八年级数学期末考中没有失败,它带给每个人的深刻思考、刻骨铭心的经历和感受都是不可多得的财富。我们为理想而奋进的过程,其意义远大于未知的结果。为大家整理了八年级上册数学期末试卷,欢迎大家阅读!
八年级上册数学期末试题
一、选择题(共16小题,每小题2分,满分42分)
1.涞水的文化底蕴深厚,涞水人民的生活健康向上.下面的四幅简笔画是从涞水的文化活动中抽象出来的,其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
3.若分式 的值为零,则x的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
4.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.125° B.120° C.140° D.130°
5.若等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长为( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
6.如图,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
7.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
8.下列二次三项式是完全平方式的是( )
A.x2﹣8x﹣16 B.x2+8x+16 C.x2﹣4x﹣16 D.x2+4x+16
9.如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
10.若a﹣b= ,且a2﹣b2= ,则a+b的值为( )
A.﹣ B. C.1 D.2
11.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于点B、C,连接AC、BC.若∠ABC=67°,则∠1=( )
A.23° B.46° C.67° D.78°
12.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,DE是AC的垂直平分线,线段DE=1cm,则BD的长为( )
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
13.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰直角三角形,则点C的个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
14.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为( )
A.a2﹣b2=(a﹣b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
15.已知A、C两地相距40千米,B、C两地相距50千米,甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米,则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是( )
A. B. C. D.
16.当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…,、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时,计算分式 的值,再将所得结果相加,其和等于( )
A.﹣1 B.1 C.0 D.2014
二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)
17.分解因式:2x3﹣4x2+2x= .
18.若点A(m+2,3)与点B(﹣4,n+5)关于y轴对称,则m+n= .
19.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE=2cm,AB=4cm,S△ABC=7cm2,则AC的长为 .
20.如图,已知长方形OABC,动点P从(0,3)出发,沿所示的方向运动,每当碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3,0),当点P第2016次碰到长方形的边时,点P2016的坐标是 .
三、解答题(共7小题,满分66分)
21.计算:
(1)a•a5﹣(2a3)2+(﹣2a2)3
(2)先化简(a﹣ ) ,再求值,其中a=3,b=1
(3)分解因式:(m﹣n)(3m+n)2+(m+3n)2(n﹣m)
(4)解分式方程: .
22.如图,已知∠AOB以O为圆心,以任意长为半径作弧,分别交OA、OB于F、E两点,再分别以E、F为圆心,大于 EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线OP,过点F作FD∥OB交OP于点D.
(1)若∠OFD=116°,求∠DOB的度数;
(2)若FM⊥OD,垂足为M,求证:△FMO≌△FMD.
23.“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
24.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”,如图1中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)求图1中四边形ABCD的面积;
(2)在图2方格纸中画一个格点三角形EFG,使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形.
25.如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
(1)求证:CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使点E′落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示.试猜想:BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
26.学校新到一批理、化、生实验器材需要整理,若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟,要完成整理这批器材,李老师至少要工作多少分钟?
27.已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB于点D,点E是AB边上一动点(不含端点A、B),连接CE,过点B作CE的垂线交直线CE于点F,交直线CD于点G(如图①).
(1)求证:AE=CG;
(2)若点E运动到线段BD上时(如图②),试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化,请直接写出你的结论;
(3)过点A作AH垂直于直线CE,垂足为点H,并交CD的延长线于点M(如图③),找出图中与BE相等的线段,并证明.
八年级上册数学期末试卷参考答案
一、选择题(共16小题,每小题2分,满分42分)
1.涞水的文化底蕴深厚,涞水人民的生活健康向上.下面的四幅简笔画是从涞水的文化活动中抽象出来的,其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
B、不是轴对称图形,故此选项错误;
C、是轴对称图形,故此选项正确;
D、不是轴对称图形,故此选项错误.
故选:C.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
2.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
【考点】多边形内角与外角.
【分析】首先设此多边形为n边形,根据题意得:180(n﹣2)=540,即可求得n=5,再由多边形的外角和等于360°,即可求得答案.
