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高二数学二项式定理复习试题及答案解析
一、选择题
1.(2013•江西高考)x2-2x35展开式中的常数项为
( )
A.80 B.-80
C.40 D.-40
C [展开式的通项为Tr+1=Cr5x2(5-r)(-2)rx-3r
=Cr5(-2)rx10-5r.
令10-5r=0，得r=2，
所以T2+1=C25(-2)2=40.故选C.]
2.(2014•东城模拟)(x-2y)8的展开式中，x6y2项的系数是
( )
A.56 B.-56
C.28 D.-28
A [由二项式定理通项公式得，所求系数为C28(-2)2=56.]
3.(x+2)2(1-x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为
( )
A.5 B.3
C.2 D.0
A [常数项为C22×22×C05=4，x7系数为C02×C55(-1)5=-1，
因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.]
4.(2012•蚌埠模拟)在x+13x24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有
( )
A.3项 B.4项
C.5项 D.6项
C [Tr+1=Cr24(x)24-r13xr=Cr24x12-5r6，
故当r=0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项.]
5.(2014•深圳二调)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中，含x2项的系数是
( )
A.10 B.15
C.20 D.25
C [选C.含x2项的系数是C22+C23+C24+C25=1+3+6+10=20.]
6.在二项式x2-1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为
( )
A.32 B.-32
C.0 D.1
C [依题意得所有二项式系数的和为2n=32，解得n=5.
因此，该二项展开式中的各项系数的和等于12-115=0.]
二、填空题
7.(2014•山西诊断)若x-a2x8的展开式中常数项为1120，则展开式中各项系数之和为________.
解析 x-a2x8的展开式的通项为Tr+1=Cr8x8-r(-a2)rx-r=Cr8(-a2)rx8-2r，令8-2r=0，解得r=4，所以C48(-a2)4=1 120，所以a2=2，故x-a2x8=(x-2x)8.令x=1，得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.
答案 1
8.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________.
解析 由C2n=C6n可知n=8，所以x+1x8的展开式的通项公式为Tr+1=Cr8x8-r•1xr=Cr8x8-2r,
当8-2r=-2时，r=5，所以1x2的系数为C58=56.
答案 56
9.(2014•深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式x-13x6展开式的常数项，则a3a7=________.
解析 x-13x6的展开式的通项是Tr+1=Cr6•(x)6-r•-13xr=Cr6•-13r•x3-3r2.令3-3r2=0得r=2，因此x-13x6的展开式中的常数式是C26•-132=53，即有a5=53，a3a7=(a5)2=532=259.
答案 259
三、解答题
10.若3x+1xn的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次幂的项.
解析 令x=1，则22n=1 024，解得n=5.
Tr+1=Cr5(3x)5-r1xr=Cr5•35-r •x10-3r2，
含x的整数次幂即使10-3r2为整数，
r=0、r=2、r=4，有3项，
即T1=243x5，T3=270x2，T5=15x-1.
11.二项式(2x-3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和.
解析 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为C09+C19+C29+…+C99=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9
=-1.
(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1，
令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-…-a9=59，
将两式相加，得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，
即为所有奇数项系数之和.
12.已知x+124xn的展开式中，前三项系数成等差数列.
(1)求n;
(2)求第三项的二项式系数及项的系数;
(3)求含x项的系数.
解析 (1)∵前三项系数1，12C1n，14C2n成等差数列.
∴2•12C1n=1+14C2n，即n2-9n+8=0.
∴n=8或n=1(舍).
(2)由n=8知其通项公式Tr+1=Cr8•(x)8-r•12 41xr=12r•Cr8•x4-34r，r=0，1，…，8.
∴第三项的二项式系数为C28=28.
第三项系数为122•C28=7.
(3)令4-34r=1，得r=4，
∴含x项的系数为124•C48=358.
