他并没有确定的信仰，那么有100:1的概率，他说的是真实想法。
这个想法不足以让拉马努金伤害他双亲及他的印度朋友的感情。他不是一个理性的无神论者，而是一个严格意义上的“不可知论者”，他认为印度教或其他宗教都没有什么特别的好处或坏处。印度教比起，比方说吧，基督教来，更是一种仪式的宗教，是否有信仰简直无足轻重。如果拉马努金的朋友觉得他接受了这种宗教传统的教义，那么拉马努金没有必要去让他们幻灭，事实上，他是在实行一种十分无害的而且可能是必要的少说真相原则。
关于拉马努金信仰的这个问题本身并不重要，但也并非完全是离题，因为有一件事我确实希望尽我所能地强调。拉马努金身上难以理解的东西已经够多了，我们没必要再偏离正常的途径来捏造神秘感。就我而言，我足够喜欢他并且爱慕他，以至于我希望从理性的角度来谈论他。而且我想向你们澄清，当拉马努金健康舒适地在剑桥生活时，尽管有些古怪，他是一个理智、健全的人，而且，以他特有的方式，他和这里其他的人一样精明。最后，我最不想看到你们做的事情就是举起双手承认“他身上有一些难以理解的事，一些古老的东方智慧的不可思议的现象。”我才不相信什么古老的东方智慧，我想介绍给你们的是一个像其他伟人那样有自己小怪癖的人，是一个在与他的交往中，人们能以与他饮茶交谈，讨论政治和数学为乐的人。总之，我要给你们看的不是一个来自东方的奇观，也不是一个蒙神启示的白痴或心理怪诞的人，而是一个恰巧成为伟大数学家的理智之人。
一直到大约l7岁，拉马努金一切都很顺利。
1903年12月，他通过马德拉斯大学的入学考试，翌年一月进入贡伯戈纳姆政府大学的初级文科班学习，并获得苏布拉马尼亚姆(Subrahmanyam)奖学金，这一奖学金通常授予精通英语和数学的学生…．．．
但此后一系列悲剧性的事件发生了。
到此时，他如此专心于数学学习以致于把所有的课时——无论是英语、历史还是哲学的——都用于从事一些数学研究，而对班里发生的事漫不经心。对数学的这种过度投入以及由此对其他学科的忽视致使他未能升入高班，随后奖学金也中断了。一方面由于失意，另一方面由于一位朋友的影响，他跑到北方的泰卢固(Telugu)地区，但漫游了一段时间后，又返回贡伯戈纳姆重新进入大学。由于缺课，1905年他没能保证足够的出席率以得到学期证明。1906年，他进入马德拉斯的帕凯亚帕(Pachaiyappa)学院，但因生病又回到贡伯戈纳姆。1907年12月，他以个人学生身份参加美术考试但没有通过……
直到1912年，除数学之外，拉马努金似乎没有固定的职业。1909年他结婚了，有必要有个长期的工作，但由于那不幸的大学经历，他找工作非常困难，大约19l0年，他找到了比较有影响的印度朋友，艾亚尔和他的两位传记作者，他们试图帮他找一个过得去的职位，但所有的努力均告失败。1912年，他成为马德拉斯港务局办公室的一名职员，年薪大约30英镑，那时，他差不多25岁，18至25岁对一个数学家的生涯来说是关键的年龄段，但拉马努金却已受到了损害。他的天赋再也没有得到充分发展的机会。
关于拉马努金以后的生活没有更多可说的。他第一篇有价值的论文发表于1911年，1912年他的超常天分开始为人所理解。值得注意的是，尽管印度人对他很友好，但只有英国人能够做一些实在的事。斯普林(F．Spring)先生和沃克(G．Walker)先生帮他得到了特殊奖金，一年60英镑，这对于一个结了婚的印度人来说足可以过得比较舒适。1913年初他写信给我，我与内维尔(Neville)教授克服了重重困难，使他1914年来到英国。在这里他度过了三年不受干扰的活跃时期，其成果你们可在《论文集》中读到。1917年夏天他得了病，再也没有真正地康复，尽管他还继续工作，工作当然只能断断续续地进行，但直到1920年他去世，也没有明显的水准下降迹象。1918年初，他成为皇家学会会员，同年稍晚，他成为剑桥大学三一学院研究员(他是第一个同时获得这两个头衔的印度人)。他的最后一篇关于“伪—Theta函数的数学信件大约写于他去世前2个月，这也是去年沃森教授向伦敦数学会做的主席演讲的题目。
拉马努金的真正悲剧不是他的早逝。当然任何伟人年纪轻轻就死去都是一种灾难，但数学家30岁通常已比较老，他的死也许不像看起来那样是一种悲剧性的结局。阿贝尔死于26岁，尽管他定然本可能为数学增添许多内容，但他似乎难以成为一位更伟大的人物。拉马努金的悲剧不在于他的早逝，而是，在那不幸的5年中，他的天赋被引向歧途，受到束缚并在某种程度上被扭曲。
我重读了16年前我写的关于拉马努金的文字，虽说如今我比当初更了解他的工作，忆念起他也不复那般炽情，但我找不到太多我特别想修改的地方。只有一句话现在在我看来是不可原谅的。我写道，
关于拉马努金的工作有多重要，该用什么样的标准来评判他，他的工作对未来的数学家有多大影响，人们可能会众说纷纭。他的工作缺乏那种最伟大的工作所具有的必然性和简洁性；如果它们不那么奇特的话，会更伟大些。然而这些工作有一样闪光点，是不容否认的，即深刻和无与伦比的独创性。若是他在年轻时更早被抓住和接受数学训练，他可能会成为一个更伟大的数学家，会发现更多全新的，并且，无疑是，更重要的东西。在另一方面，那样他就会变的不再像拉马努金，而更像一位欧洲教授，所失也可能会大于所得。
我坚持以上的观点，只除开最后一句话，它颇似荒谬的感情用事。当贡伯戈纳姆大学拒绝了他们曾拥有的一个伟大的人物时，它当然是一无所获，而损失却是不可弥补的。这是我所知道的无能，僵化的教育体制造成损害的最糟糕的例子。他要求得那么少，只要给他5年中每年60英镑，让他与有真知灼见和有想象力的人偶尔能有接触，这个世界就会得到一个最伟大的数学家。