【解答】解:设此多边形为n边形,
根据题意得:180(n﹣2)=540,
解得:n=5,
∴这个正多边形的每一个外角等于: =72°.
故选B.
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理:(n﹣2)•180°,外角和等于360°.
3.若分式 的值为零,则x的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
【考点】分式的值为零的条件.
【专题】计算题.
【分析】分式的值是0的条件是:分子为0,分母不为0,由此条件解出x.
【解答】解:由x2﹣1=0,
得x=±1.
①当x=1时,x﹣1=0,
∴x=1不合题意;
②当x=﹣1时,x﹣1=﹣2≠0,
∴x=﹣1时分式的值为0.
故选:C.
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0,这是经常考查的知识点.
4.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.125° B.120° C.140° D.130°
【考点】平行线的性质;直角三角形的性质.
【分析】根据矩形性质得出EF∥GH,推出∠FCD=∠2,代入∠FCD=∠1+∠A求出即可.
【解答】解:
∵EF∥GH,
∴∠FCD=∠2,
∵∠FCD=∠1+∠A,∠1=40°,∠A=90°,
∴∠2=∠FCD=130°,
故选D.
【点评】本题考查了平行线性质,矩形性质,三角形外角性质的应用,关键是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A.
5.若等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长为( )
A.12 B.16 C.20 D.16或20
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,则应该分两种情况进行分析.
【解答】解:①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;
②当8为腰时,8﹣4<8<8+4,符合题意.
故此三角形的周长=8+8+4=20.
故选C.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系,解答此题时注意分类讨论,不要漏解.
6.如图,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【考点】全等三角形的判定.
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS,可据此进行判断.
【解答】解:第①组满足SSS,能证明△ABC≌△DEF.
第②组满足SAS,能证明△ABC≌△DEF.
第③组满足ASA,能证明△ABC≌△DEF.
第④组只是SSA,不能证明△ABC≌△DEF.
所以有3组能证明△ABC≌△DEF.
故符合条件的有3组.
故选:C.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
7.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
【考点】分式的乘除法.
【分析】直接利用分式乘除法运算法则进而化简求出答案.
【解答】解:
= × ×
=
= .
故选:C.
【点评】此题主要考查了分式的乘除运算,正确掌握运算法则是解题关键.
8.下列二次三项式是完全平方式的是( )
A.x2﹣8x﹣16 B.x2+8x+16 C.x2﹣4x﹣16 D.x2+4x+16
【考点】完全平方式.
【分析】根据完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、应为x2﹣8x+16,故A错误;
B、x2+8x+16,正确;
C、应为x2﹣4x+4,故C错误;
D、应为x2+4x+4,故D错误.
故选B.
【点评】本题主要考查完全平方公式的结构特点,需要熟练掌握并灵活运用.
9.如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?( )
A.24° B.30° C.32° D.36°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP,再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可.
【解答】解:∵直线M为∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠CBP.
∵直线L为BC的中垂线,
∴BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,
即3∠ABP+60°+24°=180°,
解得∠ABP=32°.
故选:C.
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键.
10.若a﹣b= ,且a2﹣b2= ,则a+b的值为( )
A.﹣ B. C.1 D.2
【考点】平方差公式.
【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后,将第一个等式变形后代入计算即可求出a+b的值.
【解答】解:∵a﹣b= ,a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)= ,
∴a+b= ,
故选B
【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
11.如图,直线l1∥l2,以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于点B、C,连接AC、BC.若∠ABC=67°,则∠1=( )
A.23° B.46° C.67° D.78°
【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.
【分析】首先由题意可得:AB=AC,根据等边对等角的性质,即可求得∠ACB的度数,又由直线l1∥l2,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠2的度数,然后根据平角的定义,即可求得∠1的度数.
【解答】解:根据题意得:AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=67°,
∵直线l1∥l2,
∴∠2=∠ABC=67°,
∵∠1+∠ACB+∠2=180°,
∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°.
故选B.
【点评】此题考查了平行线的性质,等腰三角形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意掌握两直线平行,内错角相等与等边对等角定理的应用.
