爱华网学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。下面是小编为大家整理的高二数学二项式定理知识点，希望对大家有所帮助!
二项式定理知识点归纳：
一、二项式定理
二项式定理是指这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它与各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn-1，同时e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定。
二、掌握二项展开式的特点
1.项数：共n+1项.
2.系数：组合数Crm叫做二项式系数.要注意"二项式系数"是严格定义的概念，仅指展开式中的组合数，它与"项的系数"是不同的概念.
3.指数：按通项公式记准升幂与降幂的规律.
4.因为二项式系数就是组合数，所以应将上一节学过的组合数的两个性质与本节学习的性质综合起来概括出组合数的所有有用的性质.
二项式定理复习训练题及答案解析：
1.(2011•三门峡模拟)若二项式(x-2x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( )
A.6 B.10
C.12 D.15
[答案] C
[解析] ∵T5=C4n(x)n-4•(-2x)4=24•C4nxn-122 是常数项，∴n-122=0，∴n=12.
2.(2011•北京模拟)(x2-1x)n的展开式中，常数项为15，则n=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] D
[解析] Tr+1=Crn(x2)n-r•(-1x)r
=(-1)r•Crnx2n-3r，令2n-3r=0得，r=2n3，
∴n能被3整除，结合选项，当n=3时，r=2，此时常数项为(-1)2•C23=3，不合题意，当n=6时，r=4，常数项为(-1)4C46=15，∴选D.
3.(2011•烟台月考) 如果(3x-13x2)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )
A.7 B.-7
C.21 D.-21
[答案] C
[解析] ∵2n=128，∴n=7，
∴Tr+1=Cr7(3x)7-r•(-13x2)r
=(-1)r•37-r•Cr7•x7-5r3 ，令7-5r3=-3得r=6，
∴1x3的系数为(-1)6•3•C67=21.
4.(2011 •重庆理，4)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n=( )
A.6 B.7
C.8 D.9
[答案] B
[解析] 展开式通项：Tr+1=Crn(3x)r=3rCrnxr
由题意：35C5n=36C6n即C5n=3C6n，
∴n!5!n-5!=3•n!6!n-6!
∴1n-5=36
∴n=7.选B.
5.(2011•银川模拟)在(x2-13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )
A.-7 B.7
C.-28 D.28
[答案] B
[解析] 由条件知n=8，∴Tr+1=Cr8(x2)8-r•(-13x)r
=(-1)r•2r-8•Cr8•x8-4r3
令8-4r3=0得，r=6，
∴展开式的常数项为(-1)6•26-8•C68=7.
6.(2011•河北石家庄一模)多项式x10=a0+a1(x-1)+a2•(x-1)2+…+a10(x-1)10，则a8的值为( )
A.10 B.45
C.-9 D.-45
[答案] B
[解析] x10=[1+(x-1)]10=1+C110(x-1)+C210(x-1)2+…+C1010(x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10对任意实数x都成立，∴a8=C810=C210=45.
7.(2011•广东理，10)x(x-2x)7的展开式中，x4的系数是________.(用数字作答)
[答案] 84
[解析] x4的系数，即(x-2x)7展开式中x3的系数，
Tr+1 =Cr7•x7-r•(-2x)r
=(-2)r•Cr7•x7-2r，
令7- 2r=3得，r=2，
∴所求系数为(-2)2C27=84.
8.(2011•广东六校联考)若(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，且a5=56，则a0+a1+a2+…+a8=________.
[答案] 256
[解析] (x-a)8的展开式的通项公式为
Tr+1=Cr8•x8-r•(-a)r=(-1)rCr8•ar•x8-r，
令8-r=5，则r=3，
于是a5=(-1)3C38•a3=56，解得a=-1，
即(x+1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，
令x=1得a0+a1+a2+…+a8=28=256.
9.若x2+1ax6的二项展开式中，x3的系数为52，则二项式系数最大的项为________.
[答案] 52x3
[解析] ∵Tr+1=Cr6(x2)6-r1axr=Cr6a-rx12 -3r，
令12-3r=3，得r=3，∴C36a-3=52，解得a=2.
故二项式系数最大的项为T4=C36(x2)3(12x)3=52x3.
10.(2011•上海十三校第二次联考)在二项式(x+3x)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则n=________.
[答案] 3
[解析 ] 由题意可知，B=2n，A=4n，由A+B=72，得4n+2n=72，∴2n=8，∴n=3.
11.已知xy<0，且x+y=1，而(x+y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，那么x的取值范围是( )
A.-∞，15 B.45，+∞
C.(1，+∞) D.-∞，-45
[答案] B
[解析] 由题设条件知，C 19x8y≤C29x7y2，
∵xy<0，∴x≥4y，
∵x+y=1，∴x≥4(1-x)，∴x≥45.