拉马努金给我的信全文重印在《论文集》中，包括大约120条定理的简洁叙述，大部分是从他的笔记本中摘录的规范的恒等式。我引用了很有代表性的15条，其中包括两条定理(14)和(15)，它们与其他定理一样有趣但其中一条是错的，另一条，这么说吧，是误入歧途了。其余的后来都被某些人证实了，尤其是罗杰斯(Rogers)和沃森找到了特别困难的定理(10)一(12)的证明
我希望你们试着重构一位普通的数学教授收到一位陌生的印度职员这样一封信时的第一反应。
第一个问题是我是否能够识别出一些东西。我自己已证明了颇像(7)那样的公式，而且似乎对(8)模模糊糊有些熟悉。事实上(8)是经典的，它是拉普拉斯的一个公式，最先由由雅可比证明。(9)出现在罗杰斯1907年发表的一篇论文中。作为一位定积分专家，我想我也许会证明(5)和(6)，而且的确做到了这一点，尽管遇到的麻烦比我预想的要多得多。总之，积分公式看来没给人留下什么特别印象。
我发现级数公式(1)一(4)更有趣，很快就明显地看到拉马努金掌握的一定是更基本的原理，而且他袖子里还有乾坤。第二个是勒让德(A．M．Legendre)级数理论中很著名的一个鲍尔(Bauer)公式，但其余的公式看似简单实际很难。现在能在贝利(Bailey)关于超几何函数的剑桥小册子中找到这些公式的证明。
公式(10)一(13)有着截然不同的水准，而且显然都很困难和深奥。椭圆函数方面的专家能够立刻看出(13)是以某种方法从“复乘法”理论中推导出来的，但(10)一(12)完全难倒了我，我以前从未见过与它们有丝毫相像的公式。单单看一眼就足以说明这些公式只能出自最高级的数学家之手。它们一定是对的，因为否则的话，没人能具有这样的想象力去发明它们。最后(你必须记住当时我对拉马努金一无所知，不得不考虑每种可能性)，作者必定是完全诚实的，因为具有这种不可思议的水平的小偷和骗子比伟大的数学家更难找到。
最后的两个公式分开列出是因为它们不正确，这表现了拉马努金的局限，但它们仍然是拉马努金非凡才能的额外证据。(14)中的函数是系数的真正近似，尽管不像拉马努金想象的那么靠近。拉马努金的错误式子可以说是他曾做出的最富成果的工作之一，因为它最终指引了我们在分析方面的所有的合作研究。最后(15)，虽然确实是“对的”，却一定会使人误解(拉马努金真的陷入了误解)。作为一个近似，式中的积分并不比1908年兰道(Landau)发现的简单函数（16）更精确。拉马努金因素数分布问题的一个错误类推而被引向歧途。我稍后再谈拉马努金在数论方面的工作。
若要细究起来，拉马努金很大一部分工作肯定会被证明是已经被发现的。他面临的是null不可逾越的障碍，一个贫穷孤寂的印度人和欧洲人世代积累起来的智慧拼脑子。他根本没得到过真正的教育，印度没人有这个水准教他。他充其量只能见到三四本高质量的书，都是英语的。他生命中有段时期进入了马德拉斯的图书馆，但那不是一个好的图书馆，只有极少的几本法文或德文书，而且无论如何拉马努金对这两种语言一窍不通。我估计拉马努金在印度的最好工作大约三分之二是再发现，其中只有较少的一部分在他有生之年发表出来，不过沃森系统研究他的笔记本后发掘了更多的东西。
拉马努金发表的大部分工作是在英国做出的，当时他的头脑已经僵化到一定程度，根本不可能成为一个“正统”的数学家，但他还是学会了做新的工作，而且做得相当不错。系统地教他是不可能的，但他逐渐吸收了一些新观点。特别是他学会了什么叫证明，他后期的论文，虽然在某些方面和从前一样奇异和特别，但读起来已像受过良好教养的数学家的作品。不过他的方法和工具实质上还是一如既往。一些人会认为像拉马努金这样的形式主义者会对柯西(Cauchy)定理着迷，可是他几乎从未用过它，他形式方面才能的最惊人的证明就是他从未需要过用它。
很容易将拉马努金再发现的定理汇编成一个给人深刻印象的表。这样一个表当然不能特别清晰，因为有时候他只发现了定理的一部分，有时候虽然发现了完整的定理，但只要他能彻底理解这个定理，就能找到证明，而他却没找到。例如，在解析数论中，从某种意义上说他发现了很多，但他远没有理解这门学科的真正难点。他的一些工作，尤其是在椭圆函数论方面，仍然有好些没弄清楚的地方。在沃森和莫德尔尽力研究之后，还是不可能区分哪些是他蒙出来的，哪些是他自己真正发现的。我只选取其证明在我看来还算清楚的例子。①也许从未用过。在《论文集》第129页有—”个“余数理论”的参考，但我确信这一点是我本人提供的。一一原注
在这里我得承认我该受责备，因为有许多事情我们现在想知道而我原可以轻易弄清楚。我几乎每天都见到拉马努金，稍加探问就能消除大部分模糊不清的细节。拉马努金能够而且愿意直接回答提问，丝毫不会对他的成就故弄玄虚。我几乎没有问过他一个这类问题，我甚至从未问过他是否(我想他一定读了)读过凯莱(Cayley)的或格林希尔(Greenhill)的《椭圆函数》。
现在我对此表示抱歉，但此事并不真的有关紧要，其实是很自然而然的事。首先，我不知道拉马努金会死。他也不爱整天惦记着自己的过去和心理活动，他是一个热心从事工作的数学家。归根到底，我也是一个数学家，一个数学家遇到拉马努金之后有比回顾过往更有意思的事情值得去想。当拉马努金几乎每天都将半打新公式拿给我看时，为他是如何知道这个或那个已知的定理而去烦他好像很可笑。