12.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,DE是AC的垂直平分线,线段DE=1cm,则BD的长为( )
A.6cm B.8cm C.3cm D.4cm
【考点】线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形;三角形中位线定理.
【专题】计算题.
【分析】过A作AF∥DE交BD于F,则DE是△CAF的中位线,根据线段垂直平分线的性质,即可解答.
【解答】解:过A作AF∥DE交BD于F,则DE是△CAF的中位线,
∴AF=2DE=2,又∵DE⊥AC,∠C=30°,∴FD=CD=2DE=2,
在△AFB中,∠1=∠B=30°,
∴BF=AF=2,∴BD=4.
故选D.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
13.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰直角三角形,则点C的个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】等腰直角三角形;勾股定理.
【专题】网格型.
【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:①AB为等腰△ABC底边;②AB为等腰△ABC其中的一条腰.
【解答】解:如上图:分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时,符合条件的C点有2个;
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个.
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定;解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.
14.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为( )
A.a2﹣b2=(a﹣b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
【考点】等腰梯形的性质;平方差公式的几何背景;平行四边形的性质.
【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积,从而得到可以验证成立的公式.
【解答】解:阴影部分的面积相等,即甲的面积=a2﹣b2,乙的面积=(a+b)(a﹣b).
即:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
所以验证成立的公式为:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
故选:D.
【点评】本题主要考查了平方差公式,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.本题主要利用面积公式求证明a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
15.已知A、C两地相距40千米,B、C两地相距50千米,甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米,则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【专题】行程问题.
【分析】设乙车的速度为x千米/小时,则甲车的速度为(x﹣12)千米/小时,根据用相同的时间甲走40千米,乙走50千米,列出方程.
【解答】解:设乙车的速度为x千米/小时,则甲车的速度为(x﹣12)千米/小时,
由题意得, = .
故选:B.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程.
16.当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…,、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时,计算分式 的值,再将所得结果相加,其和等于( )
A.﹣1 B.1 C.0 D.2014
【考点】分式的加减法.
【分析】设a为负整数,将x=a代入得: ,将x=﹣ 代入得: = = ,故此可知当x互为负倒数时,两分式的和为0,然后求得当x=0时,分式的值即可.
【解答】解:设a为负整数.
∵当x=a时,分式的值= ,当x= 时,分式的值= = ,
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0.
∴当x的值互为负倒数时,两分式的和为0.
∴所得结果的和= =﹣1.
故选;A.
【点评】本题主要考查的是分式的加减,发现当x的值互为负倒数时,两分式的和为0是解题的关键.
二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)
17.分解因式:2x3﹣4x2+2x= 2x(x﹣1)2 .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式2x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:2x3﹣4x2+2x,
=2x(x2﹣2x+1),
=2x(x﹣1)2.
故答案为:2x(x﹣1)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
18.若点A(m+2,3)与点B(﹣4,n+5)关于y轴对称,则m+n= 0 .
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”列出方程求解即可.
【解答】解:∵点A(m+2,3)与点B(﹣4,n+5)关于y轴对称,
∴m+2=4,3=n+5,
解得:m=2,n=﹣2,
∴m+n=0,
故答案为:0.
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
19.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE=2cm,AB=4cm,S△ABC=7cm2,则AC的长为 3cm .
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线的性质求出DE,根据三角形的面积公式列式计算即可.
【解答】解:∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF=2cm,
∴ ×AB×DE+ AC×DF=S△ABC=7,
解得,AC=3,
故答案为:3cm.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
20.如图,已知长方形OABC,动点P从(0,3)出发,沿所示的方向运动,每当碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,第一次碰到长方形的边时的位置为P1(3,0),当点P第2016次碰到长方形的边时,点P2016的坐标是 (0,3) .
【考点】规律型:点的坐标.
【专题】规律型.
【分析】按照光线反射规律,画出图形,可以发现每六次反射一个循环,最后回到起始点(0,3),然后计算2016有几个6即可求出对应点的坐标.
