如何直观理解矩阵的“特征值”和“特征向量” 矩阵 特征值 特征向量

前提共识:研究n阶方阵A

在《黎曼博士的零点》中,对特征值和特征向量有如下描述:

特征多项式|λE—A|的根可确定各个特征值λi,

分别计算空间叠加矩阵λiE—A的零空间,该零空间称A的属于λi的特征子空间。

由于特征向量是非零向量,特征子空间的去零向量部分就是属于λi的全体特征向量,

故属于λi的特征子空间的基可代表属于λi的全部特征向量。

特征多项式|λE—A|起了什么作用呢?为什么它是求解的钥匙呢?

由于λE表示将单位矩阵的各个正交基都乘了λ倍,与-A叠加后行列式为零,

说明λE使A至少降了1维(含多种情形,可由行列式的性质推想),

由于情形不唯一,因此能起到该效果的λ可能不唯一,

解|λE—A|的根即在于找到全部这样的λi。
如何直观理解矩阵的“特征值”和“特征向量” 矩阵 特征值 特征向量

λE对A起如上效果,说明A含有与λ相关的特殊信息。

由于A可视作线性变换,如果它作用到某个非零向量后,仅使该向量伸缩(含倒向及零),

而未转动它(倒向除外),且伸缩系数恰为λi,则该向量为属于特征值λi的特征向量。

λiE-A可视作空间行向量的静态组合,其秩为r(λiE-A),

属于λi的特征向量的空间维度便可确定,即n—r(λiE-A)。

由于λi可能存在重根,

当单重时,若n—r(λiE-A)=1,说明该伸缩因子只作用于某1个特殊角度(向量);

当m重时,若n—r(λiE-A)=m,说明分别作用于m个特殊角度的m个伸缩因子等值;

当m重时,若n—r(λiE-A)<m,说明有某m—[ n—r(λiE-A)]个特殊角度法外于该规则。

矩阵的对角化,即在找与A相似的一种最简矩阵。

对角阵相当于同阶E的各个正交基各自伸缩一定系数。

例如一个对角阵作用在3维空间内的一个单位立方体时,则线性变换的效果即是沿xyz各轴伸缩,得到新3维体。

若一个n阶方阵A可对角化,即对角阵的各个正交基都须有各自的伸缩因子λi,

则前提是A必须有n个彼此独立的作用角度(特征向量),以便构造n维正交基实现对角化。

下图3阶方阵A只有红绿2个作用方向,伸缩因子分别为3和2,A不可对角化。

顺便一提:若A的某个特征值为0,则0会使属于它的作用方向压扁,属于高维度向低维度投影变换,因此A不可逆。

  

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