【资料】印度数学家拉马努金（二）
我认为拉马努金在古典数论中发现的不多，或者说他了解的确实也不多。任何时候他对算术形式的理论都是一无所知，我怀疑在来这里之前他是否懂得二次互反律。丢番图方程应该很适合他，但他在这方面做得比较少，做出的也不是他最好的工作。他给出欧拉方程是一个整数。很难说出他在何种意义上证明了这个定理，因为他在生命中某个时候发现了它，那时他几乎不明确知道什么是证明。正如利特尔伍德所说：“证明一词的清晰定义，如今人们已经太熟悉了，几乎相信这是与生俱来的概念，而他也许根本还不懂它。有时某处会出现一点有意义的推理片断，但总的来说，是证据和直觉的混合让他确信，超出这些他就无能为力了。”稍后我将谈一谈这个关于证明的问题，但要推迟到更重要的一段中。在目前的课题里，还没有什么明显超出拉马努金的证明能力范围的东西。很重要的一部分是关于数论的，特别是将整数表示成平方数之和的理论，它与椭圆函数理论关系密切。例如能表示成两个平方数的之和的n的表示方法个数是
似公式。拉马努金发现了所有这些，还有相同类型的另外一些公式。
他还发现了勒纳德定理，即n是3个平方数之和，除非它具有的形式。但我不认为他发现这个算是多重要的事情。这个定理极易猜到但难以证明。所有已知的证明都依赖于三元形式的推广理论，而拉马努金对此一无所知，我同意迪克森(Dickson)教授认为他很可能一点儿也没掌握这一理论的观点。无论如何他对于表示的数目一无所知。
这样，拉马努金在来英国之前，对数论的贡献寥寥无几。但若不能理解他对数字本身的热爱，便无法理解他。我曾写道：
他能以几近不可思议的方式记住每个数字的特性。利特尔伍德先生说过（我相信是他说的）“每个正整数都是他的私人朋友。”我记得，当他于帕特尼卧病在床时，我有一次去探望他。我来时坐的出租车号是1729，我对他说，这个数字（=7×13×19）在我眼里相当无趣，我希望这不是一个不祥之兆。“不”他回答道“这是一个非常有趣的数，它是最小的能以两种不同方式写成两立方和的数。①”我自然而然地问他能否告诉我对应的四次方问题的解是多少，想了一会儿之后，他回答说，他找不到明显的例子，并且认为这样的第一个数一定非常大。②
①1729=1^3+12^3=9^3+10^3——原注②已知的最小数例由欧拉给出：635318657＝158^4十59^4=134^4+133^4——原注
在代数方面，拉马努金的主要工作涉及超几何级数和连分数(当然我是在传统意义上用代数这个词的)。这些课题简直是为他量身定做的，他是这些领域中无可非议的大师之一。现在有三个著名的恒等式，“杜格尔(Dougall)—拉马努金恒等式”：(2英国数学家比拉马努金更早发现这些恒等式，我将在其他的演讲中谈论这些恒等式。至于超几何级数，可以粗略的这么说，他重新发现了规范理论，这理论写在贝利的小册子里，直到1920年才为人们所知。卡尔的书中谈到过一些这个理论，克里斯托尔(Chrystal)的《代数学》中写得更多，无疑拉马努金是从这些书起步的。(1)一(4)这四个公式是他超几何级数工作中非常独特的例子。
他在连分数方面的杰作是包含定理(10)一(12)的关于(25)1的工作。这一分数理论依赖于罗杰斯—拉马努金恒等式，罗杰斯赶在拉马努金之前做出了这个工作，但他在别的方面超过了罗杰斯，而且我所引用的定理是拉马努金自己发现的。他还得出其他的许多适用范围广而且相当漂亮的公式，其中像拉盖尔(Laguerre)公式的(26)是极独特的例子。沃森①最近证明了其中最令人印象深刻的公式。拉马努金的工作也许在这些领域中做得最好。我以前写道：
①见G，N．沃森，“剑桥哲学会进展。，1935，卷31，第7页。
他对代数公式的洞察力，无穷级数变换的能力等等，实在是最惊人的。在这方面，我绝未见过堪与他旗鼓相当的人，我只能拿他和欧拉或雅可比相提并论。他远比大多数现代数学家更长于从归纳数例中得出结果，例如，他所有划分数的同余性质方面的研究都是通过这种方式发现的。他的工作方式和大多数现代数学家相去甚远，靠总结归纳数例而得，比方说，他对划分数的同余性质研究，就完全是这么来的。然而凭着他的记忆力，耐心，计算能力，还加上他归纳总结的能力，对数学形式的直觉，迅速修正自己假设的能力——这些都着实令人称奇——使得他，在他自己的领域内，当世无人可敌。
如今，我绝不认为这种特别激烈的措辞太言过其实。也许公式的伟大时代已然结束，拉马努金原该生在100年前；但他至今仍是他的时代中最伟大的形式主义者。在过去50年中有的是比拉马努金更重要的——我猜有人一定会说是更伟大的——数学家，然而无人能在他独有的领域中面对他。若要玩一场他懂得比赛规则的游戏，他可以让给世界上任何数学家15分。
在分析方面，拉马努金的工作定然不会给人以深刻印象，因为他不懂函数论，离开函数论就无法从事真正的分析。他从卡尔或其他的书中只能学到积分的形式部分，而这些已经被人反复和深入细致地研究过了。然而拉马努金仍然重新发现了数量惊人的最为优美的解析恒等式。黎曼Zeta函数的函数方程
最近沃森，蒂奇马什(Titchmarsh)和我自己做的关于“傅里叶(Fourier)函数核”及“反商函数”的工作，大部分的基础规范思想都来源于拉马努金，当然他能够求出任何可求值的定积分的值。有一个特别有趣的公式，即