【解答】解:按照光线反射规律,画出图形,如下图:
P(0,3),
P1(3,0),
P2(7,4),
P3(8,3),
P4(5,0),
P5(1,4),
P6(0,3),
通过以上变化规律,可以发现每六次反射一个循环,
∵2016÷6=371,
∴P2016=P6,
∴点P2016的坐标是(0,3).
故答案为:(0,3).
【点评】题目考查了点的坐标规律性变化,解决此类问题的关键是找到待求量与序号之间的关系,题目整体难易程度适中,适合学生课后训练.
三、解答题(共7小题,满分66分)
21.计算:
(1)a•a5﹣(2a3)2+(﹣2a2)3
(2)先化简(a﹣ ) ,再求值,其中a=3,b=1
(3)分解因式:(m﹣n)(3m+n)2+(m+3n)2(n﹣m)
(4)解分式方程: .
【考点】分式的化简求值;整式的混合运算;提公因式法与公式法的综合运用;解分式方程.
【分析】(1)先算积的乘方、同底数幂的乘法,再进一步合并即可;
(2)先通分算减法,再算乘法,最后代入求得数值即可;
(3)先利用提取公因式法,再利用平方差公式因式分解即可;
(4)利用解分式方程的步骤与方法求得方程的解即可.
【解答】解:(1)原式=a6﹣4a6﹣8a6
=﹣11a6;
(2)原式= •
=a﹣b
当a=3,b=1时,
原式=3﹣1=2;
(3)原式=(m﹣n)[(3m+n)2﹣(m+3n)2]
=(m﹣n)(2m﹣2n)(4m+4n)
=8(m﹣n)2(m+n);
(4)
方程两边同乘3(x+1)得,
3x=2x+3x+3
解得:x=﹣
当x=﹣ 时,3(x+1)≠0,
所以x=﹣ 是原分式方程的解.
【点评】此题考查整式的混合运算,分式的化简求值,因式分解,解分式方程,掌握解答的步骤与方法是解决问题的关键.
22.如图,已知∠AOB以O为圆心,以任意长为半径作弧,分别交OA、OB于F、E两点,再分别以E、F为圆心,大于 EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线OP,过点F作FD∥OB交OP于点D.
(1)若∠OFD=116°,求∠DOB的度数;
(2)若FM⊥OD,垂足为M,求证:△FMO≌△FMD.
【考点】全等三角形的判定;作图—复杂作图.
【分析】(1)首先根据OB∥FD,可得∠0FD+∠A0B=18O°,进而得到∠AOB的度数,再根据作图可知OP平分∠AOB,进而算出∠DOB的度数即可;
(2)首先证明∴∠A0D=∠ODF,再由FM⊥0D可得∠OMF=∠DMF,再加上公共边FM=FM可利用AAS证明△FMO≌△FMD.
【解答】(1)解:∵OB∥FD,
∴∠0FD+∠A0B=18O°,
又∵∠0FD=116°,
∴∠A0B=180°﹣∠0FD=180°﹣116°=64°,
由作法知,0P是∠A0B的平分线,
∴∠D0B= ∠A0B=32°;
(2)证明:∵0P平分∠A0B,
∴∠A0D=∠D0B,
∵0B∥FD,
∴∠D0B=∠ODF,
∴∠A0D=∠ODF,
又∵FM⊥0D,
∴∠OMF=∠DMF,
在△MFO和△MFD中 ,
∴△MFO≌△MFD(AAS).
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定,以及角的计算,关键是正确理解题意,掌握角平分线的作法,以及全等三角形的判定定理.
23.“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?
【考点】分式方程的应用.
【专题】应用题.
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是: ,第二批进的数量是: ,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程.
【解答】解:设第一批盒装花的进价是x元/盒,则
2× = ,
解得 x=30
经检验,x=30是原方程的根.
答:第一批盒装花每盒的进价是30元.
【点评】本题考查了分式方程的应用.注意,分式方程需要验根,这是易错的地方.
24.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”,如图1中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)求图1中四边形ABCD的面积;
(2)在图2方格纸中画一个格点三角形EFG,使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形.
