自然对数底e的由来 自然对数e的值

高中数学必修一对数与对数运算一节中,有以10为底的对数,即常用对数。教材中也指出,如果底数是以e为底的对数,我们称之为自然对数,并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外,我们知道甚少,e似乎是来自纯数学的一个问题。事实上,对于自然对数的底e是有其生活原型的。在历史上,自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。

过去,有个商人向财主借钱,财主的条件是每借1元,一年后利息是1元,即连本带利还2元,年利率100%。利息好多喔!财主好高兴。财主想,半年的利率为50%,利息是1.5元,一年后还1.52=2.25元。半年结一次帐,利息比原来要多。财主又想,如果一年结3次,4次,……,365次,……,岂不发财了?

财主算了算,结算3次,利率为,1元钱一年到期的本利和是:,

结算4次,1元钱到一年时还。

财主还想,一年结算1000次,其利息是:

这么大的数,年终肯定发财了。可是,财主算了算,一元钱结帐1000次,年终还的金额只有:

这令财主大失所望。他以为,结帐次数越多,利息也就增长得越快。财主根本不知道,的值是随n的增大而增大,但增加的数额极其缓慢;并且,不管结算多少次,连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把极限记作e,e=2.71828…,即自然对数的底。

e的影响力其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状,而螺线的方程式,是要用e来定义的。建构音阶也要用到e,而如果把一条链子两端固定,松松垂下,它呈现的形状若用数学式子表示的话,也需要用到e。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题,居然统统和e有关,岂不奇妙?

自然对数底e的由来 自然对数e的值
  

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