(30)这个公式他特别喜欢且不断应用。这是一个真正的“内插公式”，它使我们可以得出一些结论，例如在一定条件下，自变量的所有正项积分值为零的函数一定也为零。虽然这个公式与梅林(Mellin)及其他人的工作密切相关，但我从未见到过其他人明确地论述过它。①这个方程被罗杰斯重新发现，而且罗杰斯在《论文集（337页）》中认为是他的发现；但在阿贝尔死后未完成的作品中也发现了这个方程。——原注
还剩下拉马努金早期工作中最能引起人们兴趣的最后两个方面，他在椭圆函数和解析数论方面的工作。第一方面，除了专家以外的任何人都会认为它太过专业和复杂，很难理解，现在我不打算谈论它，第二个科目更困难(读过兰道关于素数的书或英哈姆[Ingham]小册子的人都懂)，但人们都能大概理解这个科目的问题，而且每个不错的数学家都能够大概理解为什么这些问题击败了拉马努金。这是拉马努金真正的失败，一如既往，他展示了惊人的想象力，但随后他什么也没证明，甚至他想象的有许多是错的。
这里我不得不就一个非常困难的题目，证明及其在数学中的重要性，多说几句。所有的物理学家和许多非常可敬的数学家都轻视证明。例如，我听说埃丁顿教授认为：“纯粹数学家理解的那种证明，实在是乏味之极而又无足轻重，确定自己发现了某种好东西后，谁会再浪费时间去寻找一个证明呢？”事实上埃丁顿是自相矛盾的，有时候他甚至屈尊去做证明。对于他来说，只知道宇宙中正好有个质子并不够，他禁不住诱惑要去证明它。我不禁想，无论这个证明的价值怎样，它给他带来了某种智力上的满足感。毫无疑问他的辩解是想说明“证明”对他和对一位纯粹数学家的意义截然不同，无论如何我们不必过多地去咬文嚼字。但对于他的观点——我相信这观点也是几乎所有的物理学家都从心底里同意的——身为数学家，我是应该做出某种答复的。
我不打算纠缠于分析一个特别微妙的概念，但我想，关于证明，有几个观点是差不多所有数学家都赞成的。首先，即使我们并不确切地理解什么是证明，但不管怎样，在普通分析中，当我们看到一个证明时总能够辨别出来。其次，在任何证明的叙述中都有两个不同的动机，第一个动机只是保证结论的说服力，第二个动机是，从一系列已知正确的命题开始，把它们按一定顺序排列起来，按传统模式推论，最后得出所要的结论。经验表明，除了在最简单的数学中，这两种动机，如果不实现第二个，就几乎不可能实现第一个。我们能够直接辨别出5或17是素数，但如果不去证明，没人能确信是一个素数。没人能拥有这样生动和深刻的想象力。
数学家经常通过直觉的尝试来寻找定理，结论看来似乎是对的，于是他着手于构造证明。有时候这是一种一环扣一环的过程，任何受过良好训练的专业人员都能做到，然而想象往往是一个极不可靠的向导。在解析数论中尤其如此，连拉马努金的想象力也将他引入不可救药的迷途。
有一个显著的错误假设，我经常用它作为范例，它甚至几乎得到高斯的认可，驳倒它花了大约100年的时间。解析数论的中心问题是素数分布问题。小于一个大数x的素数个数大约为
(31) ；
这就是“素数定理”，它早就被数学家们猜想到了，但直到1896年被阿达玛(Hadamard)和瓦莱—普桑证明后，这个定理才算是站住脚了。去掉近似误差，更好的结果是
(32)．
在某些情况下，更精确的结果是
(现在我们不必为级数构成的规律而烦恼)。很自然地推出，对无论多么大的x
高斯和其他数学家都认为这个猜想非常可能是真的。这个猜想不但看起来有道理，而且得到所有事实的佐证。已知有10000000个素数，其数字间隔甚至达到1000000000，对于其中每一个x的值(34)都是正确的。1912年，利特尔伍德证明了这个假设是错误的，存在无穷多个x的值使得(34)中的不等号必须反过来。特别地，存在一个数x使得对于小于X的某个x，(34)是错的。利特尔伍德证明了X的存在性，但他的方法并不能给出一个X值，就在最近，斯凯维斯(Skewes)①发现了一个可采用的值，
即
我认为这是数学中适用于某个明确目的的最大的数。宇宙中质子的个数大约是国际象棋的可能局数更大一些，也许是·。（无论如何它一定是一个二重阶指数)。如果宇宙是棋盘，质子是棋子，任意位置的两个质子的交换是一着，那么可能的棋局数就类似于斯凯维斯数。无论通过改良斯凯维斯的讨论可以将该数减小多少，看来我们是不可能知道关于利特尔伍德定理正确性的例子了。这个例子中，真理不仅击败了所有事实证据和常识，而且甚至击败了属于高斯的那样有力而深刻的数学想象力，当然它是从数论最困难的部分中选出来的。素数理论中没有真正容易的部分，不过也可以谈谈某种简单的讨论，虽然这种简单讨论不能证明什么，却也确实不会误导我们。
①S。斯凯维斯，伦敦数学会杂志，1933，卷8，277页。——原注
例如，简单的讨论可能会引导好的数学家得到素数定理的结论
开始，这个式子对s＞1是正确的，但对于s=1，级数和乘积变成无穷。讨论自然可以退出，当s=1时，级数和乘积应以相同方式发散，还有
由斯特灵(Stirling)定理知，(40)的左端实际上是xlogx。至于右端，人们可以认为，素数的平方，立方，．．…·相对而言比较罕见，包含它们的项应当是不重要的，如果我们用x/p代替[x/p]，引发误差可以忽略不计。因而我们推出
这恰恰再次符合了p约等于nlogn的结论。