【考点】作图-轴对称变换.
【专题】网格型.
【分析】(1)用矩形面积减去周围三角形面积即可;
(2)画一个面积为12的等腰三角形,即底和高相乘为24即可.
【解答】解:(1)根据面积公式得:方法一:S= ×6×4=12;
方法二:S=4×6﹣ ×2×1﹣ ×4×1﹣ ×3×4﹣ ×2×3=12;
(2)(只要画出一种即可)
【点评】解答此题要明确:如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形;
对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴.
25.如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
(1)求证:CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使点E′落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示.试猜想:BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;平移的性质.
【专题】几何综合题;压轴题.
【分析】(1)根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD,再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF,
(2)根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G,根据平移的性质得出D′E′=DE,再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′,可知CE=BE′,再根据等量代换可知BE′=CF.
【解答】(1)证明:∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠EAD,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAF+∠CFA=90°,
∵CD⊥AB于D,
∴∠EAD+∠AED=90°,
∴∠CFA=∠AED,又∠AED=∠CEF,
∴∠CFA=∠CEF,
∴CE=CF;
(2)猜想:BE′=CF.
证明:如图,过点E作EG⊥AC于G,连接EE′,
又∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,EG⊥AC,
∴ED=EG,
由平移的性质可知:D′E′=DE,
∴D′E′=GE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D,
∴∠B+∠DCB=90°,
∴∠ACD=∠B,
在△CEG与△BE′D′中,
,
∴△CEG≌△BE′D′(AAS),
∴CE=BE′,
由(1)可知CE=CF,
∴BE′=CF.
【点评】本题主要考查了平分线的定义,平移的性质以及全等三角形的判定与性质,难度适中.
26.学校新到一批理、化、生实验器材需要整理,若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟,要完成整理这批器材,李老师至少要工作多少分钟?
【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
【专题】应用题.
【分析】(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟,则王师傅的工作效率为 ,根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1,可得方程,解出即可;
(2)根据王师傅的工作时间不能超过30分钟,列出不等式求解.
【解答】解:(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟,则王师傅的工作效率为 ,
由题意,得:20( + )+20× =1,
解得:x=80,
经检验得:x=80是原方程的根.
答:王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟.
(2)设李老师要工作y分钟,
由题意,得:(1﹣ )÷ ≤30,
解得:y≥25.
答:李老师至少要工作25分钟.
【点评】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用,解答本题的关键是仔细审题,找到不等关系及等量关系.
27.已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB于点D,点E是AB边上一动点(不含端点A、B),连接CE,过点B作CE的垂线交直线CE于点F,交直线CD于点G(如图①).
(1)求证:AE=CG;
(2)若点E运动到线段BD上时(如图②),试猜想AE、CG的数量关系是否发生变化,请直接写出你的结论;
(3)过点A作AH垂直于直线CE,垂足为点H,并交CD的延长线于点M(如图③),找出图中与BE相等的线段,并证明.
【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】(1)如图①,根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°,根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE,由ASA就可以得出△BCG≌△CAE,就可以得出结论;
(2)如图②,根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°,根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE,由ASA就可以得出△BCG≌△CAE,就可以得出结论;
(3)如图③,根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°,根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠BCE=∠CAM,由ASA就可以得出△BCE≌△CAM,就可以得出结论;
【解答】解:(1)∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,
∴∠CBF+∠BCE=90°,
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
,
∴△BCG≌△ACE(ASA),
∴AE=CG;
(2)不变.AE=CG.
理由:∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,
∴∠CBF+∠BCE=90°,
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
,
∴△BCG≌△ACE(ASA),
∴AE=CG;
(3)BE=CM,
:∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵AH⊥CE,
∴∠AHC=90°,
∴∠HAC+∠ACE=90°,
∴∠BCE=∠HAC.
∵在RT△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠ACD=∠ABC.
在△BCE和△CAM中
,
∴△BCE≌△CAM(ASA),
∴BE=CM.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,等式的性质的运用,线段垂直平分线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.