12.(2011•新课标全国理，8)(x+ax)(2x-1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A.-40 B.-20
C.20 D.40
[答案] D
[解析] 因(x+ax)(2x-1x)5的展开式中各项系数和为2，即令x=1时，(1+a)(2-1)5=2，∴a=1.
∵(2x-1x)5展开式的通项为Tr+1=Cr5•(2x)5-r•(-1x)r=(-1)r•25-r•Cr5•x5-2r，当5-2r=-1或1时r=3 或2，此时展开式为常数项，∴展开式的常数项为(-1)3•25-3•C35+(-1)2•25-2•C25=40.
13.(2011•安徽宣城模拟)在(x-2)5(2+y)4的展开式中x3y2 的系数为________.
[答案] 480
[解析] (x-2)5的展开式的通项为Tr+1=Cr5x5-r(-2)r，
令5-r=3得r=2，得x3的系数C25(-2)2=40;
(2+y)4的展开式的通项公式为Tr+1=Cr4(2)4-ryr，
令r=2得y2的系数C24(2)2=12，
于是展开式中x3y2的系数为40×12=480.
14.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是________.
[答案] -15
[解析] 从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即-5x4 -4x4-3x4-2x4-x4，所以x4项的系数应是-1-2-3-4-5=-15.
15.(2011•安徽理，12)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11=________.
[答案] 0
[解析] a10=C1021(-1)11=-C1021，a11=C1121(-1)10=C1021，所以a10+a11=C1121-C1021=C1021-C1021=0.
16.已知数列{an}满足an=n•2n-1(n∈N*)，是否存在等差数列{bn}，使an=b1C1n+b2 C2n+b3C3n+…+bnCnn对一切正整数n成立?并证明你的结论.
[解析] 假设等差数列{bn}使等式n•2n-1=b1C1n+b2C2n+b3C3n+…+bnCnn对一切正整数n成立，
当n=1时，得1=b1C11，∴b1=1，当n=2时，得4=b1C12+b2C22，∴b2=2，当n=3时，得12=b1C13+b2C23+b3C33，∴b3=3，可猜想bn=n时，n•2n-1=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn.
∵kCkn=k•n!k!n-k!
=n •n-1!k-1!n-k!=nCk-1n-1.
∴C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n(C0n-1+C1n-1+…+Cn-1n-1)=n•2n-1.故存在等差数列{bn}(bn=n)，使已知等式对一切n∈N*成立.
1.(2010•浙江嘉兴质检)若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0，则a1的值为( )
A.80 B.40
C.20 D.10
[答案] A
[解析] 由于x+1=x-1+2，因此(x+1)5=[(x-1)+2]5，故展开式中x-1的系数为C4524=80.
2.(2011•辽宁沈阳质检)若(3x-1x)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为( )
A.-5 B.5
C.-405 D.405
[答案] C
[解析] 令x=1得2n=32，所以n=5，
于是(3x-1x)5展开式的通项为
Tr+1=(-1)rCr5(3x)5-r(1x)r=(-1)rCr535-rx5-2r，
令5-2r=3，得r=1，
于是展开式中含x3的项的系数为
(-1)1C1534=-405，故选C.
3.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11，则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[答案] A
[解析] 依题意，令x+2=1，等式右边为a0+a1+a2+…+a11.把x=-1代入等式左边，得[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=2×(-1)9=-2，即a0+a1+a2+…+a11=-2.
4.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3，则a0+a1+2a2+3a3=________.
[答案] 5
[解析] 法1：令x=-2得a0=-1.
令x=0得27=a0+2a1+4a2+8a3.
因此a1+2a2+4a3=14.
∵C03(2x )3•30=a3•x3.
∴a3=8.
∴a1+2a2+3a3=14-a3=6.
∴a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5.
法2：由于2x+3=2(x+2)-1，故(2x+3)3=[2(x+2)-1]3
=8(x+2)3-4C13(x+2)2+2C23(x+2)-1，
故a3=8，a2=-12，a1=6，a0=-1.
故a0+a1+2a2+3a3=-1+6-24+24=5.
5.(2010•重庆中学)已知x2+ax6展开式中x6项的系数为60，其中a是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________.
[答案] 1
[解析] x2+ax6展开式中的第r+1项
Tr+1=Cr6(x2)6-r•axr=arCr6x12-3r，
令12-3r=6得，r=2，∴a2C26=60，∴a2=4.
∵a<0，∴a=-2，
令x=1得展开式各项系数之和为1+-216=1.
6.(2010•聊城市模拟)将1-1x2n(n∈N*)的展开式中x-4的系数记为an，则1a2+1a3+…+1a2010=________.
[答案] 20091005
[解析] 第r+1项Tr+1=Crn•-1x2r
=(-1)rCrnx-2r，令-2r=-4，∴r=2，
∴an=(-1)2C2n=nn-12，
∴1a2+1a3+…+1a2010=21×2+22×3+…+22009×2010
=2×1-12+12-13+…+12009-12010
=2×1-12010=20091005.