这就是切比雪夫(Tchebychef)详细推理过程的大略。他是第一个在素数理论中取得实质性进展的人，我想象拉马努金也是以同样的方式开始的，尽管笔记本上没有什么能表明这一点。唯一可以肯定的是，拉马努金独立发现了素数定理的形式，这是一项重大成就，在他之前发现这个定理的形式的人，如勒让德、高斯和狄利克雷(Dirichlet)，都是非常伟大的数学家。拉马努金还发现了其他一些更为深刻的公式，也许最好的例子是(15)，用简单积分函数(16)代替它会更精确些，但正如它所表示的和1909年兰道证明的那样，拉马努金的公式是正确的，而没有什么明显的事实能引导他推出这一真理。
剩下要说的事实是，拉马努金在这一领域的工作几乎没有什么持久的价值。解析数论是数学中一个特殊的分支，其中证明实际上就是一切，而缺乏绝对的严格则一文不值。发现素数定理的数学家的成就与那些发现其证明的人相比是不足挂齿的。不仅在这一理论中(如利特尔伍德定理表明的)没有证明就不能确信任何事实，虽然这事实本身可能很重要。素数定理以及其他这一学科中重要定理的整个历史表明，只有掌握了证明，你才能真正理解这一理论的结构和意义，才能有可靠的直觉引导你进行进一步的研究。做出聪明的猜想是比较容易的，有些定理，像“哥德巴赫定理”①至今没有任何人能证明它，但连傻瓜也可能猜想到它。
①任何大于2的偶数都是两个素数之和。——原注
素数理论依赖于黎曼函数ζ(s)的性质，尤其是其零点的分布，ζ(s)是复变量s的解析函数。而拉马努金对解析函数理论一无所知，我曾写道：
由于他对复变函数理论的无知，拉马努金的素数理论失败了。这是（这么说吧）如果ζ函数没有复零点，他这个理论就是正确的。他的证明依赖于大规模使用发散级数，……他的证明肯定是站不住脚的。而更大的错误是，许多事实结果也弄错了。尽管用了不正确的方式，他的确得到了经典公式的主项，；但是其中没有一个能给出他指望的精确近似度。
可以说这是拉马努金的一次惨重失败。……
如果我当初就此打往，那我也不必再多说什么。但我再一次放任自己感情用事。我继续议论“他的失败比他的所有成功更美妙”，那是一种荒谬的言过其实。试图把失败伪装成别的东西无济于事。也许我们可以这样说，他的失败，在另一方面，应该增添而不会减少我们对他天赋的敬慕，因为它给了我们额外的和惊人的佐证，证明他的想象力和全能性。
然而，数学家的声誉不能建立在失败的尝试和重新发现上，而根本上、必须公正的建立在实在的和创造性的成就之上。我必须以此为基础，为拉马努金辩护，我希望在以后的演讲中能做到这一点。
注释：这是1936年发表在哈佛文学和科学三百年纪念大会上的两篇演讲中的前一篇，并且形成了哈代的著作《拉马努金：关于他生平和工作的十二篇演讲》(剑桥，1940)的演讲l。第二篇演讲逐渐扩充成其余的十一篇演讲。无疑哈佛演讲稿出自哈代5月5日和同年5月20日在英国剑桥以“S，拉马努金的生平和科学工作”为题做的两次公开演讲，次年(1937，春季学期)他以“联系拉马努金工作的数学问题”为题开了24节课程。
【资料】【哈代/拉马努金】悼文（一）（待校对，部分人名地名未翻译，公式图片未上传，待编辑）
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2014-02-12 19:22
Srinivasa拉马努金于1920年4月26日，在kumbakonam逝世，于1917年成为英国皇家学会成员。他并非一个爱喋喋不休谈论自身的人，直到最近，我对他的早年生涯都所知甚少，R.Ramachandra Rao和P. V. SeshuAiyar，两位拉马努金最热诚的印度友人，近期在印度数学协会月刊上发表了两篇评论，弗朗西斯·斯普林爵士，在我的请求下，也友好地于1919年4月5日在马德拉斯时报上发表了一篇文章。由这些信息来源，我现在得到了大量我从前一无所知的细节。拉马努金 (Srinivasa Iyengar RamanujanIyengar,这是他正式的全名)于1887年12月22日，在南印度的Erode出生。他的父亲是Kumbakonam一家成衣厂的会计(gumasta)，而他的外祖父曾是Erode当地法庭的一位amin。他五岁时上的学，没满七岁，就被转到Kumbakonam镇上的高等学校，在那里他得到了一份全额奖学金，显然，他那超常的天分立刻就展现出来“他曾”一位旧日同学如此写信给Mr.SeshuAiyar“从学院图书馆里借了卡尔的《纯粹数学概要》，证明上面的公式，乐在其中……早年时，他已惯于用公式和定理来和朋友们消遣取乐……有超凡的记忆力，能够轻松背出梵语词根表(atmanepadaand parasmepada)，能记住√2，π，e，小数点后任意位的数值……在行为举止方面，他是朴实的化身。“
1904年，他通过了Kumbakonam当地官方大学的入学考试，并得到了“初等Subraniam奖学金”由于英语太差，他没能通过下一次考试，并失去了奖学金，他离开了Subraniam。先去Vizagapatam，然后去了马德拉斯。在那里，他参加了“文科一级考试”然而失败了，之后他再也没有重考过。接下来几年，他继续独立研究数学，把他所得结果粗略地记在两开本的笔记本上。”这些笔记本当中，有一本我至今仍旧留存着。1909年，他结了婚，因此有必要找一份稳定的工作。我引用Mr.Seshu Aiyar—
最后，他去了Tirukoilur,南Arcot地区的一个小镇的小区，去见Mr. V. BamaswamiAiyar,印度数学协会的创始人，而Aiyar先生，在见识了他超凡的天才后，说服他去马德拉斯。又隔了四年，拉马努金先生才去马德拉斯见我，他带着上述已经说过的两开本笔记本。我给了他一份推荐，说他是真正热爱数学的人，叫他去见DewanBahadur R. RamachandraRao，Nellore的地方税务官，那地方是离马德拉斯80英里远的一个小镇。Rao先生把他又打发回我这儿来，说若是让一个拉马努金这样真正的天才在像Nellore这样一个乡下地方朽烂掉，那就太可惜了，并推荐他留在马德拉斯，慷慨的负担了拉马努金先生在此期间的全部费用。这是1910年12月的事。这样过了一阵子，没能帮他弄到奖学金。而拉马努金自己不愿长期成为任何人的负担，1912年，他决定在马德拉斯的港务部门当一个小职员。
然而他从未懈怠过他的数学工作。他最早寄给《印度数学协会月刊》的稿件，以和我通信讨论问题的形式，发表在第3期上（1911年），他第一份长篇论文《论伯努利数的某些性质》发表在同年第12期上。拉马努金先生的解决方法极端简练而新奇，而他的表述又缺乏清晰和精确性，以至于普通的读者，难以习惯这种超常的敏捷思维，几乎完全跟不上他的思路。这篇文章被编辑打回来好几次，才改到可以发表。在此期间，他有次带着一些素数方面的定理来见我，我向他提起哈代的小册子《无穷大之阶》。他发现哈代的小册子第36页上说“p（x）的精确阶数，由下列等式定义
π（x）指的是小于X数中素数的个数，其阶数尚未被精确定义。
而他发现了能定义π函数阶数的方式。因此我建议他把他的成果寄给哈代先生，并附上另一些他的成果
这一段话使我回想起我自己和拉马努金的相识。然而在我谈到我从他那儿收到的信件，以及这些信件如何最终促成了他的英国之行前，我必须再谈一些他在印度的职业生涯。Dr.G. T.Walker,英国皇家学会成员，气象部门主任，前剑桥三一学院数学讲师和研究员，于1912年因公务出访过马德拉斯，以及SirFrancisSpring二等爵级司令勋章获得者，马德拉斯海关当局局长，也对拉马努金的工作感兴趣。尽管拉马努金的工作和Walker博士的工作领域截然不同，但Walker博士是一位极好的数学家，以至于不可能辨认不出他的价值。他使马德拉斯当局和大学注意到拉马努金的事情。发给他一份研究奖学金“两年内每月75ES”，他从此成为了，并终身都是，一位职业数学家
Ⅱ
1913年，1月16日，是拉马努金和我通信的开端，直至他于1914年坐船到达英国前，他一直定期写信给我。我不相信他的信完全出自他自己之手。他当时的英语水平，几乎不可能写出这种信，而且还有一些非常不合他性格的习语。事实上，我似乎记得，他告诉过我，他的朋友帮过他写信。然而，只有数学的部分是真正重要的，而他非常强调，那完全是他自己写的。
“
亲爱的先生，马德拉斯，1913年，1月16日
谨自我介绍如下：我是马德拉斯港务信托处财务部门的职员，年薪仅20镑，23岁。我未受过大学教育，但已学完通常中学课程，离开学校后，我以闲暇时间从事数学。我未能走上常规的正式大学课程指引的研究道路，但我在开辟我自己的道路。我对一般的发散级数作了专门的研究，本地的数学家们说，我所得到的结果是“令人震惊的”
您在初等数学里给a^n函数以新的定义，以定义当n取负数或是分数时的值，而仍旧和n取正整数时的定义相吻合。相似的，我的工作也是给出一种方式解决，在n取任意值时，欧拉第二积分值的定义。我上过大学课程的朋友告诉我，只在n取正值时才有意义，而当n为负时便无法定义。假定当n为正时，Γ函数符合此定义式，并且仍旧假定定义nΓ(n)=Γ(n+l)在任何情况下都为真。在这两个条件下，我给这些积分以新的定义，并使此积分对于n取负数或分数时仍有意义。我的整个研究都基于此，而我已将它发展到了相当丰富的程度，以至于当地数学家们都无法理解我探索所达到的高度。
最近，我偶然看到了您个人风格的小册子“无穷大之阶”，在36页上，有一句话说，对于小于任意给定数的素数个数，尚没有精确定义的表达式。我已经找到了一个表达式，能给出和实际结果非常近似的值，误差可以忽略不计。我谨求您审阅一下附上的论文。因为我很贫困，若您认为这论文多少还有一点价值，我很愿意看到我的定理发表。我没有写出全部的研究，也没有给出我所得到的表达式，但我已指明了我前进的路线。因为我毫无经验，您给我的任何指教，我都将极为珍视。有劳之处，尚祈见谅。
S·拉马努金
P.S—我的地址是S·拉马努金，财务部职员，港务信托处，马德拉斯，印度“
此处我引用了信中附上的论文，和后来的几封信。*此信其余部分见附录二
“36页上说，小于x的素数个数是而p(x)的精确阶数尚未确定……
我注意到，p(e^2πx)有这样这样一种性质，即当x取0-3之间的值时，它的值非常小（当x=3时，它的值小于几百）然而当x大于3时，它的值便急速增大……
当x趋向于无穷大时，小于x的4n-1形式的素数，和小于x的4n+1形式的素数之差，将会趋于无穷大。
下述是我定理的几个例子
(1)小于n的，具有2^p3^q形式的数的个数小于，其中p和q可取任意正整数值，包括0
(2)让我们找出全部含有奇数个素因子的数。
例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47,等等
（a） 小于n的这种数个数必定小于
（3）找出所有自然数的因子个数
1,2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2,等等（1有1个因子，2有两个，3有两个，4有三个，5有两个，等等）
1到n所有数的因子个数之和约为
此处γ = 0.5772156649……，即欧拉常数
（4）1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17,18，这些数的共同点是，它自身是平方数，或能表示成两平方数之和。
在大于A小于B的区间里，这种数的个数为，*应写作θ(B)此处K=0.764……θ (x)与前一项K积分相比非常小，θ (x)也可精确表达，但非常复杂……“
也许我应当在此处插叙一些对拉马努金在此领域所做工作的评论
由于他对复变函数理论的无知，拉马努金的素数理论失败了。这是（这么说吧）如果黎曼函数没有复零点，他这个理论就是正确的。他的证明依赖于大规模使用发散级数，而他完全忽略了交换极限符号时的困难。比方说吧，他压根不知道，级数求和∑an与阿贝尔和之间的区别，还有别的一些现代分析学家常用的极限，他也不知道。数学的某些领域中，可以忽略现代数学所要求的严格性，而不至于犯太大的错误。然而解析数论绝不是其中之一，拉马努金在印度null时做的素数方面工作，以及一切相关工作，从根本上就错了。他的证明肯定是站不住脚的。而更大的错误是，许多事实结果也弄错了。尽管用了不正确的方式，他的确得到了经典公式的主项，；但是其中没有一个能给出他指望的精确近似度。
可以说这是拉马努金的一次惨重失败。但我不确定，在某种程度上，他的错误是否比他的胜利更美丽。想想看，比方说，问题4，解的主项是KB(logB)^(-1/2)(我在此处用的是拉马努金的记号)：这个结果最初是朗道于1908年得出的，logB的阶数，在误差范围内，它和拉马努金的陈述是一致的。然而，拉马努金的式子里还暗含了其他部分，而那部分，无疑是错的*见他关于θ（x）阶数的陈述，引用自他1913年，2月27日的信他的积分并不能给出比朗道的积分公式更精确的结果。然而，拉马努金手上没有朗道的武器；他从未读过任何法语或德语数学书；他的英文水平还不够让他得到学位。他能梦想到这些问题就已经算得上是个奇迹了，这些问题花了欧洲最好的数学家们一百年的时间来解决，而这些解到今天还是不完整的。
IV.积分方面的定理，以下是几个例子—
……
（3）若
则
φ(n)是一个复杂的函数，以下是它的几个特殊值
（4）
此处1,3,6,10……是自然数之和的数列
（5）
V．无穷级数和的定理，例如*拉马努金的公式里总有比表面上看起来更复杂的东西，任何一个试过证明其中最简单一个公式的人都会很快发觉这一点，在某些公式里，重要的东西埋的很深，另一些则相对浅些，但这绝非不能引发人好奇心和兴趣的问题。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
VI，数列和积分变换的定理，例
（1）
……
（3）
……
（6）若αβ=π^2,则
（7）
（8）若n是除0以外的任意正整数
此处B2=1/6，B4=1/30，……
VII．近似积分和级数求和定理
……
（2）
此处，k介于8/45与2/21之间。
（3）
当x=∞时，θ即消去
（4）x很小时（注，x必须取0到2之间的值。）
（5）近似等于
（6）
（7）展开后，xn的系数为最接近的整数*这其实不对，但因为某些原因，这个公式很令人感兴趣
IX.连分数定理，几个例子如下
（1）（4）若且
则
（5）
（6）
（7）若n是任何正有理数，则可精确表达
1913.2.27
“在您身上，我发现了一位怀着同情心看待我的劳绩的朋友。这已经足够鼓励我继续前进……在信里，我看到您多次要求严格证明，您要我把证明方法寄来……我告诉他*涉及之前的通信在我的理论里，无穷级数1+ 2 + 3 +4+...之和为-1/12。要是我对您这么讲，您会立刻说，我唯一该去的地方是疯人院……我能告诉您的是。证明我给的结果，若是它们和您的结果一致……您至少应该承认，我的基础原则里有一些真理……
我的大脑要靠食物来养活。这是我眼下最急迫的问题，您写给我的任何表示同情的信都有助于我从政府或大学那里弄到奖学金……
1.小于的素数个数少于
此处
2.小于n的素数个数
此处B2=1/6，B4=1/30，……等等，即伯努利数
您信中问的θ(x)的阶数为
（1） 若
则在αβ = π^ 2的条件下
例：
上述定理是连分数的一个特殊情况，
而这个连分数又是另一个连分数的特殊情况
这也是连分数一个普遍适用定理的特殊例子
（2）
（3）
……
（6）若
则
（7）若n是任意奇整数，则
……
（10）若
则
……
（13）
（14）若
则
（15）若
则
……
（17）若且
则
……
（20）若
且
则
……
……
（21）若或或则
……
（23）
……
1913年，4月17日
“……您写下的话语让我有些心痛……*我丝毫也不担心我的方法会被别人拿去利用，正相反，我已经发现了这个方法8年之久，而尚未发现任何一个能理解这种方法的人。如我在上一封信中说的那样，您是一位同情我的朋友，我愿无保留地将我所有的微薄之物献于您。由于这方法太过新奇，我至今无法在通信中讲清我得到这些公式的方法”
“……我愉快地告诉您，当地大学已经同意给我一份两年度的奖学金，每年60英镑，这是英国皇家学会成员，印度气象部门的主管Dr.Walker的提议，我对他深为感谢……我也请求您向小木头先生Dr. Barnes, Mr.Berry,以及其他所有对我感兴趣的人，转致我的谢意
*拉马努金很可能合乎情理的认为，不宜把他的秘密解法泄露给一位英国数学家，而我稍前极力试图说服他不需要担心这一点。“
III.
没有必要再重复一遍拉马努金如何被带到英国来的故事了。有过很多重大的困难， 主要由E. H.Neville教授负责解决了它们，他于1914年4月陪伴拉马努金来到英国。拉马努金从马德拉斯得到了一份250英镑的奖学金，其中分出50英镑留给他的家人，还有三一学院发给他的60英镑exhibition。对于一个像他那样品味简朴的简直荒唐的人来说，这是一笔巨款；这样他就能省下一大笔钱，日后，在急需金钱时用上了。他没有任何义务，可以随心所欲，他确实希望得到一个剑桥的研究生学位，不过这只是个形式。现在，他，一生当中第一次，处在一个完全舒适的位置，并且可以放心地献身于研究工作现在出现了一个巨大的难题。该用什么方法教他现代数学呢？他知识面的局限性和深奥性都令人惊异。他能够把模方程，以及复数乘法的定理算到闻所未闻的阶数，他是连分数的大师，在这方面不论怎样都胜过任何一个在世的数学家，他独立发现了ζ函数的方程，以及许多解析数论中最著名问题的解答式的主项，然而他对双周期函数或柯西定理闻所未闻，并且，其实，对何谓复变函数只有极模糊的概念。他对如何构建一个数学证明的看法只是朦胧至极的描述。所有他的成果，无论新的旧的，对的错的，都是用模糊的论据，直觉，归纳法拼凑出来的，对这个拼凑过程，他完全无法给出任何连贯的描述。
绝不可能叫这样一个人去接受系统的教学，或者试着从开头教他数学。我还害怕，若是我老是坚持讲那些让拉马努金感到厌烦的东西。我或许会毁掉他的信心，或者使他灵感的魔力破灭。另一方面，有些东西他不能总是一无所知。当他遇到最至关紧要的部分时，有些他的结果会因此弄错，尤其是在素数分布的领域。不可能放任他活了一辈子，还浑浑噩噩地以为黎曼函数的零点全是实的。因此我必须试着去教他，在一定程度上，我成功了，当然，肯定的是，我从他那儿学到的比他从我这里学到的要多得多。短短几年时间里，他就已经有了足够的函数理论和解析数论知识。他从来没能成为一位受过现代教养的数学家，而且也不可能指望他会成为这样的人。但是他总算弄明白了什么样算是他证明了，什么样算是没证明。而他新颖的想法源泉丝毫没有枯竭。
我应当再提几句拉马努金数学以外的兴趣爱好，和他的数学一样，这些爱好也显现出最奇特的矛盾。他对文学，我这么说吧，一点兴趣也没有，对艺术也是如此，不过他能分辨出好坏文学。另一方面，他是个热心的哲学爱好者。虽然在现代剑桥学派的追随者看来，他的观点模糊的没法给他分类，他是热情的政治爱好者，立场极端激进，并且是和平主义者。他始终严格遵守他的种姓的宗教规矩，在留居英国的印度人中，这种严格程度是极为少见的。然而他的宗教观念不过是对仪式的谨守而非头脑清醒的信念，我清楚地记得他告诉我(很令我吃惊)在他眼里，所有的宗教都或多或少同样真实。在文学上，哲学上，数学上，他都有一种对出乎意料，奇异古怪的事物的热情，在别的事情上也一样，他收藏了一堆化圆为方理论书和别的怪奇著作。
1917年春天，拉马努金第一次出现不妙的症状。初夏时，他进了剑桥的护理所，从那之后，就再没离开过病榻。他住过Wells，Matlock,London的休养所，直到1918年的秋天，他才有点明显好转的迹象。或许是受进入皇家学会的激励，他稍后又开始了活跃的工作，有一些他最美的定理就是这个时期发现的。被选上三一学院研究员也激励了他。1919年初，他似乎已经恢复到可以支撑着航海回家到印度的程度。最好的大夫也还对他彻底好转抱着希望。我很久没有听到他的消息，因此我感到很紧张；不过1920年2月，一封信寄到了我手中，，从这封信里可以看出，他仍在活跃地研究。
马德拉斯大学
1920.1.12
“我非常抱歉，直至今日都没有给你写过一封信……最近，我发现了一族非常有趣的函数，我称之为伪θ函数，有别于假θ函数（罗杰斯教授那篇有趣的论文里专门研究过的那种函数），伪θ函数的数学特性和普通的θ函数一样美丽。我在这封信里寄给你一些例子。
伪θ函数
……
伪θ函数（5阶函数）
……
伪θ函数（7阶函数）
……
“
他几乎没有谈及他的健康，谈时也没有特别不乐观，我对他的死讯真是毫无准备。
